韓曉霞，高月華，陳 雷

（河北大學(xué)電子信息工程學(xué)院，河北 保定 071002）

信號(hào)與系統(tǒng)課程是電氣信息類(lèi)專(zhuān)業(yè)學(xué)生的一門(mén)重要的專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)課，周期信號(hào)的頻域分析是信號(hào)與系統(tǒng)中的難點(diǎn)內(nèi)容之一。本文以典型的周期矩形脈沖信號(hào)為例，介紹了周期信號(hào)頻域分析的兩種方法即傅立葉級(jí)數(shù)分析法和傅立葉變換分析法，并利用MATLAB軟件，結(jié)合其圖形用戶(hù)界面接口（GUI），設(shè)計(jì)了具有良好人機(jī)交互界面的仿真軟件，用以輔助課堂教學(xué)，不僅提高了教學(xué)效率，而且有助于學(xué)生掌握周期信號(hào)頻譜分析的方法。

1 周期信號(hào)頻域分析理論

周期信號(hào)是定義在（-∞，+∞）區(qū)間內(nèi)，按一定時(shí)間間隔（周期T）不斷重復(fù)的信號(hào)。可表示為f（t）=f（t+mT），式中m為任意整數(shù)，T為周期，周期的倒數(shù)稱(chēng)為該信號(hào)的頻率。典型的周期信號(hào)如周期矩形脈沖信號(hào)（見(jiàn)圖1），周期為T(mén)，脈沖寬度為τ。

周期信號(hào)可以分解成一系列正弦信號(hào)或虛指數(shù)信號(hào)之和，這些分量的幅度和相位隨頻率變化的關(guān)系稱(chēng)為周期信號(hào)的頻譜，可分為幅度譜和相位譜。

圖1 周期矩形脈沖

1.1 連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)分析

在信號(hào)與系統(tǒng)理論中，滿(mǎn)足狄里赫利條件的周期信號(hào)可以展開(kāi)成傅立葉級(jí)數(shù)，傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式有三種：

傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)的三種形式各有優(yōu)點(diǎn)，式（1）便于進(jìn)行傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)，式（2）是物理意義清楚的三角形式，式（3）是便于理論分析的指數(shù)形式。

下面利用指數(shù)形式的傅立葉級(jí)數(shù)對(duì)圖1所示的周期矩形脈沖進(jìn)行頻譜分析，首先計(jì)算傅立葉系數(shù) Fn：

周期矩形脈沖的指數(shù)形式的傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為

圖2 周期矩形脈沖的頻譜（T=4τ）

1.2 連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅立葉變換分析

周期信號(hào)的傅立葉變換在頻域是由一串沖激所組成，各沖激的面積正比于傅立葉級(jí)數(shù)。一個(gè)周期為T(mén)的周期函數(shù)fT（t）的傅立葉變換FT（jω）的表達(dá)式為

上式表明，周期信號(hào)的傅立葉變換由無(wú)窮多個(gè)沖激函數(shù)組成，這些沖激函數(shù)位于信號(hào)各諧波角頻率 nΩ（n=0，±1，±2……）處，其強(qiáng)度為各相應(yīng)幅度Fn的2π倍。

下面利用傅立葉變換對(duì)圖1所示的周期矩形脈沖進(jìn)行頻譜分析，式（4）為已求得的傅立葉系數(shù)Fn，將其代入式（6）得

圖3 周期矩形脈沖的傅立葉變換（T=4τ）

比較圖2和圖3，雖然從頻譜的圖形上看很相似，但二者的含義不同，圖2是將周期函數(shù)展開(kāi)為傅立葉級(jí)數(shù)時(shí)的頻譜，得到的是傅立葉系數(shù)與頻率的關(guān)系，代表的是各頻率分量的幅度和相位，而圖3是對(duì)周期信號(hào)進(jìn)行傅立葉變換時(shí)的頻譜，得到的是頻譜密度與頻率的關(guān)系。

2 教學(xué)程序演示及實(shí)例仿真

在信號(hào)與系統(tǒng)的教學(xué)中，周期信號(hào)的頻域分析始終是一個(gè)教學(xué)難點(diǎn)。為了更直觀(guān)的展現(xiàn)周期信號(hào)的頻譜，同時(shí)也為了使學(xué)生更好的理解理論知識(shí)，我們利用MATLAB開(kāi)發(fā)了用于周期矩形脈沖信號(hào)頻譜分析的交互式仿真程序，周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜隨著其周期及脈沖寬度的變化而有所不同。通過(guò)此仿真程序可以直觀(guān)地觀(guān)察到這種變化。

（1）脈沖寬度與頻譜的關(guān)系

將周期矩形脈沖信號(hào)的周期固定為10s，設(shè)定脈沖寬度分別為1s、4s，觀(guān)察幅度譜的變化。

圖4 周期矩形脈沖頻譜隨脈寬的變化

由圖4可見(jiàn)，由于周期T相同，因而相鄰譜線(xiàn)的間隔相同；脈沖寬度τ越窄，其頻譜包絡(luò)線(xiàn)第一個(gè)零點(diǎn)的頻率越高，即信號(hào)頻帶寬度越寬，這就驗(yàn)證了信號(hào)的頻帶寬度與脈沖寬度τ成反比。

（2）周期與頻譜的關(guān)系

將矩形脈信號(hào)脈沖寬度的固定為1s，設(shè)定周期分別為10s、15s，觀(guān)察幅度譜的變化。

圖5 周期矩形脈沖頻譜隨周期的變化

由圖5可見(jiàn)，由于周期信號(hào)的時(shí)域脈沖寬度不變，這時(shí)頻譜包絡(luò)線(xiàn)的零點(diǎn)所在位置不變，而當(dāng)周期變長(zhǎng)時(shí)，相鄰譜線(xiàn)的間隔減少，頻譜變密。如果周期無(wú)限長(zhǎng)（這時(shí)信號(hào)變?yōu)榉侵芷冢敲?，相鄰譜線(xiàn)的間隔將趨近于零，周期信號(hào)的頻譜就過(guò)渡到非周期信號(hào)的連續(xù)譜。隨著周期信號(hào)周期的增長(zhǎng)，各諧波分量的幅度也相應(yīng)減小。

3 結(jié)論

通過(guò)以上分析可以總結(jié)出周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)。（1）離散性：周期信號(hào)的頻譜由不連續(xù)的線(xiàn)條組成，每一條線(xiàn)代表一個(gè)正弦量，故稱(chēng)為離散頻譜；（2）諧波性：周期信號(hào)頻譜的每條譜線(xiàn)只能出現(xiàn)在基波頻率的整數(shù)倍頻率上，這就是周期信號(hào)頻譜的諧波性；（3）收斂性：各次諧波的振幅隨著諧波次數(shù)的增高而逐漸減小，所以周期信號(hào)的頻譜具有收斂性。我們把MATLAB引入信號(hào)與系統(tǒng)的教學(xué)當(dāng)中，啟發(fā)學(xué)生開(kāi)發(fā)仿真程序，利用MATLAB強(qiáng)大的計(jì)算能力和繪圖能力把周期信號(hào)的頻譜圖通過(guò)編程繪制出來(lái)，既幫助學(xué)生理解了理論知識(shí)，又鍛煉了學(xué)生的實(shí)踐能力。

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