徐常偉,于凱,朱峰

(西南交通大學電氣工程學院,四川成都 610031)

基于李群方法的貝塞爾函數(shù)數(shù)學實現(xiàn)

徐常偉,于凱,朱峰

(西南交通大學電氣工程學院,四川成都 610031)

基于李群的表示理論,首先討論了歐拉群的表示及其性質;然后,從該群的表示理論出發(fā),分別導出了第一類貝塞爾函數(shù)的積分形式和冪級數(shù)形式.該研究表明了群方法可以求解對稱邊界問題的解析波函數(shù),并為用群方法求解電磁場問題創(chuàng)造了條件.

全域波函數(shù);貝塞爾函數(shù);李群;群表示

1 引言

長計算時間和大存儲容量的要求是計算電磁學領域中限制矩陣方法應用的主要障礙.選用全域波函數(shù)求解可以有效地節(jié)約計算時間和存儲容量,而且能減少數(shù)值方法的誤差,這也是計算電磁學發(fā)展的方向之一[1-2].貝塞爾函數(shù)作為一類全域波函數(shù),在電磁場的數(shù)學物理方法中占有非常重要的地位.傳統(tǒng)方法是通過對圓柱邊界用分離變量法求解波動方程得到貝塞爾函數(shù)[3-5].然而,當散射體邊界對稱特性不規(guī)則時,很難通過分離變量法求得特定問題的全域波函數(shù),因此非常有必要尋找新途徑.

群論作為近代數(shù)學的一個重要分支,目前在理論物理、核物理、高分子化學中得到越來越廣泛的應用.文獻[1]首次將群方法用于對稱散射結構的減元處理,文獻[6]首次用群方法實現(xiàn)球諧函數(shù).而本文將用李群方法實現(xiàn)貝塞爾函數(shù).相對于分離變量法,群方法有如下特點:傳統(tǒng)的貝塞爾函數(shù)的加法定理,變成了特定邊界對稱群的不可約表示的乘法定則,也就是說,李群方法可以代替?zhèn)鹘y(tǒng)的級數(shù)方法[7].

2 歐拉群E2的性質

一個平面所有的變換構成的群,叫歐拉群,記為E2,它是一個三參數(shù)李群.其任一元素可表示為T()R(θ).其中,R(θ)表示平面繞原點轉動角θ,T()=(a,b)表示平面沿著矢量平移.

平面上任意點(x,y)在群元素的作用下坐標(x′,y′)是[8]:

很顯然,群元素T(→a)R(θ)由兩個算子共同表示,一個是平移算子T(),另一個是轉動算子R(θ).這兩個算子獨立構成的群是群E2的子群,而且T∩R={e}.群E2的每一個元素都能由兩個子群元素的乘積表示.一般來說,該乘積不滿足交換律,即

3 貝塞爾函數(shù)的實現(xiàn)

4 結論

通過李群的表示理論,實現(xiàn)了電磁場的數(shù)學物理方法中重要的貝塞爾函數(shù).通過該研究,為用群方法求解滿足特定對稱條件的電磁場問題創(chuàng)造了條件.即便對于復雜的邊界條件,也可以用解析延拓的方法,將原邊界條件化為有對稱性質的主要部分和無對稱性質的微擾部分,然后通過迭代的方法求解微擾.這正是下一步研究的重點.

[1]朱峰,楊海川,任朗.處理具有對稱和反對稱結構電磁散射的群理論[J].中國科學:E輯,1997,40(23):249-254.

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[3]Leung Tsang,Jin Au Kong,Kung-Hau Ding.Scattering of Electromagnetic Waves:Theories and Applications[M].New York:John Wiley&Sons,Inc.,2000.

[4]Akira Ishimaru.Electromagnetic Wave Propagation,Radiation,and Scattering[M].New Jersey:Prentice-Hall,Inc.,1991.

[5]楊儒貴,張世昌.高等電磁理論[M].北京:高等教育出版社,2008.

[6]趙柳,朱峰,白霄波.球諧基函數(shù)數(shù)學實現(xiàn)的一種群方法[J].西南交通大學學報,2004,39(2):213-216.

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[8]Mathai A M,Hans J Haubold.Special Functions for Applied Scientists[M].New York:Springer Science Business Media,LLC.,2008.

Mathematical derivation of Bessel functions from Lie group theory

Xu Changwei,Yu Kai,Zhu Feng
(Department of Electrical Engineering,Southwest Jiaotong University,Chengdu610031,China)

This paper is from a Lie-group theoretical background,firstly the representation and properties of Euclidean group are discussed;Afterwards integral and power series representations of Bessel functions of the first kind are derived from the representation of Euclidean group.The study shows that analytic wave functions of symmetry boundary condition can be obtained in group approach,which creates conditions for solving electromagnetic problems by group method.

global wave functions,Bessel function,Lie group,group representation

O152.5,O411.1

A

1008-5513(2013)03-0275-07

10.3969/j.issn.1008-5513.2013.03.008

2012-12-26.

國家自然科學基金(60971041).

徐常偉(1984-),博士生,研究方向：群論,電磁散射,微波理論.

2010 MSC:22E10