趙艷麗

（成都理工大學(xué)工程技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)部，四川 樂(lè)山 614000）

（2+1）維Boiti-Leon-Pempinelli方程的精確解

趙艷麗

（成都理工大學(xué)工程技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)部，四川 樂(lè)山 614000）

介紹了求解非線性偏微分方程的方法—(G′/G)-展開(kāi)法。通過(guò)使用該方法，并借助Maple得到了（2+1）維Boiti-Leon-Pempinelli（簡(jiǎn)稱BLP）方程的多種新精確解，其中包括雙曲函數(shù)解、三角函數(shù)解和有理函數(shù)解等。

（2+1）維BLP方程；(G′/G)-展開(kāi)法；扭結(jié)孤子解；符號(hào)計(jì)算

尋找非線性偏微分方程的精確解是研究非線性偏微分方程的非常重要的問(wèn)題，因?yàn)槲锢眍I(lǐng)域中的許多現(xiàn)象都可以用非線性偏微分方程來(lái)描述。近年來(lái)，人們一直在想辦法通過(guò)直接探討非線性偏微分方程的準(zhǔn)確解的結(jié)構(gòu)來(lái)得到它的精確解，已獲得了許多求解非線性方程的準(zhǔn)確解的方法，例如：雙曲正切函數(shù)展開(kāi)法［1-3］、正弦-余弦法［2-3］、指數(shù)函數(shù)法［3-4］、Hirota's雙線性法［5］、Jaco?bi橢圓函數(shù)展開(kāi)法［6］、修改的tanh展開(kāi)法［7］、輔助微分方程［8-10］等，文獻(xiàn)［11］提出了(G′/G)-展開(kāi)法，本文將利用這一方法構(gòu)造BLP方程的精確解。

1 (G′/G)-展開(kāi)法

首先，利用一個(gè)行波變換 ξ=α(x+y+ct)將非線性偏微分方程

變成常微分方程

下一步，把未知量U展開(kāi)為含有(G′/G)的冪級(jí)數(shù)

其中αi(i=0，1，2，…，l)是待定常數(shù)，正整數(shù)l由平衡方程（2）的最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)和最高階非線性項(xiàng)來(lái)決定，G滿足

由方程（4）的解，我們可以得到關(guān)于(G′/G)的下列結(jié)果：

其中 A1，A2為任意實(shí)數(shù)。把方程（3）、（4）代入方程（2），可以得到一組關(guān)于(G′/G)的代數(shù)方程。合并(G′/G)的同冪次項(xiàng)，令同冪次項(xiàng)的系數(shù)為零，可以得到一組關(guān)于αi(i=0，1，2，…，l)，α，c的代數(shù)方程。借助Maple求解這個(gè)代數(shù)方程組，得到方程組（2）的精確解。

2 （2+1）維BLP方程的精確解

近年來(lái)，數(shù)理學(xué)家對(duì)(2+1)維BLP方程

做了很多研究［12-15］。文獻(xiàn)［12-13］采用雙曲正切方法，文獻(xiàn)［14］采用廣義代數(shù)方法，文獻(xiàn)［15］采用改進(jìn)的Riccati方程方法，分別得到了方程組（8）的扭結(jié)孤子解和行波解。

為了尋找方程組（8）的精確解，引入行波變換ξ=α(x+y-ct)，將方程組（8）轉(zhuǎn)變?yōu)槌Ｎ⒎址匠探M

對(duì)方程組（9）的第一個(gè)方程積分兩次，忽略積分常數(shù)，得

把方程（10）代入方程組（9）的第二個(gè)方程中，得到一個(gè)非線性的常微分方程

利用方程（3）和方程（4），在方程（11）中，平衡φ″和φ3，得l=1。因此，

將（12）式代入（11）式，令所有(G′/G)的同冪次的系數(shù)等于零，得到下列關(guān)于a0，a1，α，c的代數(shù)方程

借助Maple，求解方程組（13），得到下列幾種情形：

其中c為任意常數(shù)。

將上述結(jié)果代入方程組（8），利用方程（5）～方程（7），得到方程組（8）的下列精確解。

利用情形1，有

（a1）：當(dāng) λ2-4μ＞0時(shí)，方程組（8）有如下形式的雙曲函數(shù)解

如果 A1=0，A2≠0，λ＞0，μ=0，由（14），（15）式得u1、v1的另一種形式為

特別地，u1.3是（2+1）維BLP方程的扭結(jié)孤子解。

如果 A1≠0，A2=0，λ＞0，μ=0，由（14）、（15）式，u1、v1的另一種形式為

（a2）：當(dāng) λ2-4μ＜0時(shí)，方程組（8）有如下形式的三角函數(shù)解

（a3）：當(dāng) λ2-4μ=0時(shí)，方程組（8）有如下形式的有理函數(shù)行波解

利用情形2～情形6以及方程組（10）和方程組（12）的廣義解，可以得到方程組（8）的更多精確解。簡(jiǎn)單起見(jiàn)，這里不再一一論述。

3 結(jié)語(yǔ)

筆者采用 (G′/G)-展開(kāi)法獲得了（2+1）維BLP方程的精確解，這些解包括雙曲函數(shù)解、三角函數(shù)解和有理函數(shù)解等。其中的一些結(jié)果在不同的系數(shù)條件下可以轉(zhuǎn)換為孤子形式，而且對(duì)比文獻(xiàn)［10-13］，本文的結(jié)果更為豐富。

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Exact Solution of（2+1）-dimensional Boiti-Leon-Pempinelli Equation

ZHAO Yan-li
（Foundations Department，Engineering and Technical College，Chengdu University of Technology，Leshan 614000，Sichuan，China）

The(G′/G)-expansion method is brief introduced to solve nonlinear partial differen?tial equations.Many exact solutions of the（2+1）-dimensional Boiti-Leon-Pempinelli equation（BLPE）are obtained with this method and with the aid of Maple，these solutions include hyperbolic function solution，trigonometric function solutions and rational function solutions ect.

（2+1）-dimensional Boiti-Leon-Pempinelli equation；(G′/G)-expansion meth?od；kink soliton solution；symbolic computation

O175.23

：A

：1673-0143（2013）01-0019-04

（責(zé)任編輯：強(qiáng)士端）

2012－12－02

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11271066）

趙艷麗（1980—），女，助教，碩士，研究方向：偏微分方程。