王顏超，鄧亞莉

（內(nèi)蒙古大學(xué)，內(nèi)蒙古呼和浩特010021）

Hamilton體系的辛算法

王顏超，鄧亞莉

（內(nèi)蒙古大學(xué)，內(nèi)蒙古呼和浩特010021）

本文介紹了辛空間的基本理論,通過構(gòu)造辛算法得到Hamilton方程的數(shù)值解，并與分離變量法得到的解進(jìn)行了比較.

Hamilton體系；辛算法；辛空間

在自然界中很多數(shù)學(xué)物理問題均可以用Lagrange方程或Hamilton方程表示,而Lagrange方程可以通過Legendre變換為Hamilton方程.經(jīng)典力學(xué)具有三種表示形式,設(shè)有n個(gè)自由度的運(yùn)動(dòng),位置向量記為q=(q1,q2，…,qn)T,勢能函數(shù)為V=V(q),則是運(yùn)動(dòng)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式,它是在n維位形空間Rn中的2階微分方程組,通常稱為經(jīng)典力學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)形式即牛頓形式.Lagrange通過引進(jìn)動(dòng)能,勢能差數(shù)的作用量并利用變分原理將運(yùn)動(dòng)方程寫為它被稱為經(jīng)典力學(xué)的變分形式即Lagrange形式.后來Hamilton利用動(dòng)量p=Mq˙和總能量H=T+V將運(yùn)動(dòng)方程寫為稱為Hamilton正則方程，它是2n維相空間中相變量(p1,…,pn；q1,…,qn)的1階微分方程組.

作為動(dòng)力系統(tǒng)的重要體系,Hamilton體系可以用來表示一切真實(shí)的,耗散可忽略不計(jì)的物理過程,而Hamilton體系的基礎(chǔ)是辛幾何.Hamilton將系統(tǒng)能量以廣義坐標(biāo)及廣義動(dòng)量來表示,構(gòu)成一個(gè)2n維相空間,故經(jīng)典力學(xué)可以被看成相空間中的一種幾何學(xué)即辛幾何學(xué).經(jīng)典力學(xué)基本定理用辛幾何的語言就表示為“一切哈氏體系的動(dòng)力演化都使辛度量保持不變,即就是辛(正則)變換”.因此解哈氏方程的“正確”的離散算法就應(yīng)是辛變換,這種算法稱為辛(正則)算法或哈密爾頓算法.

1 辛空間基本理論

通常我們比較熟悉的是以實(shí)數(shù)為坐標(biāo)的歐式空間Rn,現(xiàn)將Rn推廣到以復(fù)數(shù)為坐標(biāo)的酉空間,Cn為n維復(fù)向量空間,C表示全體復(fù)數(shù),Z=(z1,z2,…,zn),zk∈C,k=1,2,…,n.在Cn中引進(jìn)Hermite內(nèi)積

具有Hermite內(nèi)積的復(fù)線行空間稱為酉空間.在式(1.1)中,因zk∈C,故可以寫為zk=xk+iξk,xk,ξk∈R,因而Cn中的向量與Rn中的向量建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系如下:

Cn?R2n

且對(duì)向量加法及用實(shí)數(shù)相乘仍保持,即:

可以看出Hermite內(nèi)積(Z,W)由兩部分組成,實(shí)部是R2n中歐式內(nèi)積,虛部可以看成是R2n中兩個(gè)向量x=(x1,x2,…,xn, ξ1,ξ2,…,ξn)與y=(y1,y2,…,yn,η1,η2,…,ηn)的一種新的“內(nèi)積”,我們稱這種內(nèi)積為辛內(nèi)積[1].

定義1設(shè)W是實(shí)數(shù)域R上的一個(gè)2n維相空間,對(duì)W中的任意兩個(gè)向量α,β依一定法則對(duì)應(yīng)著一個(gè)實(shí)數(shù),這個(gè)數(shù)稱為辛內(nèi)積,記作〈α,β〉,且辛內(nèi)積〈α,β〉運(yùn)算滿足下列4個(gè)條件:

（1）〈α,β〉=-〈β，α〉（1.2）

（2）〈kα,β〉=k〈α,β〉,?k∈R（1.3）

（3）〈α+γ,β〉=〈α,β〉+〈γ,β〉,γ為W中任意向量（1.4）

（4）若向量α對(duì)W中任意向量β均有〈α,β〉=0,則α=0（1.5）

稱定義有這種辛內(nèi)積的相空間為辛空間,辛空間與研究長度等度量性質(zhì)的歐幾里得空間不同,它研究的是面積,或說是研究做功的,利用它可以描述許多重要的物理現(xiàn)象,故近年來受到很到理論與實(shí)際工作者的重視.

R2n中兩個(gè)向量x=(x1,x2,…,xn,ξ1,ξ2,…,ξn)與y=(y1,y2,…,yn, η1,η2,…,ηn)定義辛內(nèi)積,即上述Hermite內(nèi)積的虛部〈x,y〉=

定義2若向量α,β的辛內(nèi)積〈α,β〉=0,則稱α與β辛正交,記為α⊥β;否則稱α與β辛共軛.與歐式空間不同的是?α均有〈α，α〉,則α⊥α,即辛空間中任一向量必與自身正交.

若向量組(α1,α2,…,αr,β1,β2,…,βr)(r≤n)滿足:

定理1[2]共軛辛正交向量組是線性無關(guān)向量組.

辛矩陣具有以下性質(zhì):

(1)其逆矩陣為辛矩陣;(2)其轉(zhuǎn)置矩陣為辛矩陣;

(3)其行列式值為1或-1;(4)其乘積為辛矩陣.

定義4[3]一個(gè)2n階矩陣B稱為無窮小辛陣,如果滿足JB+BTJ=0.若B為無窮小辛陣,則eB為辛陣;若C為對(duì)稱陣,當(dāng)且僅當(dāng)B=JC時(shí),則B為無窮小辛陣.

定義5若2n×2n矩陣H對(duì)任意2n維向量x,y有:＜x, Hy＞=＜y,Hx＞,則稱H為Hamilton矩陣.易證Hamilton矩陣可等價(jià)定義為:(JH)T=JH或JHJ=HT.

定理2若u為Hamilton矩陣H的本征值,重?cái)?shù)為m,則-u也是其本征值,重?cái)?shù)也是m;若Hamilton矩陣H具有零本征值,則其重?cái)?shù)為偶數(shù).稱本征值±u為Hamilton矩陣的互為辛共軛本征值,零本征值是特殊的辛本征值,與其自身互為辛共軛.

1.2.1.2 成立在職培訓(xùn)管理組:由區(qū)護(hù)士長任組長,指定護(hù)理組長一對(duì)一帶教;根據(jù)CSSD制定的崗前培訓(xùn)計(jì)劃,專人負(fù)責(zé),落實(shí)到位。

定理4設(shè)±u≠0為Hamilton矩陣H的本征值,重?cái)?shù)為m，則必存在共軛辛正交的向量組(ψ(0),ψ(1),…,ψ(m-1),φ(m-1),…, φ(1),φ(0)),即:

其中(ψ(0),ψ(1),…,ψ(m-1))和(φ(0),φ(1),…,φ(m-1))分別為u和-u對(duì)應(yīng)的基本本征向量和Jordan型本征向量.

2 辛算法的構(gòu)造

下面我們考慮一般的線性Hamilton體系,p=[p1,p2,…,pn]T, q=[q1,q2,…,qn]T,則,設(shè)Hamilton函數(shù)是H(z1,其中Z=[p,q]T=[z1,z2,…,z2n],C為

2n階對(duì)稱矩陣,即CT=C,則

其中B=J-1C為無窮小辛陣,用分離變量法求得方程Z˙ =BZ的解為Z(0),求數(shù)值解時(shí)需要進(jìn)行離散化,對(duì)變量t取步長為τ＞0,將連續(xù)依賴t的Z(t)離散化為{Z(kτ)},k=0,1,2,…則eBτZ(kτ),k=0,1,2,…下面我們利用有理Padé逼近構(gòu)造eBτ保持典則變換的近似表達(dá)式,即用有理分式來逼近eBτ,其中Pm(x),Qn(x)分別為m,n次多項(xiàng)式.

定理5設(shè)B為2n階矩陣,滿足JB+BTJ=0,即B為無窮小辛陣,若的Padé逼近,則是算子etB保持為辛算法的近似表達(dá)式.

則2階精度的辛差分格式(隱式)為:Z((k+1)τ)=Z(kτ)+Bτ 2 (Z((k+1)τ)+Z(kτ)).

下面討論用分離變量法求解:Z˙=BZ,設(shè)Z(t)=ξ(t)ψ,其中ψ= (ψ1,ψ2,…,ψ2n)T與t無關(guān),ξ(t)是t的函數(shù),與向量ψ中的任何分量無關(guān).則:Z˙=ξ˙(t)ψ=Bξ（t）ψ,故:得:Bψ=μψ,ξ(t) =eμt,而Bψ=μψ為Hamilton矩陣的本征問題.

于是:(B-μI)ψ=0,det(B-μI)=f(μ)=0,

故:f(H)=μ2nH2n+…+μ0I2n=0得:μi:ψ1,…,ψni

3 一個(gè)例子

易證:JHJ=HT,H為Hamilton矩陣.

且通過特征多項(xiàng)式求得其特征值為1重根,由分離變量法理論得知僅有上(2.1)式存在.

下面是辛算法(右圖)和分離變量法(左圖)求解x方向的結(jié)果:

分離變量X·方向相圖

平面簡諧振子X·方向相圖

我們模擬了y方向步長為1的相圖.此時(shí)的辛算法求得的結(jié)果與精確結(jié)果相差比較大,由于篇幅的原因這里就不再贅述了(有興趣的讀者可以參考我們的matlab程序).

function[ZZ]=Z(k,t,beta,z)

m=length(beta);

A=eye(m)-(t.*beta./2);

ZZ(:,1)=z;

fori=1:k

z=A(eye(m)+(t.*beta./2))*z;

ZZ(:,i+1)=z;

end

function[QQ]=FLBL(G,D,V)

fort=0:0.1:100

k=t*10+1;k=int64(k);

QQ(k,:)=G*[exp(D(1,1)*t)000;

0exp(D(2,2)*t)00;

00exp(D(3,3)*t)0;

000exp(D(4,4)*t)]*V;

end

下圖為分離變量法和辛算法求解y方向的結(jié)果(此圖的步長為0.1):

分離變量與辛算法組合圖

分離變量與辛算法比較圖

從圖上可以得出:用辛算法得到的解和用分離變量法得到的解幾乎一致.

辛算法保持了Hamilton體系的兩個(gè)守恒[4]:

（1）相空間體積的不變——Liouville-Poincaré守恒律?

（2）運(yùn)動(dòng)不變量:如能量,動(dòng)量,角動(dòng)量的守恒

辛算法能夠在數(shù)值計(jì)算中保持辛變換的結(jié)構(gòu),于是就會(huì)得到高的穩(wěn)定性,辛算法的差分方法被認(rèn)為是目前最穩(wěn)定,高效的計(jì)算方法,適合用于經(jīng)典力學(xué)體系.

我們知道,辛算法之所以逼近真實(shí)解的程度這么高是因?yàn)樗拿恳徊降^程都保持了辛變換即典則變換,也就是說每次迭代都是能量守恒的.但是,19世紀(jì)龐加萊等人指出三體問題不可積,并意識(shí)到許多Hamilton系統(tǒng)是不可積的.其實(shí)并不是所有系統(tǒng)都是能量守恒的,耗散結(jié)構(gòu)以及其他的動(dòng)力系統(tǒng)都是實(shí)實(shí)在在存在的.但即便如此,Hamilton系統(tǒng)依舊是研究其他問題的重要體系.上世紀(jì)30年代,偉大的量子力學(xué)創(chuàng)始人之一Schr?dinger先生就曾經(jīng)說過“Hamilton原理已經(jīng)成為現(xiàn)代物理學(xué)的基石”.所以,研究辛空間以及辛算法都是非常有價(jià)值的.

〔1〕李世雄.波動(dòng)方程的高頻近似與辛幾何[M].北京:科學(xué)出版社，2001.3.

〔2〕姚偉岸,鐘萬勰.辛彈性力學(xué)[M].北京:高等教育出版社. 2002.4.

〔3〕秦孟兆.辛幾何及計(jì)算哈密頓力學(xué)[J].力學(xué)與實(shí)踐，1990（2）.

〔4〕馮康,秦孟兆.哈密兒頓系統(tǒng)的辛幾何算法[M].杭州：浙江科學(xué)技術(shù)出版社，2003.

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1673-260X（2013）06-0006-03