殷霞，廖祖華，章里程，朱曉英

江南大學(xué)理學(xué)院，江蘇無錫 214122

雙極值模糊（反）軟子群

殷霞，廖祖華，章里程，朱曉英

江南大學(xué)理學(xué)院，江蘇無錫 214122

1 引言

軟集是由俄羅斯學(xué)者M(jìn)olodtsov[1]在1999年提出的一種處理不確定性問題的數(shù)學(xué)工具，它克服了模糊集[2]等理論在參數(shù)工具上的不足。2001年，Maji[3-5]等將軟集理論進(jìn)行了推廣，分別將軟集與模糊集和直覺模糊集相結(jié)合，給出了模糊軟集和直覺模糊軟集的概念。如今，軟集理論已被成功應(yīng)用到眾多領(lǐng)域[6-9]。近些年來，關(guān)于軟集理論與代數(shù)結(jié)構(gòu)的融合研究也取得了很多的重要成果。2007年，Akta?和?a?man[10]提出了軟群的定義，并討論了它的一些基本性質(zhì)。2010年，Acar[11]等給出了軟環(huán)的概念，并對其進(jìn)行了相關(guān)研究；付文清等[12]研究了軟BCK代數(shù)及其運(yùn)算。2011年，楊成福[13]給出了模糊軟半群的概念并討論了它們的代數(shù)性質(zhì)；Zhou[14]等將直覺模糊軟集運(yùn)用到半群上提出了半群上的直覺模糊軟理想的概念。2012年，Inan[15]等研究了模糊軟環(huán)和模糊軟理想的相關(guān)性質(zhì)。廖祖華[16-17]等分別提出了軟坡的軟理想及二型軟子群等新概念，并討論了它們相關(guān)的代數(shù)性質(zhì)。這些工作極大地豐富了軟集理論的代數(shù)結(jié)構(gòu)。

Zhang[18]給出了模糊集的一種推廣即雙極值模糊集；Lee[19]進(jìn)一步探討了雙極值模糊集及它們的基本運(yùn)算。雙極值模糊集與直覺模糊集很相似，但它們卻是兩個不同的概念[20]。2011年，Kim[21]等研究了半群上的雙極值模糊理想。2012年，Majumder[22]討論了Γ-半群上的雙極值模糊子半群的性質(zhì)及其等價(jià)刻畫。2012年，楊文華[23]等將軟集與雙極值模糊集相結(jié)合提出了雙極值模糊軟集的概念，推廣了雙極值模糊集理論。本文將雙極值模糊軟集的概念運(yùn)用到群上，提出了雙極值模糊（反）軟子群的概念，并討論了它們的代數(shù)性質(zhì)。

2 預(yù)備知識

本章給出雙極值模糊集、模糊軟集、雙極值模糊軟集的定義和雙極值模糊軟集的一些運(yùn)算及基本性質(zhì)。

3 雙極值模糊（反）軟子群

本章中取初始論域?yàn)槿篏，給出雙極值模糊（反）軟子群的概念，討論它們的相關(guān)代數(shù)性質(zhì)。

定義3.1設(shè)(F，A)是群G上的雙極值模糊軟集，稱(F，A)是G的雙極值模糊軟子群，如果?ε∈A， ?x，y∈G有：

則(F，?)是?上的雙極值模糊軟子群。

定義3.2設(shè)(F,A)是群G上的雙極值模糊軟集，稱(F,A)是G的雙極值模糊反軟子群，如果?ε∈A，?x，y∈G有：

是G的雙極值模糊軟子群。

類似地，有下面的定理。

所以(F，A)是G的雙極值模糊軟子群。

4 雙極值模糊（反）軟子群的同態(tài)像與原像

本章先給出雙極值模糊軟集在雙極值模糊軟映射下的像與原像的概念，接著討論雙極值模糊（反）軟子群在雙極值模糊軟同態(tài)下的像與原像的性質(zhì)。

類似可證雙極值模糊反軟子群的情形。

5 結(jié)束語

軟集理論是近些年來眾多學(xué)者關(guān)注的研究課題。本文嘗試將雙極值模糊軟集的基本運(yùn)算與子群的概念相結(jié)合，提出了雙極值模糊（反）軟子群的概念，證明了它們的一些基本性質(zhì)?；谶@一些結(jié)論，將進(jìn)一步探討雙極值模糊軟正規(guī)子群的問題。

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YIN Xia,LIAO Zuhua,ZHANG Licheng,ZHU Xiaoying

School of Science,Jiangnan University,Wuxi,Jiangsu 214122,China

The notions of bipolar-value fuzzy（anty-）soft subgroups based on the theory of bipolar-value fuzzy soft sets are given and several related properties and equivalent characterizations are discussed.Furthermore,the definitions of image and preimage of a bipolar-value fuzzy soft set are introduced and some preliminary properties of the image and preimage of a bipolar-value fuzzy（anty-）soft subgroup under a bipolar-value fuzzy soft homomorphism are investigated.

bipolar-value fuzzy soft set;fuzzy soft set;bipolar-value fuzzy（anty-）soft subgroup;bipolar-value fuzzy soft homomorphism

在雙極值模糊軟集理論的基礎(chǔ)上，給出了雙極值模糊（反）軟子群的概念，討論了它們的一些相關(guān)性質(zhì)及等價(jià)刻畫。提出了雙極值模糊軟映射下雙極值模糊軟集的像與原像的概念，并研究了雙極值模糊軟同態(tài)下雙極值模糊（反）軟子群的同態(tài)像與原像的初等性質(zhì)。

雙極值模糊集；模糊軟集；雙極值模糊（反）軟子群；雙極值模糊軟同態(tài)

A

O153；O15

10.3778/j.issn.1002-8331.1304-0425

YIN Xia,LIAO Zuhua,ZHANG Licheng,et al.Bipolar-value fuzzy（anty-）soft subgroups.Computer Engineering and Applications,2013,49（19）：58-62.

國家自然科學(xué)基金（No.11001109）。

殷霞（1975—），女，講師，主要研究領(lǐng)域?yàn)橛邢奕豪碚摚：c粗糙代數(shù)；廖祖華（1957—），男，教授，主要研究領(lǐng)域?yàn)槟：c粗糙代數(shù)，廣義逆理論及應(yīng)用，人工智能等；章里程（1972—），男，副教授；朱曉英（1964—），女，副教授。E-mail：yin-xia1975@yahoo.com.cn

2013-04-25

2013-06-24

1002-8331（2013）19-0058-05

◎網(wǎng)絡(luò)、通信、安全◎