趙攀

（皖西學(xué)院 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 六安 237012）

支付紅利的O-U過程的亞式期權(quán)定價(jià)

趙攀

（皖西學(xué)院 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 六安 237012）

利用鞅和隨機(jī)分析方法對(duì)帶有支付紅利的指數(shù)O-U過程的亞式期權(quán)進(jìn)行了研究，得到了支付紅利的指數(shù)O-U過程的幾何平均亞式看漲及看跌期權(quán)的定價(jià)公式。

O-U過程；期權(quán)定價(jià)；鞅方法；亞式期權(quán)

0 引言

亞式期權(quán)是現(xiàn)代金融市場(chǎng)中應(yīng)用十分廣泛的一種新型變異期權(quán)，它是一種損益基于均值的強(qiáng)路徑依賴期權(quán)，是用該時(shí)期的平均值代替常規(guī)期權(quán)的敲定價(jià)格或到期的資產(chǎn)價(jià)格來決定是否執(zhí)行期權(quán)，以及執(zhí)行期權(quán)時(shí)的收益大小。近年來，有一些學(xué)者在B-S模型［1］的基礎(chǔ)上，在所標(biāo)的股票價(jià)格遵循標(biāo)準(zhǔn)幾何布朗運(yùn)動(dòng)的假設(shè)下，對(duì)亞式期權(quán)的定價(jià)問題進(jìn)行了研究。章珂［2］、杜雪樵［3］、姜禮尚［4］分別利用鞅和偏微分方法研究了幾何平均亞式期權(quán)的定價(jià)公式；曲軍恒［5］給出了標(biāo)準(zhǔn)幾何布朗運(yùn)動(dòng)下有交易成本的幾何亞式期權(quán)的定價(jià)公式?？紤]到實(shí)際市場(chǎng)股票的預(yù)期收益率往往是波動(dòng)變化的，依賴于時(shí)間和股票價(jià)格。本文選取了能反映股票預(yù)期收益率波動(dòng)變化的指數(shù)O-U過程來刻畫股票價(jià)格的變化規(guī)律，并利用等價(jià)鞅測(cè)度和隨機(jī)微分方法對(duì)帶有支付紅利的指數(shù)O-U過程的亞式期權(quán)進(jìn)行研究，進(jìn)而得到支付紅利的指數(shù)O-U過程的幾何平均亞式看漲及看跌期權(quán)的定價(jià)公式。

1 預(yù)備知識(shí)

用S(t)表示股票t時(shí)刻的價(jià)格，V表示期權(quán)的價(jià)格，T表示期權(quán)的到期時(shí)間。模型的基本假設(shè)：

1）允許賣空；

2）無稅收；

3）無套利機(jī)會(huì)；

4）投資者可以按無風(fēng)險(xiǎn)利率任意借入或貸出資金；

5）市場(chǎng)的波動(dòng)率為σ(t)，無風(fēng)險(xiǎn)利率為r(t)，紅利利率為q(t)，3個(gè)函數(shù)都是在期權(quán)有效期內(nèi)時(shí)間t的函數(shù)；

6）股票價(jià)格遵循指數(shù)O-U過程：

其中{Wt}t≥0是定義在概率空間(Ω ，F(xiàn)，{Ft}t≥0，P )上的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，{Ft}t≥0為由{Wt}t≥0產(chǎn)生的滿足通常條件（完備、單調(diào)增、右連續(xù)）的自然σ-域，且u(t)、σ(t)充分光滑使方程（1）有嚴(yán)格唯一正解，a＞0，S＞0為常數(shù)。

2 支付紅利的亞式期權(quán)定價(jià)

Z(t)為正態(tài)變量，期望為0。

3 結(jié)語

為了更貼近實(shí)際市場(chǎng)的資產(chǎn)運(yùn)動(dòng)，筆者在考慮支付紅利的情況下，利用能反映股票預(yù)期收益率波動(dòng)變化的指數(shù)O-U過程來刻畫股票價(jià)格的變化規(guī)律，對(duì)幾何平均亞式期權(quán)的定價(jià)進(jìn)行了研究，得出了帶有支付紅利的幾何平均亞式看漲及看跌期權(quán)的定價(jià)公式，豐富了期權(quán)定價(jià)理論。

［1］ Black F，Scholes M.The pricing of options and corporate liabilities［J］.Joumal of Political Economy，1973，81：133-155.

［2］ 章珂，周文彪，沈榮芳.幾何平均亞式期權(quán)的定價(jià)方法［J］.同濟(jì)大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2001，29（8）：924-927.

［3］ 杜雪樵，唐玲.亞式期權(quán)定價(jià)中的鞅方法［J］.合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2005，28（2）：206-208.

［4］ 姜禮尚.期權(quán)定價(jià)的數(shù)學(xué)模型和方法［M］.北京：高等教育出版社，2003.

［5］ 曲軍恒，沈堯天，姚仰新.有交易費(fèi)用的幾何平均亞式期權(quán)的定價(jià)公式［J］.華南理工大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2004，32（5）：84-86.

［6］ 閆海峰，劉三陽.股票價(jià)格遵循Omstein-Uhlenback過程的期權(quán)定價(jià)［J］.系統(tǒng)工程學(xué)報(bào)，2003，18（6）：547-551.

Model of Asian Option Pricing Driven by O-U Process with Dividend Payment

ZHAO Pan
（School of Applied Mathematics，West Anhui University，Liuan 237012，Anhui，China）

Asian option with dividend payments，driven by O-U process were studied by using the martingale and stochastic analysis method.The pricing formulas of the geometric average asian put and call option are obtained，under the circumstance that the stock price is driven by an expo?nential O-U process and has dividend payment.

O-U process；option pricing；martingale method；Asian option

O213；F830.91

：A

：1673-0143（2013）01-0031-04

（責(zé)任編輯：強(qiáng)士端）

2012－10－15

安徽省教學(xué)研究重點(diǎn)項(xiàng)目（20100874）；安徽省高校優(yōu)秀青年基金項(xiàng)目（2012SQRL196）

趙 攀（1980—），男，講師，碩士，研究方向：應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)、數(shù)理金融。