郭平功，童麗萍

(1.鄭州大學土木工程學院，河南鄭州450001;2.河南城建學院土木工程系，河南平頂山467036)

0 引言

生土窯居是指在原始土中經(jīng)人工挖鑿而形成的穴居居住形式，其支撐體系完全由挖鑿成型的純原狀土拱體系作為窯居的自支撐結(jié)構(gòu)，沒有棟梁支撐，也沒有其他支護，但卻能夠居而不衰、屹立百年甚至數(shù)百年而不坍塌。即使在地震多發(fā)區(qū)(中國在役窯居大多分布于地震多發(fā)地帶，45%的窯居區(qū)地震烈度在7 度以上)，建造年代百年以上的窯居也很普遍，這充分說明了生土窯居存在之合理、構(gòu)筑之巧妙，蘊涵著結(jié)構(gòu)和力學奧秘。為全面探討生土窯居民居的結(jié)構(gòu)性能，充分挖掘生土窯居存在合理性、科學性，對在役生土窯居的可靠度進行分析是非常有效的方法，研究成果將為該類居住結(jié)構(gòu)的安全性評價和壽命估計提供依據(jù)。這正是本文的研究意義。

民間在營造生土窯居時，為保證可靠性，十分注意選址。通常選擇穩(wěn)定性較高的離石黃土層，避開黃土的節(jié)理面，土層應干燥，排水條件好［1］。其實選址是為了保證黃土材料的強度。黃土的強度由黏聚力c 和內(nèi)摩擦角φ 提供，兩者具有負相關性，通常認為其相關因數(shù)的范圍為－0.3 ～－0.7［2］。本文討論c 和φ 的相關性對生土窯居可靠度的影響。

對于含有相關隨機變量的結(jié)構(gòu)可靠度問題，早期的一些研究采用正交變換的方法，首先，將相關的隨機變量變換為不相關的隨機變量，然后用JC 法進行計算。從原理上講，這種方法是正確的，但計算過于繁瑣，特別是需要求矩陣的特征值，不便于應用。近年的一些研究則直接在廣義空間(仿射坐標系)內(nèi)建立求解可靠指標的迭代公式，不需要過多的準備工作，應用簡單，是對現(xiàn)有可靠度計算方法的推廣［3－4］。

可靠度的計算方法有響應面法、一次二階矩法、蒙特卡羅法等，生土窯居的功能函數(shù)是未知的，適合用響應面法［5］來求解可靠度。響應面法的關鍵是確定結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)，本文結(jié)合有限元強度折減法［6］，提出“富裕安全因數(shù)”(FE)作為生土窯居承載能力極限狀態(tài)的判別標準。

1 基于有限元強度折減法的FE

1.1 有限元模型

生土窯居的幾何參數(shù)主要包括窯跨、窯腿寬度、側(cè)墻等，如圖1 所示，圖1 中A 點為中間窯室的頂點。在營造的過程中，根據(jù)窯室使用功能、重要性的不同，窯室分為主窯、角窯、側(cè)窯等，主要的窯跨較大、高度較高，使用空間更大。課題組在河南三門峽陜縣進行了實地測量、試驗，建立了生土窯居幾何參數(shù)、黃土力學參數(shù)的數(shù)據(jù)庫，其平均值分布如表1、表2 所示。

圖1 生土窯居各部位示意圖

表1 生土窯居幾何參數(shù)平均值

表2 黃土力學參數(shù)平均值

由文獻［7］可知:特征點A 點的豎向位移在按二維和三維分析時很接近，生土窯居可按二維問題研究。為簡化問題，窯室?guī)缀螀?shù)均取平均值，如圖1 所示。在建立有限元模型的過程中，需考慮生土窯居的營造過程的獨特性，它是在黃土塬或黃土崖上經(jīng)掏鑿而成，并且各窯室的開挖不是同步的。首先，建立窯室未開挖時的有限元模型，只需把有限元模型取得足夠大，以忽略邊界條件的影響;為減少計算時間，在模型的右邊加上對稱約束，即只建立對稱的一半模型，如圖2a 所示，施加重力荷載并平衡初始地應力。然后，開挖中間的窯室，如圖2b 所示。最后，開挖兩側(cè)的窯室，如圖2c 所示。生土窯居中的地坑窯頂面經(jīng)常有車輛行駛或停留，偏于安全，本文生土窯居的有限元模型均考慮該部分荷載，窯室開挖完成后，在地面施加均布荷載4 kN/m2×1.4 =5.6 kN/m2，其中，1.4 為可變荷載分項因數(shù)，標準值取4 kN/m2是參考荷載規(guī)范中樓面作為汽車通道及停車庫的荷載取值。靠近窯室的部分網(wǎng)格劃分的較密，離得越遠網(wǎng)格劃分越粗。模型底部固定豎向約束，左側(cè)固定水平約束，右側(cè)為對稱約束。

本文主要考慮黃土的黏聚力和內(nèi)摩擦角的相關性的對生土窯居可靠度影響，有限元模型根據(jù)計算要求需重復建立多輪。有限元模型的幾何尺寸在每輪計算中不需改變，但需改變力學參數(shù)。黏聚力c和內(nèi)摩擦角φ 均為正態(tài)隨機變量，其標準差分別為5.18 kPa 和2.81°。

圖2 有限元分析模型

1.2 基于強度折減法的FE

作為生土窯居承載能力極限狀態(tài)的判別標準，F(xiàn)E等同于生土窯居的功能函數(shù)值，應滿足下式:

本文偏于安全地規(guī)定“富裕安全因數(shù)”與安全因數(shù)(以FS表示)關系為:

安全因數(shù)為結(jié)構(gòu)或構(gòu)件的抗破壞強度與設計荷載效應組合的比值，目前，并沒有相關的規(guī)程或規(guī)范對生土窯居的安全因數(shù)進行定義。求生土窯居的安全因數(shù)是對其穩(wěn)定性進行分析，穩(wěn)定性分析是巖土工程中的重要研究領域，有限元強度折減法是研究該問題的有力工具。對于生土窯居的安全因數(shù)，實質(zhì)是黃土的強度儲備安全因數(shù)。由摩爾－庫倫理論，土的抗剪強度由黏聚力和內(nèi)摩擦角提供，強度折減法即對黏聚力和內(nèi)摩擦角進行折減，如式(1)所示。

其中，F(xiàn) 為強度折減因數(shù);c、φ 和c'、φ'分別為折減前后的黏聚力和內(nèi)摩擦角;結(jié)構(gòu)處于承載能力極限狀態(tài)時，黃土的抗剪強度發(fā)揮到最大，此時的折減因數(shù)即為安全因數(shù)FS［8］。

對于圖2 的有限元模型，選取主窯拱圈的中點作為特征點［7］(點A)，當土體的力學參數(shù)均取表2 所示的平均值時，特征點豎向位移與F 的關系如表3 所示，位移以向下為正。強度折減因數(shù)F 從1.00 逐漸增大，最初每次增大0.10，當豎向位移較大、有可能接近極限狀態(tài)時，F(xiàn) 每次增大0.01;F 由1.58 增大為1.59 時，向下位移由48 mm 增大為98 mm，發(fā)生突變，說明F 為1.58 時窯居處于極限狀態(tài)，安全因數(shù)FS為1.58，F(xiàn)E為0.48。

2 廣義隨機空間中的響應面法

表3 折減因數(shù)與特征點豎向位移關系表

2.1 廣義隨機空間

隨機變量的相關性對結(jié)構(gòu)的可靠度有著明顯的影響，通常將相關的隨機變量轉(zhuǎn)化為獨立的隨機變量，如Rosenblatt 變換、正交變換等，但轉(zhuǎn)換過程繁瑣，本文直接在廣義隨機空間內(nèi)建立可靠指標的迭代公式。廣義隨機空間和直角坐標系隨機變量空間不同之處是，前者坐標軸間的夾角不是直角，而是由隨機變量的相關系數(shù)確定。求可靠指標與驗算點的方法仍采用改進的一次二階矩法，只需把相關的公式做改變即可。

2.2 響應面方法

生土窯居的功能函數(shù)是隱式的，需用響應面函數(shù)代表真實的功能函數(shù)，然后用改進的一次二階矩法求其可靠指標與驗算點，響應面函數(shù)的輸入為隨機變量c 和φ，輸出為FE。通常采用不含交叉項的二次多項式作為響應面函數(shù)，該函數(shù)具有較高的精度、較少的計算量。分別用X1、X2表示隨機變量c、φ 時，響應面函數(shù)的形式如式(4)所示。

式中，a、b1、b2、c1、c2為待定系數(shù)。響應面方法是一種迭代方法，不是求一次響應面函數(shù)就可以得到可靠指標與驗算點，需經(jīng)過多輪有限元計算、建立一系列的響應面函數(shù);每輪有限元計算、建立響應面函數(shù)后，使用改進的一次二階矩法求出該輪的驗算點與可靠指標，以得到的驗算點為基礎，利用式(5)求得下一輪有限元計算的試驗中心點。

式中，x(k)、x(k-1)表示第k、k -1 輪的試驗中心點;x*(k-1)為第k -1 輪所得出的驗算點;第1 輪的試驗中心點選為c、φ 的平均值。當前后兩輪所得驗算點的模滿足式(6)時，不再進行有限元計算。

3 生土窯居的可靠度

按照前述方法建立廣義空間中的響應面方程，根據(jù)式(7)、式(8)和式(9)編制Matlab 程序，求得第k 輪可靠指標β(k)和驗算點x*(k)，計算收斂后的可靠指標以β 表示。以c 和φ 的相關系數(shù)ρc，φ為－0.3 為例，列出其可靠指標與驗算點的求解過程，如表4 所示。文后附第1 輪計算時的Matlab 代碼。

由表4 可知:經(jīng)第1 輪計算，所得驗算點為(26.192 6，32.402 2)，對應的富裕安全因數(shù)FE為0.02，已接近生土窯居的承載能力極限狀態(tài)，說明在廣義隨機空間中，不含交叉項的二次多項式響應面非常準確和高效。用式(5)線性插值得第2 輪計算的中心點(26.109 7，31.558 8)，對應的富裕安全因數(shù)FE為0，說明經(jīng)線性插值后，所得試驗點更接近驗算點。經(jīng)兩輪計算后，已滿足式(6)的要求，不再繼續(xù)計算?？傻胏 和φ 的相關系數(shù)為－0.3 時，生土窯居的可靠指標為4.375 5，驗算點為(26.401 1，31.325 7)。

相關系數(shù)ρc，φ分別為－0.7、－0.5、－0.3 和0(即c 和φ 相互獨立)時，其可靠指標β、驗算點如表5所示。由表5 可知:c 和φ 的負相關程度越大，可靠指標越高。當不考慮兩者間的負相關性時，所得可靠指標是保守的。

表4 可靠指標與驗算點的求解

當c 和φ 的相關系數(shù)不同時，驗算點也是不同的，如表5 所示。把表5 中的4 個驗算點代入有限元模型中，其對應的FE均為0，說明4 個驗算點均正確，生土窯居在不同的γ(φ，c)時均可能處于承載能力極限狀態(tài)。ρc，φ為－0.7時，驗算點與均值點的距離比ρc，φ為其他值時遠，驗證了負的相關性越大，可靠指標越高的規(guī)律。

表5 相關系數(shù)對可靠指標與驗算點的影響

4 結(jié)論

本文提出FE作為生土窯居承載能力極限狀態(tài)的標準，在廣義隨機空間中使用響應面法，分析了黃土的黏聚力和內(nèi)摩擦角的負相關性對生土窯居可靠度的影響。所得結(jié)論如下:

(1)基于強度折減法的FE，從整體上描述了生土窯居的安全性，可認為生土窯居是一構(gòu)件，避免了把生土窯居這一復雜系統(tǒng)劃分為串聯(lián)、并聯(lián)構(gòu)件的問題，使求其隨機可靠度這一問題變?yōu)榭赡堋?/p>

(2)即使不考慮黃土力學參數(shù)的負相關性，河南三門峽陜縣的生土窯居的可靠指標也很高，該區(qū)域的黃土是營造生土窯居的天然有利條件。

(3)不考慮黃土力學參數(shù)間的負相關性時，所得可靠指標是保守的。

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