高喜花

（河南水利與環(huán)境職業(yè)學(xué)院，河南鄭州450011）

淺談復(fù)變函數(shù)的可微性與解析性

高喜花

（河南水利與環(huán)境職業(yè)學(xué)院，河南鄭州450011）

本文主要介紹復(fù)變函數(shù)的可微性與解析性，并利用柯西－黎曼方程推出它們成立的充分條件、必要條件和充要條件，最后歸納總結(jié)出復(fù)變函數(shù)的可微性與解析性的聯(lián)系與區(qū)別.

復(fù)變函數(shù)；可微性；解析性；解析函數(shù)；柯西－黎曼方程

在復(fù)變函數(shù)教學(xué)中，解析函數(shù)是復(fù)變函數(shù)論研究的主要對(duì)象，它是一種具有某種特性的可微函數(shù).函數(shù)的解析性與可微性是一個(gè)學(xué)習(xí)重點(diǎn)，也是易混淆的學(xué)習(xí)難點(diǎn).文章對(duì)這部分內(nèi)容進(jìn)行了思考總結(jié)，指出復(fù)變函數(shù)可微性與解析性的聯(lián)系與區(qū)別，從而有利于更好地理解和掌握復(fù)變函數(shù).

1 復(fù)變函數(shù)的可微性

1.1 復(fù)變函數(shù)可微性的定義

定義1.1設(shè)函數(shù)w=f(z)在點(diǎn)z0的鄰域內(nèi)（或含z0的區(qū)域D內(nèi)）有定義，若極限

存在，則稱此極限為函數(shù)f(z)在點(diǎn)z0的導(dǎo)數(shù)，記為f'(z0)這時(shí)也稱f(z)在點(diǎn)z0可導(dǎo).

定義1.2若函數(shù)w=f(z)在點(diǎn)z0可導(dǎo)，則稱f'(z0)Δz為函數(shù)w=f(z)在點(diǎn)z0的微分，記為

即

此時(shí)也稱f(z)在點(diǎn)z0可微.

特別地，當(dāng)f(z)=z時(shí)，dz=Δz，于是(1.2)變?yōu)?/p>

即

由此可見(jiàn)，在復(fù)變函數(shù)中f(z)在點(diǎn)z0可導(dǎo)與f(z)在點(diǎn)z0可微是等價(jià)的.

函數(shù)由f(z)在點(diǎn)z可導(dǎo)與可微的概念與數(shù)學(xué)分析中的可導(dǎo)與可微這兩個(gè)概念相類(lèi)似，因此數(shù)學(xué)分析中求導(dǎo)基本公式，均可類(lèi)似地推廣到復(fù)變函數(shù)中來(lái).同時(shí)，與數(shù)學(xué)分析中一樣，函數(shù)f(z)在點(diǎn)z可微，則f(z)在點(diǎn)z連續(xù)，反之不一定成立，但在數(shù)學(xué)分析中，要構(gòu)造一個(gè)處處連續(xù)又處處不可微的例子是一件非常困難的事情，而在復(fù)變函數(shù)中，這樣的例子卻幾乎是隨手可得.如果函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)都可微，則稱f(z)在區(qū)域D內(nèi)可微.

1.2 柯西－黎曼方程

設(shè)w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)下面我們來(lái)探討f(z)的可微性與二元實(shí)函數(shù)u(x,y)及v(x,y)之間存在的關(guān)系.

若f(zz)=u(x,y)+iv(x,y)在點(diǎn)z=x+iy可微，且設(shè)

又設(shè)

其中

則(1.3)變?yōu)?/p>

由于當(dāng)Δz=Δx+iΔy不論按什么方向趨于零時(shí)，(1.4)式總是成立，因此我們可以先設(shè)Δy=0,Δx→0，即點(diǎn)z+Δz沿著平行于實(shí)軸的方向趨于點(diǎn)z（圖1），

圖1

則此時(shí)(1.4)變?yōu)?/p>

同理，設(shè)Δx=0,Δy→0，即點(diǎn)z+Δz沿著平于虛軸的方向趨于點(diǎn)z（圖1），此時(shí)(1.4)變?yōu)?/p>

由(1.5)，(1.6)及復(fù)數(shù)相等性質(zhì)可得

則(1.7)稱為柯西－黎曼條件或柯西－黎曼方程，簡(jiǎn)稱為方程.

總結(jié)上述討論，即得：

1.3 復(fù)變函數(shù)可微性的必要條件

設(shè)函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域D內(nèi)有定義，且在D內(nèi)一點(diǎn)z=x+iy可微，則有

(1)在點(diǎn)(x,y)處偏導(dǎo)數(shù)ux，uy，vx，vy都存在；

(2)u(x,y)，v(x,y)在點(diǎn)(x,y)滿足C-R方程.

但它的逆命題不成立.

1.4 復(fù)變函數(shù)可微性的充分條件

設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域D內(nèi)有定義，且f(z)在D內(nèi)一點(diǎn)z=x+iy可微的充分條件是：

(1)偏導(dǎo)數(shù)ux，uy，vx，vy在點(diǎn)(x,y)處連續(xù)；

(2)u(x,y)，v(x,y)在點(diǎn)(x,y)滿足C-R方程.

1.5 復(fù)變函數(shù)可微性的充要條件

設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域D內(nèi)有定義，則f(z)在D內(nèi)一點(diǎn)z=x+iy可微的充要條件是：

(1)u(x,y)，v(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微；

(2)u(x,y)，v(x,y)在點(diǎn)(x,y)滿足C-R方程．

當(dāng)上述條件滿足時(shí)，有

例1證明函數(shù)f(z)=■|xy|在z=0有定義，但在z=0不可微.

但是由于

因此當(dāng)Δz沿著射線Δy=kΔx(Δx＞0)隨著Δx→0時(shí)，

它是一個(gè)與k有關(guān)的值，故不存在，即f(z)在z=0不可微.

2 復(fù)變函數(shù)的解析性

2.1 復(fù)變函數(shù)解析性的定義

若函數(shù)w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)可微，則稱f(z)為區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)（或全純函數(shù)、正則函數(shù)）.此時(shí)也稱f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析.

解析函數(shù)是復(fù)變函數(shù)論研究的主要對(duì)象，它與相伴區(qū)域密切相關(guān).以后說(shuō)到f(z)在某點(diǎn)解析.則表示f(z)在該點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)解析，說(shuō)f(z)在閉域D上解析，則表示f(z)在包含D的某個(gè)區(qū)域內(nèi)解析．因而解析的概念要比可微的概念條件要強(qiáng)得多.

2.2 解析函數(shù)及其簡(jiǎn)單性質(zhì)

與數(shù)學(xué)分析一樣，解析函數(shù)也有如下基本性質(zhì)：

(1)若f1(z),f2(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，則其和、差、積、商（在商的情形，要求分母在D內(nèi)不為零）也在D內(nèi)解析，且

(2)（復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則）設(shè)ξ=f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，w=g (ξ)在區(qū)域G內(nèi)解析，若?z∈D均有ξ=f(z)∈G，則w=g[f(ξ)]在D內(nèi)解析，且

2.3 復(fù)變函數(shù)解析性的充要條件

函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域D內(nèi)解析的充要條件是：

(1)二元函數(shù)u(x,y)，v(x,y)在區(qū)域D內(nèi)可微；

(2)u(x,y)，v(x,y)在區(qū)域D內(nèi)滿足C-R方程.

2.4 復(fù)變函數(shù)解析性的充分條件

函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域D內(nèi)解析的充分條件是：

(1)ux，uy，vx，vy在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)；

(2)u(x,y)，v(x,y)在區(qū)域D內(nèi)滿足C-R方程.

例2試證f(z)=ex(cosy+isiny)在z平面上處處解析，且f' (z)=f(z)

證明由已知u(x,y)=excosy,v(x,y)=exsiny可分別求它們的偏導(dǎo)數(shù)得

則滿足C-R方程.所以u(píng)(x,y),v(x,y)在z平面上處處可微，故由解析的充要條件f(z)在z平面上處處解析.且由公式(1.8)可得

3 復(fù)變函數(shù)的可微性與解析性的區(qū)別與聯(lián)系

通過(guò)上述關(guān)于復(fù)變函數(shù)可微性與解析性的概念及它們成立的條件我們可以總結(jié)出它們之間的聯(lián)系：

(1)復(fù)變函數(shù)的解析性與可微性都滿足C-R方程；

(2)函數(shù)的可微性是函數(shù)解析的前提.

同時(shí)，它們之間還存在著區(qū)別：

(1)函數(shù)的可微性定義域可以是點(diǎn)也可以是區(qū)域，而函數(shù)的解析性定義域是只能是區(qū)域.

(2)函數(shù)f(z)在一點(diǎn)解析是針對(duì)一個(gè)局部鄰域，而函數(shù)在一點(diǎn)可微是對(duì)一個(gè)點(diǎn)而言.

所以可以總結(jié)出以下幾點(diǎn)是成立的：

(1)w=f(z)在點(diǎn)z0處可導(dǎo)(可微)，但不一定在z0處是解析的，

(2)f(z)在區(qū)域D內(nèi)可微與在區(qū)域D內(nèi)解析是等價(jià)的，

(3)函數(shù)f(z)在一點(diǎn)解析，則函數(shù)在該點(diǎn)一定可微.

例3函數(shù)f(z)=sinxchy+icosxshy何處可微？何處解析？

解由f(z)=sinxchy+icosxshy

設(shè)u(x,y)=sinxchy，v(x,y)=cosxshy可得它們對(duì)x和y的偏導(dǎo)數(shù)為

所以，函數(shù)在z平面上處處連續(xù)，且在整個(gè)復(fù)平面滿足C-R方程，故

在z平面上處處可微，在z平面上處處不解析.

〔1〕鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)(第三版)[M].北京：高等教育出版社，2004．

〔2〕鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)書(shū)[M].北京：高等教育出版社，2003．

〔3〕余家榮.復(fù)變函數(shù)(第三版)[M].北京：高等教育出版社，2000．

〔4〕龔東寶.復(fù)變函數(shù)典型題解[M].西安：西安交通大學(xué)出版社，2002．

〔5〕路可見(jiàn)，等.復(fù)變函數(shù)[M].武漢：武漢大學(xué)出版社，2004．

〔6〕方企勤.復(fù)變函數(shù)教程[M].北京：北京大學(xué)出版社，1996．

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1673-260X（2013）08-0008-03