龐 亮

（華中農(nóng)業(yè)大學 楚天學院，湖北 武漢430205）

0 引言

近十余年，我國普遍興起了數(shù)學建模教學和數(shù)學建模競賽，推動了高校數(shù)學的教學改革。數(shù)學建模是溝通數(shù)學理論與實際問題的中介和橋梁，培養(yǎng)學生數(shù)學建模能力是提高數(shù)學思維和應用能力的重要手段，在微積分教學過程中穿插建模能力訓練對學生是十分必要的。

2012年湖北省高等學校省級教學研究項目 “獨立學院數(shù)學建模與大學生實踐創(chuàng)新能力培養(yǎng)研究”和華中農(nóng)業(yè)大學楚天學院教學研究項目《微積分優(yōu)質(zhì)課程建設(shè)》中，結(jié)合各專業(yè)特點，將本校微積分劃分為四類，分別是微積分A，B，C，D，本文結(jié)合食生院學生的專業(yè)特點，嘗試在微積分B教學中融入數(shù)學建模的思想。以實驗室為基礎(chǔ)、以學生為中心、以問題為主線，以培養(yǎng)能力為目標來組織教學工作。通過教學使學生了解利用數(shù)學理論和方法去分析和解決問題的全過程，提高他們分析問題和解決問題的能力；提高他們學習微積分的興趣和應用微積分的意識和能力，使他們在以后的工作中能經(jīng)常性地想到用數(shù)學去解決問題。教師利用一些事先設(shè)計好的問題啟發(fā)學生主動查閱文獻資料和學習新知識，鼓勵學生積極開展討論和辯論，培養(yǎng)學生從事科研工作的初步能力，培養(yǎng)學生團結(jié)協(xié)作精神，增強他們的數(shù)學素質(zhì)和創(chuàng)新能力。

在實踐中，數(shù)學建模的應用過程是復雜的，但也是有規(guī)律可循的。微積分B的特點是內(nèi)容多，學時少，教師在完成教學任務的基礎(chǔ)上，將數(shù)學建模的思想融入微積分B的教學中是存在困難的，這要求教師熟悉數(shù)學建模思想和方法，同時也要把握好微積分B的教學重點。

1 應用實例

我微積分B主要針對的三個專業(yè)分別是食品科學與工程，食品安全，生物工程。一些可以用微積分模型來描述的問題，如疾病傳染、人口增長、種群競爭等問題，應在教學中引導學生通過建立數(shù)學模型來解決。一些重要模型的求解和分析應在教學中有所反映，比如Logisitic模型能描述人口、生態(tài)、廣告等許多領(lǐng)域的問題。在微積分B教學中融入建模思想可以改善教學內(nèi)容與應用脫節(jié)的狀況，促進學生盡早接觸微積分的應用領(lǐng)域，更好的激發(fā)學生學習的興趣。下面我們舉例說明微積分教學內(nèi)容的“融入”數(shù)學建模思想的問題。

1.1 導數(shù)的應用

微分是函數(shù)的相對變化的極限過程。導數(shù)、微分在經(jīng)濟中的應用比較廣泛，主要反映為邊際、彈性等。在微積分B教學中通過數(shù)學建模將這部分知識與實際生活結(jié)合的實例主要表現(xiàn)有：食品的最佳銷售時機，食品生產(chǎn)中機械與人工的調(diào)配問題等等。

1.2 函數(shù)極值的應用

極值問題是最優(yōu)化模型求解的基礎(chǔ)，在教學中可以插入利用最優(yōu)化方法建模的思想，既使學生看到了導數(shù)在實踐中的應用，也學會了建模的基本步驟。

例1 魚貯量問題

一位魚類生物學家對一個湖中的魚貯量進行了研究，發(fā)現(xiàn)當每單位面積的水域有種魚時，一個季度后，每種魚的平均重量為：

W（n）=400-20n（單位；g），0≤n≤20.

試求當n為多少時，一個季度后，魚的總重量達到最大？

分析：湖的面積是固定的，與魚的種類n無關(guān)，因此當每單位面積水域的魚重量最大時，湖里魚的總重量最大。

解：每單位面積魚的總重量為Y（n），根據(jù)題意：

Y（n）=W（n）×n=400n-20n2

Y'（n）=400-40n.

當 n=10 時，Y'（n）=0.

答：當n=10時，一個季度后，魚的總重量達到最大。

1.3 微分方程與曲線積分的應用

微分方程和曲線積分的應用實例很多，比如人口模型，單種群動物模型，江河污染物的降解系數(shù)，放射性元素的衰變模型等等。這里主要介紹在微積分B教學過程中引入的模型實例。

例2 藥物總量

設(shè)液體以5mL/s的速度將藥物送人容積是300mL的容器中，且液體以相同的速度離開器官。如果進入液體中的藥品的濃度是0.1g/mL，且時間t=0時，器官內(nèi)沒有藥物。試求器官內(nèi)藥物總量關(guān)于時間的函數(shù)以及1min時器官內(nèi)藥物總量。

藥物進入器官速率為 5（mL/s）×0.1（g/mL）＝0.5（g/s）.

又由于總量的變化率等于藥物進入速率與離開速率之差，故：

這就是我們建立的微分方程模型。

將 x（0）=0 代入，得 c=-30.

1min 時器官內(nèi)藥物總量為 x（60）=30-30e-1≈18.96g.

例3 人口預報模型

問題：今年人口數(shù)量是n0,年增長率r0為常數(shù)，問t年后人口數(shù)會是多少。

模型構(gòu)成：設(shè)時刻的人口數(shù)量為n（t0）

由分析得：n（t+△t）-n（t）=r·△t·n（t）

分離變量，兩邊積分即可得到。

例4 灰太狼抓羊的問題

一只羊在羊村北面80米處玩耍，灰太狼出現(xiàn)在羊的正東100米處。當兩只動物同時發(fā)現(xiàn)對方以后，羊奔向羊村，灰太狼以快于羊一倍的速度緊追羊不放?；姨窃谧汾s過程中所形成的軌跡就是追擊曲線?；姨鞘欠駮谘蚺芑匮虼逯白プ⊙?？

分析：假設(shè)灰太狼奔跑的軌跡是連續(xù)曲線，以二者剛發(fā)現(xiàn)對方時羊所在位置為坐標原點，羊朝向灰太狼的方向為x軸正向。設(shè)任意時刻羊的坐標為（x1，y1），灰太狼的坐標為（x，y），顯然灰太狼的奔跑軌跡可用方程 y=y（x）來描述。

提問：（讓學生自己思考）

（1）計算任意時刻灰太狼的速度（利用導數(shù)求解切線方程進而解決速度問題）；

（2）假設(shè)二者都是勻速奔跑，則相同時間內(nèi)二者奔跑路程的倍數(shù)關(guān)系就等于二者速度之間的倍數(shù)關(guān)系。嘗試建立灰太狼從開始計算到任意時刻所奔跑的路程表達式（利用第一類曲線積分解決）。

2 結(jié)束語

微積分理論基礎(chǔ)的建立是認識上的一個飛躍。極限概念揭示了“有限”與“無限”、“收斂”與“發(fā)散”、“間斷”與“連續(xù)”等的辨證關(guān)系，是這對矛盾聯(lián)系的橋梁。使學生了解“無限”建立在“有限”之上，滲透深刻的數(shù)學思想以及“變中有不變”、“有限”中有“無限”，“無限”中有“有限”的觀點等。在介紹微積分知識體系的過程中，適當?shù)厝谌霐?shù)學模型思想，提高大學生的數(shù)學素質(zhì)和人文精神。根據(jù)食生院學生特點，特別開設(shè)了數(shù)學建模選修課，使這些學生認識到，微積分的理論、方法在各自專業(yè)中的應用。另一方面，使學生對數(shù)學建模思維和應用數(shù)學知識解決實際問題的內(nèi)容非常感興趣，很多同學在大一就對數(shù)學建模有了一定的了解，大二的時候又積極參加全國數(shù)學建模競賽，并獲得了全國數(shù)學競賽一等獎。這樣同時也為他們學習后繼課程打下了一定的基礎(chǔ)，比如線性規(guī)劃，概率統(tǒng)計，無機化學等等。

微積分教學中融入數(shù)學建模思想必然會受到越來越多的重視，這是解決辦學效率和優(yōu)秀人才培養(yǎng)之間矛盾的有效方法。適時的應用數(shù)學建模思想進行教學，可以促使教學方法得到改進，提高教學水平和教學效果，有助于推進高等數(shù)學的教學改革和課程建設(shè)的發(fā)展。

［1］謝季堅,李啟文.大學數(shù)學[M].高等教育出版社,2009.

［2］戴朝壽，孫世良.數(shù)學建模簡明教程[M].高等教育出版社,2007.

［3］龐亮.獨立學院高等數(shù)學教學改革探討[J].科技信息,2012,2012,17;185.