陸源

（集寧師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，內(nèi)蒙古烏蘭察布012000）

圓錐曲線形成和發(fā)展的歷史過程及其教學(xué)啟示

陸源

（集寧師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，內(nèi)蒙古烏蘭察布012000）

圓錐曲線是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容從數(shù)學(xué)史的角度看，圓錐曲線是在經(jīng)歷古希臘的古典時(shí)期、亞歷山大前期、亞歷山大后期到16世紀(jì)以后的整個(gè)歷史時(shí)期而不斷形成、發(fā)展和完善起來的.在教育形態(tài)上，它是經(jīng)過編者的精心選擇和編排，最終體現(xiàn)為一個(gè)完美的演繹系統(tǒng).圓錐曲線的形成和發(fā)展歷史過程對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)有重要啟示.

圓錐曲線；形成；發(fā)展；數(shù)學(xué)教學(xué)；啟示

1 圓錐曲線形成和發(fā)展的歷史過程

圓錐曲線是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，在教材中包括拋物線、橢圓、雙曲線的共性，如：中心、對(duì)稱性、焦點(diǎn)、離心率、準(zhǔn)線、漸近線、標(biāo)準(zhǔn)方程等和它們分別獨(dú)具的特點(diǎn).從數(shù)學(xué)史的角度看，圓錐曲線是在經(jīng)歷古希臘的古典時(shí)期、亞歷山大前期、亞歷山大后期到16世紀(jì)以后的整個(gè)歷史時(shí)期而不斷形成、發(fā)展和完善起來的.在教育形態(tài)上，經(jīng)過編者的精心選擇和編排，最終體現(xiàn)為一個(gè)完美的演繹系統(tǒng).

1.1 門奈赫莫斯首次發(fā)現(xiàn)圓錐曲線

公元前4世紀(jì)，古希臘古典時(shí)期柏拉圖學(xué)派的門奈赫莫斯（Menaechmus）首先發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線，他用平面去截圓錐曲面而得到的截痕.在當(dāng)時(shí)，圓錐曲面的形成是通過以直角三角形的一條直角邊為軸旋轉(zhuǎn)而成的，根據(jù)軸三角形頂角的不同將圓錐曲面分為銳角圓錐、鈍角圓錐和直角圓錐. Menaechmus用垂直于一條母線的平面去截這三種圓錐面，得到三種不同的截痕.在銳角圓錐上的截痕是橢圓，鈍角圓錐上的截痕是雙曲線（一支），直角圓錐上的截痕是拋物線.

如下圖1，直角圓錐面ABC，過其母線AC上的任意一點(diǎn)D作垂直于AC的一個(gè)平面，得截平面DPGE.過截線上的點(diǎn)P作一平行于圓錐底面的平面交母線于R、V兩點(diǎn)，則RV是截面圓的直徑,RV交PQ于O,連接PQ.

圖1

由平面DEG⊥平面ABC，平面PVR⊥平面ABC

∴PQ⊥平面ABC∴PQ⊥RV

∵RV是圓的直徑∴根據(jù)射影定理有PO2=RO·OV①

結(jié)合①②,得PO2=RO·，由于對(duì)于特定的D點(diǎn)是常量，所以不妨設(shè)令OP=y，DO=x,那么有y2=bx.

用現(xiàn)代解析幾何解釋為：曲線上任一點(diǎn)的縱坐標(biāo)的平方等于其橫坐標(biāo)乘以一個(gè)常數(shù)，即為拋物線.同理，如果頂角是鈍角或銳角，可以推出另外兩種圓錐曲線的性質(zhì).

1.2 阿波羅尼奧斯對(duì)圓錐曲線的研究

后來又有許多數(shù)學(xué)家研究這一課題.古希臘亞歷山大前期的著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯(Appolonius,公元前262年—前190年）完成了他的《圓錐曲線論》（8大卷）經(jīng)典巨著.他首創(chuàng)了只用一個(gè)圓錐面，就可以截得三種圓錐曲線，首先他改變了產(chǎn)生圓錐面的辦法：給定一個(gè)圓及圓所在平面外一點(diǎn)V，聯(lián)結(jié)V與圓周上的點(diǎn)并向兩端延長.令這條直線沿著圓周移動(dòng)，最后回到出發(fā)點(diǎn)，就形成圓錐曲面的兩部分.固定點(diǎn)V叫做頂點(diǎn)，定圓叫做底面，點(diǎn)V與圓心的連成叫做軸.軸垂直于底面的圓錐是正圓錐，不垂直的是斜圓錐.

圖2

當(dāng)時(shí)，Appolonius還不知道坐標(biāo)系，他首先通過平面去截圓錐的一腔形成橢圓，用類似于坐標(biāo)系的方法求出來的橢圓方程在現(xiàn)代橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中，若將坐標(biāo)原點(diǎn)（0，0）移到（-a，0），則新坐標(biāo)系下的方程只需將x=x'+a,y'=y替換，即得這就與阿波羅尼奧斯求出來的方程形式一樣了.

他通過改變平面去截圓錐面的角度，可得到另外兩種截線.若截平面與底圓相交，而且和圓錐面的另一支也相交，便得到雙曲線，其方程為若截平面平行于一條母線，則與底圓相交，但只與圓錐的一支相交，這時(shí)得到拋物線方程為y2=px

當(dāng)時(shí)阿波羅尼奧斯已借助坐標(biāo)來描述圓錐曲線，對(duì)圓錐曲線的全部性質(zhì)的研究達(dá)到了非解析幾何意義下綜合演繹幾何學(xué)的最高峰.這三種圓錐曲線的命名源于阿波羅尼奧斯，分別叫做橢圓、雙曲線、拋物線.他用統(tǒng)一的方式得到了三種圓錐曲線，既總結(jié)前人的工作，又進(jìn)一步自己研究了許多性質(zhì).如中心、切線、焦點(diǎn)等，形成了完美的圓錐曲線論.

1.3 帕波斯對(duì)圓錐曲線的研究

公元4世紀(jì)，亞歷山大后期的著名數(shù)學(xué)家帕波斯（Pappus，公元300年—公元350年）在其名著《數(shù)學(xué)匯編》中研究了圓錐曲線及其性質(zhì).

1.3.1 用不通過圓錐頂點(diǎn)V的平面去截一個(gè)直圓錐.把兩個(gè)球面別放在截面的上方和下方，和截相切于F1與F2兩點(diǎn)，這兩球面又與圓錐面相切于兩個(gè)圓.在橢圓上任取一點(diǎn)M，過M引線段AB，A、B分別為兩球與圓錐面的切點(diǎn).則由直線MA、MF與球面相切，有MA=MF1，直線MB、MF2與另一個(gè)球面相切，有MB=MF2，于是，MF1+MF2=MA+MB=AB=常數(shù)，因此得出結(jié)論：橢圓是截面上所有點(diǎn)M的集合，M與截上兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2距離之和是一個(gè)常數(shù)，點(diǎn)F1、F2稱為橢圓的焦點(diǎn).

1.3.2 若截面與圓錐的兩腔相交，即平行于圓錐面的兩條母線確定的平面，則得到的截線是雙曲線，兩個(gè)球分別放入圓錐的兩腔中，使它們分別與截面相切于點(diǎn)F1，F(xiàn)2，且它們分別與圓錐面切于兩個(gè)圓.在雙曲線上任取一點(diǎn)M.同理可得MF1=MA，MF2=MB，其中，M、B、V、A在一條母線上，V是頂點(diǎn)，于是，MF1-MF2=MA-MB=AB=常數(shù).而AB的長是一定的，與M點(diǎn)的選取無關(guān)；故|MF1-MF2|=常數(shù).

于是得出結(jié)論：雙曲線是點(diǎn)M的集合，它的每個(gè)點(diǎn)與這平面上的兩點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值是一個(gè)常數(shù).（若M取在另一支上，則MF1-MF2是負(fù)的，但絕對(duì)值不變.）點(diǎn)F1、F2稱為雙曲線的焦點(diǎn).

1.3.3 若截面與圓錐的一條母線平行，與圓錐面的一腔相交，截得的曲線稱為拋物線.

作一球面使它與圓錐相切于一個(gè)圓周與截面相切于點(diǎn)F，在拋物線上任取一點(diǎn)M，則MF=MA

（A為圓錐面與球的切點(diǎn)）.球與圓錐面相切的圓所在的平面與截平面相交于一條直線.得出結(jié)論：

拋物線是動(dòng)點(diǎn)M的集合，M與這平面上一個(gè)定點(diǎn)F及一定直線距離相等.點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線叫做準(zhǔn)線.

橢圓與雙曲線也有準(zhǔn)線且各有兩條準(zhǔn)線，這些準(zhǔn)線是截面與兩球面和圓錐相切的圓所在平面的交線.通過焦點(diǎn)與準(zhǔn)線可以得出三種圓錐曲線統(tǒng)一定義：

點(diǎn)M到定點(diǎn)F與到定直線的距離之比是一個(gè)非零常數(shù)e，e＜1的是橢圓，e=1的是拋物線，e＞1的是雙曲線.點(diǎn)F與準(zhǔn)線在截面上，F(xiàn)不在準(zhǔn)線上.這就是帕波斯通過焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的觀點(diǎn)給出的圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)定義.

1.4 16世紀(jì)以后圓錐曲線的發(fā)展

16世紀(jì)科學(xué)史上，與圓錐曲線有關(guān)的兩項(xiàng)工作是：（1）開普勒發(fā)現(xiàn)行星按橢圓形軌道運(yùn)行；（2）伽俐略證明了不計(jì)阻力的斜拋運(yùn)動(dòng)軌跡是拋物線.這就說明了圓錐曲線并不是依附于圓錐之上的“靜態(tài)曲線”，而是有在于自然界的物體常見的運(yùn)動(dòng)形式，為運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來研究圓錐曲線問題做了重要準(zhǔn)備.

1629年，法國數(shù)學(xué)家費(fèi)爾馬引用斜角坐標(biāo)研究圓錐曲線，得出的結(jié)論：圓錐曲線的方程都是含有兩個(gè)未知數(shù)且最高次數(shù)為二次的方程.

1637年笛卡兒創(chuàng)立解析幾何，其中的坐標(biāo)法、平面上的點(diǎn)和實(shí)數(shù)（x,y）一一對(duì)應(yīng)，“靜”的曲線是點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡、代數(shù)方程可表示曲線等思想，鋪設(shè)了通往現(xiàn)代圓錐曲線理論的金光大道.英國數(shù)學(xué)家沃利斯在《圓錐曲線論》一文中，用關(guān)于x,y的二次方程來表示圓錐曲線，把圓錐曲線從圓錐面的截線中解脫出來，成為一種平面曲線.1748年，歐拉在《無窮小分析引論》一書中詳細(xì)討論了形如Ax2+Bxy+CY2+DX+ EY+F=0的一般二次方程，證明可以通過坐標(biāo)的平移和轉(zhuǎn)軸兩種變換，把任何一個(gè)二次方程化為9個(gè)標(biāo)準(zhǔn)型（橢圓型、雙曲線型、拋物線型）中的一個(gè)（包括退化的圓錐曲線，如圓等），這就是我們現(xiàn)在教材中出現(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程.

2 教學(xué)啟示

從上述圓錐曲線的形成和發(fā)展過程中，我們可以看到它是經(jīng)過幾代數(shù)學(xué)家的堅(jiān)持不懈地探索，逐漸把古希臘學(xué)者對(duì)圓錐曲線深?yuàn)W難懂的文字表達(dá)變?yōu)橥ㄟ^坐標(biāo)系和標(biāo)準(zhǔn)方程這樣簡潔、清晰的表示.

2.1 現(xiàn)行教科書中的圓錐曲線理論知識(shí)是經(jīng)過了2000多年來一代代數(shù)學(xué)家孜孜不倦追求真理的結(jié)果，多么地來之不易呀！整個(gè)發(fā)展過程中蘊(yùn)含的豐富思想和方法對(duì)我們現(xiàn)代中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)有著重要的借鑒作用.數(shù)學(xué)家的執(zhí)著追求的精神對(duì)中學(xué)生來講也具有重要的教育意義.

2.2 數(shù)學(xué)教師不能只是一味地追求數(shù)學(xué)理論的嚴(yán)密性、系統(tǒng)性，而需收集整理數(shù)學(xué)史料，不能僅局限于教材內(nèi)容，而需重新審視、挖掘這些內(nèi)容背后的歷史，弄清知識(shí)的來龍去脈，然后采取適當(dāng)?shù)姆绞饺谌氲浇虒W(xué)中.了解圓錐曲線統(tǒng)一定義的由來有助于提高中學(xué)生的理解水平，使學(xué)生不會(huì)感到突如其來、深?yuàn)W難懂.

〔1〕梁宗巨.世界數(shù)學(xué)通史[M].沈陽：遼寧教育出版社，2001.

〔2〕梁宗巨.數(shù)學(xué)歷史典故[M].沈陽：遼寧教育出版社，2000.

〔3〕王樹禾.數(shù)學(xué)思想史[M].北京：國防工業(yè)出版社，2003.

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