薛靈蕓

中央財(cái)經(jīng)大學(xué)保險(xiǎn)學(xué)院，北京 102206

引言

現(xiàn)代金融理論最重要的理論基礎(chǔ)是有效市場(chǎng)假說(shuō)(Efficient Market Hypothesis，簡(jiǎn)稱(chēng)EMH)。在20世紀(jì)初Louis Bachelier提出可以用布朗運(yùn)動(dòng)來(lái)描述股價(jià)波動(dòng)，首開(kāi)有效市場(chǎng)假說(shuō)研究先河。1964年Osborne提出股票價(jià)格的變動(dòng)有如流體中的粒子，遵循布朗運(yùn)動(dòng)。Osborne認(rèn)為投資者能夠充分利用所有已知信息，股票交易在價(jià)值與市場(chǎng)價(jià)格一致的均衡價(jià)格上進(jìn)行。由于股票價(jià)格是在已知的信息下的均衡價(jià)格，價(jià)格的變動(dòng)在時(shí)間序列上也就相互獨(dú)立，上期的價(jià)格對(duì)下一期的價(jià)格沒(méi)有直接的影響。由概率論中的中心極限定理可以進(jìn)一步推論，股票價(jià)格服從正態(tài)分布，具有穩(wěn)定的均值和有限的方差。

1965年Samuelson提出信息有效市場(chǎng)概念，用經(jīng)濟(jì)學(xué)理論論證有效市場(chǎng)假說(shuō)。Roberts根據(jù)市場(chǎng)對(duì)信息集的不同反映，將股票市場(chǎng)分為弱式有效市場(chǎng)（價(jià)格僅反映歷史價(jià)格信息）、半強(qiáng)式有效市場(chǎng)（價(jià)格反映所有公開(kāi)信息）、強(qiáng)式有效市場(chǎng)（價(jià)格反映所有能獲得的信息）。1965年法瑪（Fama）總結(jié)了有效市場(chǎng)理論，正式提出有效市場(chǎng)假說(shuō)。Fama對(duì)有效市場(chǎng)的定義是：在一個(gè)有效的市場(chǎng)中，證券價(jià)格總是能充分地反映所有已知的信息。1970年Fama認(rèn)為，有效市場(chǎng)假說(shuō)使得所有基于現(xiàn)有信息之上的交易策略不可能獲得超過(guò)市場(chǎng)平均利潤(rùn)。眾所周知的馬柯維茨的資產(chǎn)組合理論、Willian Sharpe(1964)的資本資產(chǎn)價(jià)模型(CAPM)、布萊克-斯科爾斯的期權(quán)定價(jià)模型都是以有效市場(chǎng)假說(shuō)為基礎(chǔ)。有效市場(chǎng)假設(shè)理論假定金融資產(chǎn)的價(jià)格收益率分布服從正態(tài)分布，并有穩(wěn)定的均值和有限的方差。

金融資產(chǎn)的收益率分布特性對(duì)各種金融模型的正確性具有決定性影響，國(guó)內(nèi)外很多學(xué)者對(duì)收益率的分布特性做了大量實(shí)證研究。實(shí)證研究表明，價(jià)格波動(dòng)的布朗運(yùn)動(dòng)模型和有效市場(chǎng)假說(shuō)并不能完美近似市場(chǎng)。由于投資者的認(rèn)知能力不同、市場(chǎng)非理性的廣泛存在，金融市場(chǎng)的非理性廣泛存在，導(dǎo)致收益率的分布表現(xiàn)為相比正態(tài)分布具有尖峰厚尾性。German(1978),Lau&Wingender(1990)等學(xué)者相繼發(fā)現(xiàn)，股票收益率的分布往往具有如下特征:

(1)有偏性。偏度往往大于0，即概率分布不是對(duì)稱(chēng)的；

(2)尖峰厚尾性。峰度系數(shù)往往要遠(yuǎn)大于0，也就是說(shuō)，收益率劇烈波動(dòng)，出現(xiàn)極端離群值的概率要遠(yuǎn)大于理論正態(tài)分布假設(shè)下極端事件發(fā)生的概率。

上海股市自1990年開(kāi)市以來(lái)，已經(jīng)有23年的歷史。由于上海股市的歷史不長(zhǎng)，屬于新興市場(chǎng)，波動(dòng)性與成熟股市有差異，其收益率的分布特性自然與成熟股市也不同。本文在前人研究的基礎(chǔ)上，嘗試對(duì)市場(chǎng)收益率的不同時(shí)間周期數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比分析，以圖揭示不同時(shí)間周期的統(tǒng)計(jì)特性。

1 模型和數(shù)據(jù)分析

1.1 正態(tài)分布模型

依據(jù)概率論中的中心極限定理，正態(tài)分布是我們?nèi)粘Ｉ钪凶畛Ｓ龅降?，用途最廣的最重要的分布。如果隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為：

其中參數(shù)μ為任意實(shí)數(shù)，參數(shù)σ＞0，則稱(chēng)X為參數(shù)（μ,σ2）的正態(tài)隨機(jī)變量，稱(chēng)X的分布為服從參數(shù)為μ,σ2的正態(tài)分布。

對(duì)于分布為N（μ,σ2）的隨機(jī)變量X，我們還有：

服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量出現(xiàn)在1個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差之外的概率約是31.73%，出現(xiàn)在兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差之外的概率約是4.5%，出現(xiàn)在3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差之外的概率是0.27%，而出現(xiàn)在4個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差之外的概率則是0.006335%，出現(xiàn)在5個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差外的概率為0.000057%。也就是說(shuō)，出現(xiàn)大于三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的收益率數(shù)據(jù)的概率約是千分之二點(diǎn)七，出現(xiàn)大于4個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的收益率數(shù)據(jù)的概率約是十萬(wàn)分之六，而出現(xiàn)大于5個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的收益率數(shù)據(jù)的概率約是百萬(wàn)分之零點(diǎn)六。以股票交易為例，一年的有效交易日約為250個(gè)交易日，以日收益率計(jì)算，理論上大約一年半時(shí)間出現(xiàn)一次收益率超過(guò)三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的交易日，66年左右出現(xiàn)一次收益率超過(guò)4個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的交易日，6700年才能出現(xiàn)一次收益率超過(guò)5個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的交易日。

在金融學(xué)中，人們通常假設(shè)股票價(jià)格遵循隨機(jī)游走性質(zhì)，即遵循馬爾科夫過(guò)性質(zhì)。馬爾科夫性質(zhì)隱含了在將來(lái)任一特定的時(shí)刻的股票價(jià)格的概率分布僅僅取決于股票當(dāng)前的價(jià)格。股價(jià)的馬爾科夫性質(zhì)與強(qiáng)式有效市場(chǎng)相一致，也就是說(shuō)，一種股票的當(dāng)前價(jià)格已經(jīng)包含了到目前為止的所有已知信息，當(dāng)然包括了所有過(guò)去的價(jià)格信息。股價(jià)行為模型可以用維納過(guò)程來(lái)刻畫(huà)，維納過(guò)程是馬爾科夫過(guò)程的一種特殊形式。

設(shè)變量z遵循維納過(guò)程?？紤]在小的時(shí)間間隔上變量z值的變化。設(shè)一個(gè)小的時(shí)間間隔長(zhǎng)度為△t，定義△z為在△t時(shí)間內(nèi)Z的變化。要使z遵循維納過(guò)程，△z必須滿(mǎn)足兩個(gè)性質(zhì)：

性質(zhì)1：△z與△t的關(guān)系滿(mǎn)足

其中ε為服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)值。

性質(zhì)2：對(duì)于任意兩個(gè)不同時(shí)間的間隔，△t，△z的值相互獨(dú)立。

從性質(zhì)1，可知△z具有正態(tài)分布

E(△z)=0

Var(△z)=△t

性質(zhì)2隱含z遵循馬爾科夫過(guò)程。在具有任意長(zhǎng)度為T(mén)的時(shí)間間隔內(nèi)，設(shè)

其中εi（i=1,2,…..,N）是獨(dú)立同分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的抽樣值。

因此，

E[z(T)-z(0)]=0

Var[z(T)-z(0)]=N△t=T

對(duì)于一般性的維納過(guò)程x，若其漂移率（即單位時(shí)間平均漂移）的期望值為a，方差率（即單位時(shí)間的方差）的期望值為b2，Ito過(guò)程的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

dx=a(x,t)dt+b(x,t)dz

用S表示股票價(jià)格，根據(jù)Ito定理，股票價(jià)格遵循維納過(guò)程

dS=μSdt+μSdz

其中為μ股票價(jià)格的預(yù)期收益率，σ為股票價(jià)格波動(dòng)率。

那么，股票價(jià)格服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布

將t與T之間股票連續(xù)復(fù)利收益率定義為，

可以推出

因此，如果股票價(jià)格服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，則有股票連續(xù)復(fù)利的收益率 服從均值為，標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布。

1.2 數(shù)據(jù)采集

本文采集了上證指數(shù)1990年自2012年的數(shù)據(jù)。收益率計(jì)算公式采用對(duì)數(shù)收益率：

偏度系數(shù)（skewness）計(jì)算公式：

γ(X)不依賴(lài)度量單位的量，反映了隨機(jī)變量X的分布關(guān)于其均值不對(duì)稱(chēng)的程度。

峰度系數(shù)計(jì)算公式：

對(duì)于正態(tài)隨機(jī)變量X，γ(X)=0，κ(X)=0。偏度系數(shù)和峰度系數(shù)可以度量一個(gè)隨機(jī)變量與正態(tài)分布的差異程度。一般將峰度系數(shù)大于0的分布稱(chēng)為厚尾分布。

圖1是1990年～2012年上證指數(shù)日收益率，從圖1可以看到，總體上上證指數(shù)日收益率波動(dòng)率較大。特別是在發(fā)展初期，市場(chǎng)的收益率的波動(dòng)劇烈，隨著時(shí)間的推移，收益率的波動(dòng)總體上降低。在上海股市成立之初的前四年，上證指數(shù)的最大日漲幅為72%，發(fā)生在1992年5月21日，上證指數(shù)最大日跌幅為-17.91%，發(fā)生在1995年5月23日。在2007～2008期間上證指數(shù)大幅上漲后又迅速下跌，日收益率的波動(dòng)增加。

由于上證指數(shù)在1990～1992期間波動(dòng)過(guò)于劇烈，且市場(chǎng)初創(chuàng)，數(shù)據(jù)可能不足以說(shuō)明問(wèn)題，故為了比較，采集了兩組數(shù)據(jù)（1990.12.19～2012.11.8和1993.1.1～2011.11.8），一組含全部交易時(shí)間，另一組不含1990～1992的交易數(shù)據(jù)。為比較不同時(shí)間段的數(shù)據(jù)，分時(shí)數(shù)據(jù)也采集了兩個(gè)時(shí)間段（2011.12.15～2012.1.9和2012.9.10～2012.9.28）的數(shù)據(jù)。在時(shí)間周期上，選擇了年度、季度、月度、周、日、小時(shí)、半小時(shí)、15分鐘、5分鐘等9個(gè)時(shí)間周期。 樣本數(shù)如下：1990.12.19～2012.11.8期間，年度收益率數(shù)據(jù)23個(gè)，季度收益率數(shù)據(jù)85個(gè)，月度收益率數(shù)據(jù)253個(gè)，周收益率數(shù)據(jù)1063個(gè)，日收益率數(shù)據(jù)5140個(gè)。1993.1.1～2012.11.8期間，年度收益率數(shù)據(jù)21個(gè)，季度收益率數(shù)據(jù)80個(gè)，月度收益率數(shù)據(jù)239個(gè)，周收益率數(shù)據(jù)998個(gè)，日收益率數(shù)據(jù)4830個(gè)。2011.12.15～2012.1.9期間分時(shí)數(shù)據(jù)：60分鐘收益率63個(gè)，30分鐘收益率127個(gè)，15分鐘收益率255個(gè)，5分鐘收益率767個(gè)。2012.9.10～2012.9.28期間分時(shí)數(shù)據(jù)：60分鐘收益率59個(gè)，30分鐘收益率119個(gè)，15分鐘收益率239個(gè)，5分鐘收益率719個(gè)。

1.3 統(tǒng)計(jì)分析

本文使用SPSS16.0計(jì)算。描述性統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)見(jiàn)表1、表2、表3。從直方圖繪出正態(tài)分布曲線直觀看出，所有數(shù)據(jù)組偏離正態(tài)分布。年收益率數(shù)據(jù)由于樣本數(shù)較少，兩組數(shù)據(jù)不符合正態(tài)分布且差異不大。季度收益率數(shù)據(jù)兩組差異較大，且第二組數(shù)據(jù)與正態(tài)分布的擬合較好。月度收益率數(shù)據(jù)尖峰明顯，兩組離群值都有。周收益率數(shù)據(jù)尖峰明顯，兩組均有離群值。日收益率數(shù)據(jù)同樣尖峰明顯，且兩組也都有離群值。分時(shí)收益率數(shù)據(jù)正態(tài)分布曲線擬合稍好，離群值也比較少。

圖1 1990年～2012年上證指數(shù)日收益率

表1

表2

表3

表4

表5

使用描述性統(tǒng)計(jì)量進(jìn)一步分析可以有更多的認(rèn)識(shí)。在組1、組3中，除了年收益率數(shù)據(jù)和5分鐘收益率數(shù)據(jù)偏度小于0，其它時(shí)間周期的收益率數(shù)據(jù)偏度均大于0 。所有時(shí)間周期的收益率數(shù)據(jù)的峰度均大于0 。除了年、小時(shí)、半小時(shí)的數(shù)據(jù)外，其它周期的數(shù)據(jù)峰度顯著大于0 。在組2中，除了年收益率數(shù)據(jù)偏度小于0，其它時(shí)間周期的收益率數(shù)據(jù)偏度均大于0 。所有時(shí)間周期的收益率數(shù)據(jù)的峰度均大于0 。不過(guò)，與組1相比，本組由于剔除了1990～1992的數(shù)據(jù)，峰度均大幅度變小。季度收益率數(shù)據(jù)的峰度已接近0，與正態(tài)分布曲線擬合較好。

關(guān)于均值和方差的穩(wěn)定性問(wèn)題在描述性統(tǒng)計(jì)中也可以探討。從表2 中可以看到，在1993～2012期間的年、季度、月、周、日收益率數(shù)據(jù)的均值基本穩(wěn)定，然而方差不穩(wěn)定。從表3中看到，2011年冬季的分時(shí)數(shù)據(jù)收益率與2012年秋季相比，均值和方差都是極端不穩(wěn)定。這可能由于數(shù)據(jù)時(shí)間段較短，市場(chǎng)所處的漲跌周期不同所致，當(dāng)然更可能是金融時(shí)間序列的異方差導(dǎo)致。

另一個(gè)不可忽視的現(xiàn)象是離群值問(wèn)題，也就是收益率數(shù)據(jù)的極端值大于理論概率分布的問(wèn)題。從表4、表5中可以看到，在相同的時(shí)間段，隨著時(shí)間周期的變化和樣本數(shù)量的增加，離群值的數(shù)量也在不斷增加。前文計(jì)算表明，以股票交易為例，一年的有效交易日約為250個(gè)交易日，以日收益率計(jì)算，理論上大約一年半時(shí)間出現(xiàn)一次收益率超過(guò)三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的交易日，66年左右出現(xiàn)一次收益率超過(guò)4個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的交易日，6700年才能出現(xiàn)一次收益率超過(guò)5個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的交易日。在周數(shù)據(jù)和日數(shù)據(jù)中，不僅有相當(dāng)多的樣本值大于3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差，大于5個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差也不少。在日收益率數(shù)據(jù)4830各樣本值中，超過(guò)3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的有82個(gè)，超過(guò)4 個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的有36個(gè)，超過(guò)5個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的有19個(gè)。在分時(shí)數(shù)據(jù)各個(gè)時(shí)間周期收益率數(shù)據(jù)中，同樣出現(xiàn)相當(dāng)多的極端值。極端值的頻繁出現(xiàn)從另一個(gè)側(cè)面反映出市場(chǎng)的非理性。

2 分析與討論

由上述統(tǒng)計(jì)分析可以得出結(jié)論，絕大多數(shù)情況下，各種時(shí)間周期的收益率分布數(shù)據(jù)并不能與正態(tài)分布擬合較好。以正態(tài)分布作為各種金融模型的統(tǒng)計(jì)分布基礎(chǔ)，會(huì)給模型計(jì)算帶來(lái)較大誤差，時(shí)間跨度越大，離群值的影響越大。收益率數(shù)據(jù)中大于3個(gè)至5個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的離群值遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于理論估計(jì)，造成這種現(xiàn)象的原因有多種。在很大程度上，金融市場(chǎng)屬于正反饋混沌動(dòng)力系統(tǒng)，市場(chǎng)的非理性廣泛存在，難以用完全理性的模型來(lái)近似市場(chǎng)，強(qiáng)式有效市場(chǎng)并不存在。長(zhǎng)期資本公司的失敗在很大程度上也是由于以經(jīng)典理論為基礎(chǔ)構(gòu)建的金融模型崩潰所致。

金融市場(chǎng)是全世界參與主體數(shù)量最多、資金流動(dòng)最大的市場(chǎng)，其復(fù)雜性到目前還沒(méi)有現(xiàn)成的模型可以完全刻畫(huà)。為了在實(shí)踐中克服金融時(shí)間序列數(shù)據(jù)的非正態(tài)、均值不穩(wěn)定以及異方差等問(wèn)題，一方面需要發(fā)展更好的計(jì)量金融模型，另一方面也需要采用借鑒行為金融學(xué)的理論，以技術(shù)分析彌補(bǔ)經(jīng)典統(tǒng)計(jì)模型的不足。

[1]龔光魯.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M]. 北京：清華大學(xué)出版社，2006

[2]John C. Hull. 期權(quán)、期貨和其它衍生品[M].北京：華夏出版社，2000

[3]約翰·Y.坎貝爾，安德魯·W.羅，艾·克雷格·麥金雷.金融市場(chǎng)計(jì)量經(jīng)濟(jì)[M].上海：上海財(cái)經(jīng)大學(xué)出版社，2003

[4]勞蘭珺，邵玉敏.行業(yè)股票價(jià)格指數(shù)波動(dòng)特征的實(shí)證研究[J].南開(kāi)管理評(píng)論，2005，(5)：4-8

[5]余為麗.基于極值理論的VaR及其在中國(guó)股票市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)管理中的應(yīng)用[D].武漢,華中科技大學(xué)，2006

[6]朱宏泉.中國(guó)股票市場(chǎng)收益率與風(fēng)險(xiǎn)的實(shí)證分析[D].北京，中科院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院，2000