張馳，張碩

（沈陽(yáng)航空航天大學(xué)民用航空學(xué)院，遼寧沈陽(yáng)110136）

基于邊界元法的瞬態(tài)熱傳導(dǎo)仿真分析

張馳，張碩

（沈陽(yáng)航空航天大學(xué)民用航空學(xué)院，遼寧沈陽(yáng)110136）

首先推導(dǎo)了瞬態(tài)熱傳導(dǎo)的邊界積分方程，然后通過(guò)一系列變換得到了易求解的矩陣形式，提出用迭代法求解瞬態(tài)熱傳導(dǎo)問(wèn)題.最后引入數(shù)值算例，計(jì)算了溫度分布及熱流密度分布，并與解析解進(jìn)行比較.結(jié)果表明采用邊界元法所得的數(shù)值仿真解與解析解吻合，證明此方法的有效性.

瞬態(tài)熱傳導(dǎo)；邊界元法；熱流密度；溫度場(chǎng)

邊界元法相對(duì)有限元法能夠大大減少計(jì)算時(shí)間和存儲(chǔ)容量，而且邊界元不需要對(duì)區(qū)域內(nèi)進(jìn)行離散，因此溫度的測(cè)量點(diǎn)位置可以任意選擇，尤其是這種方法可以直接給出未知表面的溫度和測(cè)量困難的熱流[1-2]，因此邊界元法在傳熱學(xué)領(lǐng)域的工程實(shí)際應(yīng)用具有重大的意義.

1 瞬態(tài)熱傳導(dǎo)的基本方程

瞬態(tài)熱傳導(dǎo)問(wèn)題與穩(wěn)態(tài)相比要涉及與時(shí)間相關(guān)的問(wèn)題，因此相對(duì)復(fù)雜.對(duì)于無(wú)內(nèi)熱源點(diǎn)的瞬態(tài)熱傳導(dǎo)問(wèn)題，有

方程的基本解[3]為

其中d是空間維數(shù).基本解（2）代入到基本方程（1）的積分方程中可得

這就是瞬態(tài)熱傳導(dǎo)問(wèn)題的邊界積分方程.最后一項(xiàng)對(duì)應(yīng)著t=0的初始條件.

2 邊界元法

對(duì)時(shí)間域進(jìn)行劃分，假設(shè)函數(shù)T及q隨時(shí)間變化，由于二者比T*和q*變化慢得多，故近似在小的時(shí)間間隔內(nèi)為常數(shù)，所以可以對(duì)（3）式分段積分，并對(duì)時(shí)間內(nèi)層求積分得

其中式中D為點(diǎn)源i到邊界單元線的垂直距離，Ei項(xiàng)是指數(shù)積分函數(shù)，可以通過(guò)級(jí)數(shù)來(lái)計(jì)算[4].

通過(guò)上述計(jì)算后（3）式可以寫(xiě)成

對(duì)空間域劃分，邊界Γ劃分成N個(gè)單元，域Ω劃分成M個(gè)單元，寫(xiě)成矩陣形式即

式中G、H是系數(shù)矩陣，只依賴于幾何形狀、材料特性及時(shí)間步長(zhǎng)；Pit1表示整個(gè)空間域Ω上的初始溫度分布對(duì)i點(diǎn)的貢獻(xiàn).

在求解邊界積分方程時(shí)采用迭代解法，把時(shí)間域分成N等分，時(shí)間步長(zhǎng)Δt=tmax/N.這樣再把空間域進(jìn)行劃分，根據(jù)初始條件就可以計(jì)算出邊界上的溫度場(chǎng)分布和熱流密度分布.

3 數(shù)值算例

根據(jù)以上推導(dǎo)結(jié)果，開(kāi)發(fā)C語(yǔ)言程序包，并采用VC++進(jìn)行嚴(yán)格調(diào)試，通過(guò)數(shù)值算例對(duì)上述方法的正確性加以驗(yàn)證.

方板邊長(zhǎng)L=1，板沿x方向和y方向的熱傳導(dǎo)率均為k=1，比熱c=1，如圖1所示.

圖1 二維方板的邊界條件

其他邊界條件為

仿真結(jié)果如下所示.

圖2 t=0.75時(shí)刻y=0邊的溫度變化

圖3 y=1邊不同時(shí)刻沿x向的溫度變化

以上圖中邊界元解與有限元解及解析解均能較好的吻合，證明該方法的正確性.

4 結(jié)論

從上述的仿真分析中，本文所采用的邊界元法結(jié)果準(zhǔn)確.該方法理論推導(dǎo)簡(jiǎn)單，所得結(jié)果誤差小且程序編寫(xiě)相對(duì)容易.

這種方法為材料的設(shè)計(jì)及應(yīng)用其他相關(guān)問(wèn)題如參數(shù)優(yōu)化、靈敏度分析等提供算法依據(jù)，在多維坐標(biāo)及彈性力學(xué)、斷裂力學(xué)、梯度材料等方面的應(yīng)用也值得探討.

〔1〕吳洪潭.邊界元法在傳熱學(xué)中的應(yīng)用[M].北京：國(guó)防工業(yè)出版社,2008.

〔2〕AlokSutradhar,G.H.Paulino.Thesimpleboundaryelementmethodfortransientheatconductioninfunctionally gradedmaterials[J].ComputerMethodsin AppliedMechanicsandEngineering，2004,193(2004)：4511-4539.

〔3〕A.Sutradhar,G.H.Paulion,L.J.Gray.Transientheatconductioninhomogeneousand non-homogeneousmaterialsbytheLaplace transformGalerkinboundaryelementmethod [J].EngineeringAnalysiswithBoundaryElement,2002,26(5):119-132.

〔4〕李慧.三維非穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)邊界元方法研究及數(shù)值系統(tǒng)開(kāi)發(fā)[D].山東科技大學(xué),2011.

TB131；O414

A

1673-260X（2013）06-0021-02