劉 翔，時振偉

（山東科技大學 測繪科學與工程學院，山東 青島266590）

0 引 言

國際GNSS服務（IGS）發(fā)布的GPS精密星歷采樣間隔為15min，在實際定位中需要間隔更小的數(shù)據(jù)，這就需要高精度、快速地對精密星歷進行內(nèi)插或外推。目前，利用IGS精密星歷求任意時刻衛(wèi)星坐標的方法可分為插值法和擬合法兩類方法，而且已有大量文獻闡述了這兩類方法。只要選擇合適的階數(shù)，插值點的位置等條件就能到得到很好的內(nèi)插精度，但外推精度有限。由于IGS精密星歷僅給出每天00∶00∶00－23∶45∶00的星歷數(shù)據(jù)，為了得到23∶45∶00－24∶00∶00的星歷數(shù)據(jù)，有兩種方法：一是將當天的精密星歷與下一天的“拼接”，這樣就可以沿用內(nèi)插方法；二是僅用當天的精密星歷進行外推［1]。前一種方法需要收集處理更多的精密星歷數(shù)據(jù)，特別是當兩天的精密星歷中出現(xiàn)某顆衛(wèi)星的數(shù)據(jù)中斷的情況，則該方法失效，必須依賴第二種方法。而要使用第二種方法，則必須提高星歷外推的精度。

簡要介紹了三角插值的基本模型，及衛(wèi)星在慣性坐標系和地固系的實際運動特點，Lagrange插值和Chebyshev擬合的數(shù)學模型在很多文獻中都有涉及［2－5]，這里不再闡述。用 Matlab編制程序實現(xiàn)了這些插值方法，通過精密星歷內(nèi)插及外推衛(wèi)星位置的實際算例，對精度進行分析，得到了一些有意義的結論，證明了由于顧及了衛(wèi)星的實際運動特點，三角插值在精密星歷外推能力方面優(yōu)于Lagrange插值和Chebyshev擬合。

1 GPS衛(wèi)星運動特點及三角函數(shù)插值算法

1.1 衛(wèi)星運動特點

IGS給出的精密星歷是以地固系為空間基準的，是在ITRF參考框架內(nèi)的。以2012年8月6日PRN01衛(wèi)星為例，圖1和圖3分別示出了其在地固系和慣性坐標系下的運動特點，圖2和圖4分別示出了衛(wèi)星的運動軌跡，其他GPS衛(wèi)星的運動特點與此類似。圖1中，一天內(nèi)除了Z坐標分量表現(xiàn)較好的12h周期性（GPS衛(wèi)星軌道周期為11 h 58min）外，X和Y都是較復雜的曲線；圖2中衛(wèi)星在地固坐標系下的三維運行軌跡不太規(guī)則，主要是因為在地心地固坐標系中，衛(wèi)星的坐標還要受坐標旋轉框架的影響，而慣性坐標系的坐標框架是非旋轉的［6]，所以圖3中，X、Y、Z 三坐標分量都表現(xiàn)出約12h周期性。圖4中衛(wèi)星在慣性坐標系下的三維運行軌跡較為規(guī)則，近似為橢圓形。

GPS衛(wèi)星在地固系和慣性坐標系下的基本運動特點不同的根本原因，是由于在地固系下給出的衛(wèi)星星歷引入了地球本身的運動，包括自轉、歲差、章動、極移等，由此影響了衛(wèi)星自身運動的規(guī)律。

而在慣性坐標系下描述衛(wèi)星運動，則更能反映衛(wèi)星本身的運動特點，更有規(guī)律可循［6]。

1.2 三角函數(shù)多項式插值算法

基于軌道坐標的這個特征，可以利用基于三角函數(shù)多項式來進行插值，多項式的形式為［7]：

式中：f為衛(wèi)星的坐標分量x，y，z；ω為頻率因子，ω＝2π／T；T 為GPS衛(wèi)星運行周期；a0，a1，a2…an為待求系數(shù)；n為三角函數(shù)的項數(shù)（插值階數(shù)）；t為對應歷元時刻。根據(jù)衛(wèi)星的運動周期，對于慣性坐標系下的軌道，運用基于三角函數(shù)多項式的插值方法反映了衛(wèi)星位置在坐標框架下的周期特性，可能會使插值精度更高。當然先把精密星歷中的坐標轉換成慣性坐標系下的坐標，轉換公式為［6，8]

式中：E為旋轉真春分點時角；M為極移旋轉矩陣；N為章動旋轉矩陣；P為歲差旋轉矩陣；（x，y，z）TCTS為以協(xié)議地極方向CTP為指向的協(xié)議地球坐標；（x，y，z）TCTS協(xié)議天球坐標系；R1，R2，R3分別為旋轉矩陣；GAST為真春分點的格林尼治時角；xp，yp為極移分量；ε，Δε，Δψ 分別為黃赤交角、交角章動和黃經(jīng)章動；ZA，θA，ζA稱為歲差參數(shù)。

根據(jù)上述公式得到慣性坐標系坐標，求出待求系數(shù)，基于所要插值的時間，得到實時慣性系坐標，完成插值后，再轉換到地固系即可。

2 計算實例及結果比較

2.1 內(nèi)插精度分析

在IGS官方網(wǎng)站上下載SP3精密星歷文件，選取2012年8月6日的SP3精密星歷文件作為實驗數(shù)據(jù)，歷元時刻為00∶00∶00－23∶45∶00.采用對稱內(nèi)插的方法，計算時取30min間隔的歷元作為內(nèi)插點計算各個內(nèi)插時間段中間時刻的衛(wèi)星位置，以便將內(nèi)插得到的衛(wèi)星位置同精密星歷給出的衛(wèi)星位置進行比較。在Matlab7.1環(huán)境下實現(xiàn)得到1號衛(wèi)星7階～25階的內(nèi)插結果，IGS向全球GPS用戶提供的GPS精密星歷，其誤差一般小于5cm，所以這幾種內(nèi)插精度至少要小于5cm.

表1示出了Lagrange插值、Chebyshev擬合、三角函數(shù)插值的7階～25階的標準差，圖5～7示出了三種方法的標準差折線，圖8示出了這三種方法在X方向不同階次插值效果比較。

表1 三種方法不同階次插值標準差

從表1可以看到，用Lagrange插值時，當階數(shù)取13時，內(nèi)插精度最高，X，Y，Z3個坐標的最大標準差為3.23mm；用Chebyshev擬合時，階數(shù)為15時，內(nèi)插精度最高，X，Y，Z3個坐標的最大標準差為3.45mm；用三角函數(shù)多項式插值時，當階數(shù)取15時，內(nèi)插精度最好，X、Y、Z3個坐標的最大標準差為2.13mm.對比兩表可以發(fā)現(xiàn)，三角函數(shù)多項式插值，從7階到25階，各項誤差指標變化不大，但是Lagrange插值及Chebyshev擬合的標準差隨著階數(shù)的不同有變化相對較大。

在插值時只選擇了在中間時刻的插值，如選擇的插值位置不同，則會有不同的精度，用Lagrange插值及Chebyshev擬合衛(wèi)星位置，無論選用多少階，內(nèi)插的衛(wèi)星位置圖呈現(xiàn)U型結構，即出現(xiàn)了最小值區(qū)域。在插值過程中，當插值點位于節(jié)點的兩端時，插值精度更低。

2.2 外推精度分析

選取PRN為1號的衛(wèi)星在2012年8月6日23h45min 00s的衛(wèi)星坐標為外推起點，推15 min，到24h00min 00s，與8月7日00h00min 00s的精密星歷坐標比較，表2分別示出了三種方法不同階次的外推誤差。

表2 三種不同方法的不同階次預測誤差

從表2可以看出，Lagrange插值的外推精度在13階時插值誤差最小，在24h00min 00s時的最大誤差達到19cm；Chebyshev的外推精度在13階插值誤差最小，在24h00min 00s最大誤差達到－18cm；在三角函數(shù)多項式插值的外推精度在15階時插值誤差最小，在24h00min 00s時的最大誤差達到－10cm.

通過以上分析，Lagrange多項式插值及Chebyshev擬合由于未考慮衛(wèi)星的實際運動特點，當待插值點位于節(jié)點數(shù)據(jù)兩端時，內(nèi)插精度會下降；而三角函數(shù)多項式插值由于考慮了衛(wèi)星的實際運動特點，可以從一定程度上克服這一問題，外推精度要明顯優(yōu)于前兩種方法，這是因為后者有效地利用了衛(wèi)星在空間的運動特點，使得其插值函數(shù)更符合衛(wèi)星的實際運動。

3 結 論

三種插值方法在對精密星歷進行內(nèi)插時，只要選擇的插值階數(shù)合適以及插值點的位置合適，精度相當，都可以達到毫米級，因此無論采用哪種方法進行內(nèi)插，都可以取得滿意的結果，但是三角函數(shù)多項式插值比Lagrange插值及Chebyshev擬合更穩(wěn)定。在精密星歷外推時，三角函數(shù)多項式插值的精度要高于Lagrange插值及Chebyshev擬合，因此應避免用Lagrange插值及Chebyshev擬合進行外推。通過上文的誤差分析可知，僅采用觀測數(shù)據(jù)當天的精密星歷，利用三角函數(shù)多項式插值獲得觀測數(shù)據(jù)對應的精密衛(wèi)星位置，其插值精度足以滿足一般的動態(tài)單點定位要求。

［1]劉偉平，郝金明，李作虎.由廣播星歷解算衛(wèi)星位置、速度及精度分析［J].大地測量學地球動力學，2010，30（2）：144－147.

［2]劉大杰，陶本藻.實用測量數(shù)據(jù)處理方法［M].北京：測繪出版社，2004.

［3]孟大志，劉 偉.現(xiàn)代科學與工程計算［M].北京：高等教育出版社，2009.

［4]魏二虎，柴 華.GPS精密星歷插值方法比較研究［J].全球定位系統(tǒng)，2006，31（5）：13－15.

［5]孔巧麗.用Chebyshev多項式擬合GPS衛(wèi)星精密坐標［J].測繪通報，2006，31（8）：1－3.

［6]孔祥元，郭際明，劉宗泉.大地測量學［M].武漢：武漢大學出版社，2008.

［7]張守建，李建成，邢樂林，等.兩種IGS精密星歷插值方法的比較分析［J].大地測量與地球動力學，2007，27（2）：80－83.

［8]張 勤，李家權.GPS測量原理及應用［M].北京：科學出版社，2009.