李 丹

（浙江海洋學(xué)院 數(shù)理與信息學(xué)院，浙江 舟山 316004）

0 引言

生態(tài)動(dòng)力學(xué)數(shù)值模擬研究是指用數(shù)學(xué)公式將光合作用過(guò)程和生物中的生態(tài)生理學(xué)過(guò)程和食物網(wǎng)中營(yíng)養(yǎng)關(guān)系表示成源函數(shù)的形式，即將海水運(yùn)動(dòng)、海水中營(yíng)養(yǎng)鹽的輸運(yùn)和擴(kuò)散、營(yíng)養(yǎng)鹽向浮游植物的轉(zhuǎn)化以及生物捕食關(guān)系變成可以計(jì)算的形式.這是海洋生態(tài)動(dòng)力學(xué)研究的一個(gè)重要方向.本文主要用理論推導(dǎo)和數(shù)值模擬相結(jié)合的方法，分析了模型的動(dòng)力學(xué)特性并給出了以最大利潤(rùn)為目的的最優(yōu)捕獲策略的存在性.

1 問(wèn)題的描述

考慮營(yíng)養(yǎng)鹽、自養(yǎng)浮游植物和食植魚(yú)類(lèi)相互作用關(guān)系，建立模型如下：

其中，N為營(yíng)養(yǎng)鹽濃度；P為浮游植物濃度；Z為食植魚(yú)類(lèi)濃度；e為污染強(qiáng)度；Rm為食植魚(yú)類(lèi)的最大攝食率；h為人類(lèi)對(duì)食植魚(yú)類(lèi)的捕撈率。h為模型的參數(shù),其它參數(shù)取值如下表1所示：

表1 參數(shù)意義及其取值

2 正平衡點(diǎn)的存在性

問(wèn)題（1）的平衡點(diǎn)滿足下列方程：

方程組（2）的解為：

圖1 函數(shù)d1d2－d3的圖像

圖2 函數(shù)Z*的圖像

圖3 函數(shù) f（h）的圖像

圖4 函數(shù) f′（h）的圖像

圖5 函數(shù)y=f′（h）和y=0.1的圖像

根據(jù)文[1]，我們有如下結(jié)論.

定理 1 E1是系統(tǒng)（1）的非負(fù)平衡點(diǎn).當(dāng) E＝0.05，0＜h＜0.1544 時(shí)，E2是系統(tǒng)（1）的正平衡點(diǎn).

文[1]中推導(dǎo)出了E2是系統(tǒng)（1）的穩(wěn)定平衡點(diǎn)的條件包括d1d2-d3＞0因?yàn)閐1d2-d3包含超越函數(shù)，無(wú)法根據(jù)d1d2-d3＞0給出h具體的表達(dá)式，我們通過(guò)Matlab軟件畫(huà)出了該超越函數(shù)在區(qū)間［0，0.16］的圖像，并通過(guò)數(shù)值計(jì)算的搜索法得0.0002＜h≤0.1544.

定理 2 當(dāng) E＝0.05，h＞0.1722 時(shí)，E1是系統(tǒng)（1）的穩(wěn)定平衡點(diǎn).當(dāng)0.0002≤h＜0.1544 時(shí)，E2是系統(tǒng)（1）的穩(wěn)定平衡點(diǎn).

4 以最大利潤(rùn)為目標(biāo)的捕獲策略

假設(shè)食植魚(yú)在市場(chǎng)上單位價(jià)格為p1，單位捕獲量的費(fèi)用為常數(shù)c，利潤(rùn)Q≥0，則此時(shí)食植魚(yú)的捕獲產(chǎn)出量為Y（h）＝hZ，利潤(rùn)為：

Q（h）＝p1hZ*-ch.（3）

因?yàn)樵谄胶恻c(diǎn)E1中Z＝0，下面我們只討論E2平衡狀態(tài)下的最優(yōu)捕獲策略.

將平衡點(diǎn)E2代人利潤(rùn)函數(shù)（3），可得：

上面的表達(dá)式非常復(fù)雜，不能求出函數(shù)Q（h）極值點(diǎn)的具體值,下面我們主要用Matlab軟件畫(huà)出函數(shù)圖像,討論最優(yōu)捕獲策略的存在性，且當(dāng)p1，c已知時(shí)，可借助數(shù)值方法計(jì)算最優(yōu)捕獲量的近似值.

令 f（h）＝h*Z*，由圖 2-圖 4 和數(shù)值計(jì)算可得如下結(jié)論：1）當(dāng) 0＜h＜0.16，隨著捕獲率h的增加，食植魚(yú)類(lèi)的濃度逐漸減少并趨于0；2）當(dāng)c／p1＜8.7608 時(shí)，Q（h）在區(qū)間［0，0.16］內(nèi)有且僅有一個(gè)極大值點(diǎn)；3）當(dāng)c／p1＝0.1 時(shí)，Q（h）在區(qū)間［0，0.16］內(nèi)有且僅有一個(gè)極大值點(diǎn),該點(diǎn)的近似值為 h＝0.02045.

［1］王洪禮,董占琢.海洋生態(tài)系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)研究[J].海洋技術(shù),2009,28(1):50-54.

［2］孫嘉軼.幾類(lèi)捕食-食餌系統(tǒng)的最優(yōu)捕獲策略[D].哈爾濱:哈爾濱理工大學(xué),2010.

［3］王高雄,周之銘,朱思銘,王壽松，編.常微分方程[M].3版.北京:高等教育出版社,2008.

［4］陳長(zhǎng)勝.海洋生態(tài)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)與模型[M].北京:高等教育出版社,2003.