包開花

(內(nèi)蒙古民族大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古通遼 028043)

在1979年，Sasaki［1］提出了二維真黎曼流形M2上的一些局部聯(lián)絡(luò)的計(jì)算公式.這些公式在非線性可積偏微分方程的理論中有重要地位.這個(gè)新的聯(lián)絡(luò)形式有一個(gè)重要的性質(zhì)是，他滿足無曲率的情況當(dāng)且僅當(dāng)其截面曲率等于－1.在文獻(xiàn)［2－4］中，基于一個(gè)有一些獨(dú)立變量的函數(shù)u，討論了不同的一形式矩陣.這樣，此聯(lián)絡(luò)形式的無曲率情況等價(jià)于擁有非常多守恒定律和reach對稱群的著名非線性偏微分方程之一.在文獻(xiàn)［1］中，Shchepetilov對Sasaki聯(lián)絡(luò)給出了明確的幾何意義，并將此聯(lián)絡(luò)推廣到高維情況.在第一部分，簡單介紹了Shchepetilov定義的Sasaki聯(lián)絡(luò)▽～X和類似于Sasaki聯(lián)絡(luò)的聯(lián)絡(luò)▽aX，并計(jì)算了聯(lián)絡(luò)▽aX的數(shù)量曲率，截面曲率和測地線.第二部分，將兩個(gè)聯(lián)絡(luò)分別推廣到高維情況，并計(jì)算了一些相應(yīng)的幾何結(jié)果.希望本文定義的聯(lián)絡(luò)在經(jīng)典的卷積空間(如Schwarzschild空間，Robertson－walker空間)中起到重要的作用.

1 Sasaki聯(lián)絡(luò)的介紹

卷積空間M×R上的切叢π*(TM⊕E)上的Sasaki聯(lián)絡(luò).記gw為卷積空間M×R的度量.令▽w，L表示M×R 上的 Levi－civita 聯(lián)絡(luò).將 X，ξ的提升仍記為 X，ξ.定義［6－8］:

令gw=π*gM⊕b2(m，x)dx2，b為T(M×R)上的非零光滑函數(shù).

下面計(jì)算與聯(lián)絡(luò)▽a對應(yīng)的數(shù)量曲率Sa.

命題1

進(jìn)一步有:

引理2令b=b(x)，那么Sa是個(gè)常數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)SM和b也是常數(shù).

引理4令b=b(x)，那么▽a有常截面曲率Ka當(dāng)且僅當(dāng)b是常數(shù)且KM=1.

下面考慮(M×R，gM×R=gM⊕ b2(m，x)dx2，▽a)中的測地線.一條曲線 γ(α，β)在(M×R，gM×R)中關(guān)于▽a的測地線.設(shè)X是α在M中的切向量場，fe是β在R中的切向量場.X，fe同時(shí)表示他們在M×R中的拉升，則X+fe表示γ的切向量場.

因此可得:

引理5γ(α，β)是▽a的測地線當(dāng)且僅當(dāng)下面式子成立，

2 兩種聯(lián)絡(luò)的高維推廣

首先介紹Sasaki聯(lián)絡(luò)的高維推廣.令E1=M×Rk且取e1，e2，…，ek為Rk的正交基.定義F1上的聯(lián)絡(luò):

定理1F上存在唯一的聯(lián)絡(luò)，對任意的X，Y，Z∈Γ(M，TM)和∈Γ(E)滿足下列條件:

命題6聯(lián)絡(luò)▽～是平坦的當(dāng)且僅當(dāng)M是截面曲率為k的常曲率空間.

證明類似于文獻(xiàn)［5］的計(jì)算，根據(jù)曲率張量的計(jì)算公式:

［1］Shchepetilov A.The geometric sense of the Sasaki connection［J］.Phys A，2003，36(13):3893－3898.

［2］Crampin M.Solitons and SL(2，R)［J］.Phys Lett A，1978，66:170－172.

［3］Ding Q.The NLS－equation and it's SL(2，R)structure［J］.Phys A:Math Gen，2000，33:325－329.

［4］Inoguchi J.Darboux transformations on timelike constant mean Curvature surface［J］.Geom phy，1999，32:57－78.

［5］Shchepetilov A.The geometric sense of the Sasaki connection［J］.Phys A，2003，36(13):3893－3898.

［6］包開花.Sasaki聯(lián)絡(luò)的推廣［J］.湖北民族學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2012，30(3):256－260.

［7］Sasaki S.On differentiable manifolds with certain structures which are closely related to almost contact structure［J］.Tohoku Math J，1960，24:59－76.

［8］Marvan M.Scalar second－order evolution equations possessing an irreducible sl2－valued zero－curvature representation［J］.J Phys A:Math Gen，2002，35:9431－9441.