孫名佳

(沈陽機床(集團(tuán))有限責(zé)任公司 高檔數(shù)控機床國家重點實驗室，沈陽 110142)

0 引言

多軸聯(lián)動數(shù)控機床中，刀具與工件的相對位置決定了機床的加工誤差，因此想要對加工誤差進(jìn)行補償，建立機床空間綜合誤差模型就顯得尤為重要。應(yīng)用多體系統(tǒng)理論，根據(jù)機床結(jié)構(gòu)建立綜合誤差模型是目前常用且有效的方法。但是該方法計算比較復(fù)雜，而且對于不同結(jié)構(gòu)機床需要建立不同的模型。

“多拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)五軸機床綜合誤差建模軟件”集成了目前常見的RRTTT、TTTRR和RTTTR三種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的五軸機床綜合誤差模型，輸入機床各項誤差元素值后，該軟件可以自動計算出刀尖點與工件被加工點的相對位移，即加工誤差。

本文介紹了多拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)五軸機床綜合誤差建模軟件開發(fā)所依據(jù)的基礎(chǔ)理論，分析了五軸機床的各項誤差元素，并給出了綜合誤差建模過程及軟件的使用方法。

1 機床誤差建模原理

多體系統(tǒng)是指由多個剛體或柔體通過某種形式聯(lián)結(jié)而成的復(fù)雜機械系統(tǒng)。多體系統(tǒng)理論和方法具有通用性和系統(tǒng)性，非常適合于進(jìn)行空間誤差建模，目前已經(jīng)在機器人、機床、坐標(biāo)測量機等復(fù)雜機械的運動分析與控制中得到成功應(yīng)用。

本文采用拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)對機械系統(tǒng)進(jìn)行抽象簡化，如圖1所示，用低序體陣列對拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)進(jìn)行描述，并用4×4齊次矩陣表示多體系統(tǒng)中相鄰體間的坐標(biāo)變換。

圖1 RRTTT型五軸機床簡圖及拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖

1.1 低序體陣列理論

設(shè)慣性參考系為B0體，選一體為B1體，然后沿遠(yuǎn)離B1的方向，按自然增長數(shù)列，從一個分支到另一個分支，依次為各體編號。用以描述多體系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的低序體陣列通過下列定義的計算公式得到[1]。

任選體Bj為系統(tǒng)中任意典型體，體Bj的n階低序體的序號定義為：

式中，L為低序體算子，并稱體Bj為體Bi的n階高序體。它滿足：

且補充定義：

當(dāng)體Bi為Bj的相鄰低序體時，有：

1.2 理想狀態(tài)的坐標(biāo)變換矩陣

多軸聯(lián)動數(shù)控機床中，一般包括平移運動和旋轉(zhuǎn)運動，理想狀態(tài)下，這兩種運動的變換矩陣如下：

1）平移運動變換矩陣

任意平移運動可以分解為三個分別沿X、Y、Z軸的基本平移運動。設(shè)坐標(biāo)系Oj-xjyjzj是由Oixiyizi分別沿X、Y和Z軸各平移xij、yij和zij得到，則Oi-xiyizi至Oj-xjyjzj的變換矩陣為：

其中 Tij( M )表示平移運動的坐標(biāo)變換矩陣。

2）旋轉(zhuǎn)運動變換矩陣

基本的旋轉(zhuǎn)運動包括分別繞坐標(biāo)軸X、Y、Z的A、B、C 軸轉(zhuǎn)動。其他任何復(fù)雜的旋轉(zhuǎn)運動都可以分解成以上三種運動。

以坐標(biāo)系Oj-xjyjzj是由Oi-xiyizi按C軸正向旋轉(zhuǎn)γij得到為例，Oi-xiyizi至Oj-xjyjzj的變換矩陣為：

其中 Tij(R)表示旋轉(zhuǎn)運動的坐標(biāo)變換矩陣。

理想的運動可能是既有平移又有旋轉(zhuǎn)，則合成的變換矩陣為： Tij=Tij( R) Tij( M )。

1.3 實際狀態(tài)的坐標(biāo)變換矩陣

實際多體系統(tǒng)中，相鄰體之間的相對位姿可能包含沿X、Y、Z三個方向的平移誤差和轉(zhuǎn)動誤差，綜合誤差變換矩陣為 Δ Tij=Δ Tij( R ) Δ Tij( M)，其中ΔTij為綜合誤差變換矩陣，Δ Tij( R)為旋轉(zhuǎn)誤差變換矩陣， Δ Tij( M)為平移誤差變換矩陣。

通常情況下轉(zhuǎn)動誤差數(shù)值較小，為了方便計算，可做以下化簡：

令 sin(Δ θ) = Δθ, c os(Δ θ)=1，其中 Δθ為轉(zhuǎn)動誤差。

2 綜合誤差建模步驟

下面將以某型RRTTT五軸機床為例，介紹綜合誤差建模過程，其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖1所示，低序體陣列如表1所示。

表1 RRTTT五軸機床低序體陣列表

2.1 五軸機床誤差元素分析

圖1中的五軸機床包含了三個直線軸和兩個旋轉(zhuǎn)軸，其中每個軸包含三個方向的平動誤差和三個方向的旋轉(zhuǎn)誤差，五個軸共包含30項誤差，本文還將三個直線軸之間的3項垂直度誤差考慮在內(nèi)，因此本文針對該型五軸機床共考慮33項幾何誤差。具體如表2所示。

表2 五軸機床誤差元素表

其中以X軸為例，δx(x)、δy(x)和δz(x)分別為X軸在當(dāng)前位置沿X方向、Y方向和Z方向的平移誤差；εx(x)、εy(x)和εz(x)分別為X軸在當(dāng)前位置以X軸、Y軸和Z軸為回轉(zhuǎn)中心的轉(zhuǎn)動誤差。其他軸的誤差元素定義與之同理。

另外，Sxy, Syz, Sxz分別為X軸與Y軸、Y軸與Z軸、X軸與Z軸間的垂直度誤差。

2.2 機床各體間坐標(biāo)變換矩陣

根據(jù)五軸機床各體之間的運動和位置關(guān)系，可以得出實際情況下他們之間的坐標(biāo)變換矩陣，具體如下。其中由于床身相對于大地靜止不動，因此床身坐標(biāo)系與慣性參考坐標(biāo)系R重合[2]。

1）Y軸滑板坐標(biāo)系相對于床身坐標(biāo)系的變換矩陣為：

2）X軸滑板坐標(biāo)系相對于Y軸滑板坐標(biāo)系的變換矩陣為：

3）Z軸滑板坐標(biāo)系相對于X軸滑板坐標(biāo)系的變換矩陣為：

4）主軸相對于Z軸滑板靜止不動，因此主軸坐標(biāo)系S與Z軸滑板坐標(biāo)系重合，變換矩陣為單位陣I。

5）刀具相對于主軸靜止不動，因此刀具坐標(biāo)系τ與主軸坐標(biāo)系S重合，變換矩陣為單位陣I。

6) A軸坐標(biāo)系相對于床身坐標(biāo)系的變換矩陣為：

7）C軸坐標(biāo)系相對于A軸坐標(biāo)系的變換矩陣為：

8）工件相對于C軸靜止不動，因此工件坐標(biāo)系w與C軸坐標(biāo)系重合，變換矩陣為單位陣I。

2.3 綜合誤差模型的建立

由以上各體間的坐標(biāo)變換矩陣就可以得出機床綜合誤差模型。

式(14)就是該型五軸機床綜合誤差模型。

3 綜合誤差建模軟件

根據(jù)前面介紹的建模理論和過程，應(yīng)用Matlab開發(fā)了“多拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)五軸機床綜合誤差建模軟件”，如圖2所示，該軟件集成了RRTTT、TTTRR、RTTTR三種常見五軸機床的綜合誤差模型，其中TTTRR和RTTTR型五軸機床的建模方法與前面介紹的RRTTT型五軸機床建模方法類似。用戶只需要填寫機床誤差元素值、機床加工坐標(biāo)等信息，軟件就可以自動計算出當(dāng)前加工誤差。

圖2 多拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)五軸機床綜合誤差建模軟件

3.1 軟件界面介紹

“多拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)五軸機床綜合誤差建模軟件”界面分為四個區(qū)域，如圖3所示。

圖3 綜合誤差建模軟件界面布局

1）區(qū)域1-機床類型選擇區(qū)：用戶可以在該區(qū)域選擇所需機床類型，例如選擇TTTRR五軸機床，則點擊“TTTRR型五軸機床”按鈕即可，選中之后該按鈕顯示為灰色。

2）區(qū)域2-機床類型顯示區(qū)：顯示當(dāng)前類型機床的簡圖及拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖。

3）區(qū)域3-參數(shù)設(shè)置區(qū)：用戶可以在該區(qū)域設(shè)置機床誤差、加工點坐標(biāo)、刀具長度和代加工點的位置矢量等參數(shù)。

4）區(qū)域4-結(jié)果顯示區(qū)：參數(shù)設(shè)置完成后，用戶可以點擊該區(qū)域的“計算”按鈕，加工誤差就會顯示在Ex、Ey和Ez處。

3.2 軟件使用方法

1）首先在軟件界面區(qū)域1中選擇機床類型，例如選擇RRTTT型五軸機床。

2）在軟件界面區(qū)域3中設(shè)置誤差、機床坐標(biāo)等參數(shù)。其中，誤差元素中的平移誤差單位是“微米”；轉(zhuǎn)動誤差單位是“度”；垂直度誤差單位是“度”；各伺服軸坐標(biāo)值、刀具長度及理論加工點在工件坐標(biāo)系中的位置矢量單位是“毫米”。

例如設(shè)置δx(x)=1.4, δy(y)=2.5, δz(z)=3.3；X、Y、Z、A和C軸坐標(biāo)分別為100,100,120,0,0；刀具長度為100，理論加工點在工件坐標(biāo)系中的位置矢量為[100,100,20]。

3）完成以上步驟后，在界面區(qū)域4中點擊“計算”按鈕，軟件會自動計算出機床加工誤差Ex、Ey和Ez，單位是“微米”，如下圖所示。

圖4 軟件計算結(jié)果

4 結(jié)束語

應(yīng)用多體系統(tǒng)理論，以拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)描述復(fù)雜機械結(jié)構(gòu)，并用齊次矩陣表示各體間坐標(biāo)變換可以針對多種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的五軸機床建立綜合誤差模型。應(yīng)用Matlab開發(fā)的建模軟件，可以方便地計算出五軸機床加工誤差，便于機床誤差分析和誤差補償?shù)燃夹g(shù)研究，因此擁有廣闊的應(yīng)用前景。

[1] 辛立明,徐志剛,趙明揚,朱天旭. 基于改進(jìn)的多體系統(tǒng)誤差建模理論的激光拼焊生產(chǎn)線運動誤差模型[J]. 機械工程學(xué)報,2010,46(2):61-68.

[2] 李歡玲,繆群華,趙宇,吳洪濤.基于多體系統(tǒng)理論的五軸加工中心幾何誤差建模[J].中國制造業(yè)信息化,2007,36(19): 16-19.