程國勇，郭志光，孟曙東，胡 輝（中國民航大學(xué)機(jī)場(chǎng)學(xué)院，天津 300300）

基于統(tǒng)計(jì)原理的板邊彎矩計(jì)算方法

程國勇，郭志光，孟曙東，胡 輝
（中國民航大學(xué)機(jī)場(chǎng)學(xué)院，天津 300300）

板邊彎矩的計(jì)算是機(jī)場(chǎng)剛性道面板設(shè)計(jì)的重要內(nèi)容，傳統(tǒng)采用手工在板邊彎矩影響圖上數(shù)格的方法，計(jì)算效率低且誤差在所難免。首先建立板邊彎矩影響圖數(shù)據(jù)庫，然后用excel內(nèi)嵌的VBA功能，通過程序判斷板邊彎矩影響圖每個(gè)網(wǎng)格的結(jié)點(diǎn)與輪印的相對(duì)位置以及在不完整網(wǎng)格內(nèi)均勻布點(diǎn)的方式，采用程序計(jì)算出不同機(jī)型一個(gè)主起落架輪印覆蓋的格數(shù)，即可精確計(jì)算出板邊彎矩。通過算例驗(yàn)證表明，該方法的計(jì)算誤差隨著在不完整網(wǎng)格內(nèi)均勻布點(diǎn)的密度增大而減小，當(dāng)按照0.02網(wǎng)格長(zhǎng)×0.02網(wǎng)格寬的密度布點(diǎn)時(shí)，計(jì)算誤差在0.001以內(nèi)。上述方法不僅可徹底避免主觀因素帶來的誤差而且大大提高計(jì)算效率，基于上述原理還可開發(fā)出機(jī)場(chǎng)剛性道面設(shè)計(jì)軟件。

機(jī)場(chǎng)道面設(shè)計(jì)；水泥混凝土道面；面層厚度；板邊彎矩影響圖

機(jī)場(chǎng)水泥混凝土道面面層厚度計(jì)算是道面設(shè)計(jì)中的核心內(nèi)容，如果計(jì)算厚度偏小，在預(yù)期設(shè)計(jì)使用年限內(nèi)和預(yù)期交通量作用下，機(jī)場(chǎng)道面將難以保證使用性能，會(huì)發(fā)生早期破損及至結(jié)構(gòu)破壞，甚至危及航空安全；如果計(jì)算厚度偏大，則造成初期建設(shè)投資過大，不能滿足工程建設(shè)的經(jīng)濟(jì)性要求[1-2]。

然而面層厚度計(jì)算中的最大難題就是如何求得主起落架作用在道面板上所引起的板邊彎矩Me。傳統(tǒng)做法是將飛機(jī)一個(gè)主起落架的輪胎印，利用相對(duì)剛度半徑等效放縮后覆蓋到板邊彎矩影響圖上，數(shù)出所覆蓋的格數(shù)Nb，進(jìn)而計(jì)算板邊彎矩[3]。這種方法不僅費(fèi)事費(fèi)時(shí)而且精度不高，尤其在輪印邊緣所占格子不是整數(shù)時(shí)主觀因素大，偏差較大。

基于上面的考慮，本文利用excel及內(nèi)嵌的VBA，實(shí)現(xiàn)了數(shù)格而且精度很高[4-5]。通過進(jìn)一步的程序調(diào)試及修改，實(shí)現(xiàn)了只需在表格內(nèi)輸入計(jì)算所需的工程設(shè)計(jì)條件及機(jī)場(chǎng)交通組成的機(jī)型參數(shù)，得到板邊彎矩及所有機(jī)型疲勞損耗比之和，從而確定道面面層厚度h。用excel計(jì)算板邊彎矩，更加方便、快捷、準(zhǔn)確度高，對(duì)機(jī)場(chǎng)道面設(shè)計(jì)具有重要的參考價(jià)值。

1 利用excel計(jì)算輪印覆蓋格數(shù)原理

板邊彎矩影響圖由無數(shù)大小不一、形狀各異（絕大多數(shù)為四邊形）的小格組成，如圖1所示。取板邊彎矩影響圖的O點(diǎn)為坐標(biāo)圓點(diǎn)，水平方向?yàn)閄軸，建立直角坐標(biāo)系，在cad中繪制出板邊彎矩影響圖（繪制的剛度半徑為324.46），并確定每個(gè)小格各角點(diǎn)的坐標(biāo)，建立各網(wǎng)格角點(diǎn)坐標(biāo)文件作為采用程序計(jì)算輪印覆蓋格數(shù)的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)。求輪胎印所覆蓋的格數(shù)，可理解為判斷每個(gè)小格的角點(diǎn)是否在輪印范圍內(nèi)，輪印形狀如圖2所示。如果某小格4個(gè)角點(diǎn)均不在輪印范圍內(nèi)，則該網(wǎng)格不被輪印覆蓋；如果某小格4個(gè)角點(diǎn)均位于輪印范圍內(nèi)，則該網(wǎng)格被輪印所覆蓋；如果部分角點(diǎn)位于輪印范圍內(nèi)，則需要計(jì)算輪印覆蓋該網(wǎng)格的比例，為一分?jǐn)?shù)。將所有整格數(shù)與分?jǐn)?shù)格數(shù)相加即為該輪印覆蓋格數(shù)。

圖1 板邊彎矩影響圖Fig.1 Edge bending monment influence diagram

圖2 輪印形狀Fig.2 Shape of wheel imprint

當(dāng)臨界荷位確定時(shí)，機(jī)輪輪胎的輪廓方程就可以得到。以臨界荷位為機(jī)輪與板縫相切為例，輪印面域方程為

當(dāng)某小格的所有角點(diǎn)均不滿足式（1）時(shí)，則該小格不被輪印所覆蓋，并計(jì)數(shù)為0。當(dāng)某小格的4個(gè)角點(diǎn)均滿足式（1）時(shí)，則該小格被輪印所覆蓋，并計(jì)數(shù)為1；當(dāng)另一小格的4個(gè)角點(diǎn)也均滿足式（1）時(shí)，計(jì)數(shù)為1，并累計(jì)為2；以此類推可以計(jì)算出輪印覆蓋的所有整格數(shù)。當(dāng)有部分角點(diǎn)滿足式（1）時(shí)，說明該小格部分被覆蓋，采取估算的方式計(jì)數(shù)，本文中采用在該小格內(nèi)均勻打點(diǎn)的方式估算：首先，判斷所打的點(diǎn)是否滿足式（1），如果滿足計(jì)數(shù)為1，不滿足計(jì)數(shù)為0；然后統(tǒng)計(jì)共有多少個(gè)點(diǎn)滿足；最后將滿足的點(diǎn)的總數(shù)除以在該格內(nèi)打的總點(diǎn)數(shù)，計(jì)數(shù)為被覆蓋部分的格數(shù)；對(duì)所有部分被覆蓋的小格采取均勻打點(diǎn)的方式可以估算出輪印覆蓋的所有分?jǐn)?shù)格數(shù)。

基于上述想法，做了如下試驗(yàn)。如圖3所示，圖中的小格為均勻網(wǎng)格。將各點(diǎn)的坐標(biāo)輸入到excel中，可得各點(diǎn)在直角平面內(nèi)的坐標(biāo)。圓的方程為x2+（y-5）2= 52。假設(shè)某個(gè)小格A的4個(gè)角點(diǎn)按逆時(shí)針排序?yàn)锳1，A2，A3，A4。當(dāng)小格A的角點(diǎn)A1（x1，y1）滿足x2+（y-5）2≤52時(shí)即可判斷A1點(diǎn)在圓域內(nèi)，反之則在圓外。當(dāng)一個(gè)小格的4個(gè)角點(diǎn)均滿足x2+（y-5）2≤52，則計(jì)數(shù)為1。這樣可以計(jì)算出圓域覆蓋的所有整格數(shù)。對(duì)于部分在圓內(nèi)的格數(shù)統(tǒng)計(jì)，采用上述的打點(diǎn)方式，取點(diǎn)方式為：首先對(duì)A1的x1增加一個(gè)小量（如0.02），在此坐標(biāo)下對(duì)y1進(jìn)行逐次增加小量（如從y1增加到y(tǒng)3，每次增加0.02），反饋回多少點(diǎn)在圓內(nèi)。然后x1再增加第二個(gè)小量，y1再逐次增加小量；直到x1增加到x2。這樣共在小格A內(nèi)試驗(yàn)了2 601個(gè)點(diǎn)，將返回來的在圓內(nèi)的點(diǎn)除以2 601，即為統(tǒng)計(jì)的在圓內(nèi)的分?jǐn)?shù)格數(shù)。將所有整格數(shù)與分?jǐn)?shù)格數(shù)相加即為該圓覆蓋格數(shù)。

圖3 均勻網(wǎng)格內(nèi)計(jì)算圓覆蓋的格數(shù)Fig.3 Number of squares of circular covering uniform grid

驗(yàn)證過程：已知每個(gè)小格的面積為單位1，通過上述方式數(shù)出在圓域內(nèi)的格數(shù)，乘以每個(gè)小格的面積1得到的數(shù)值即為圓的面積；將程序所得到的面積值與通過公式πr2計(jì)算得到的值相比較，誤差在0.001 5左右（絕大多數(shù)是數(shù)出的面積比實(shí)際的要?。?。由此可見，由這種數(shù)格方式得到的值是正確的。假如將增量0.02變小，那么得到的值將更加接近實(shí)際值。

又做了如下的第二個(gè)試驗(yàn)，如圖4所示。通過分段函數(shù)可以得到輪胎輪廓的方程，然后用同樣的方法，可以數(shù)出輪胎內(nèi)的格數(shù)。且通過相似的驗(yàn)證，誤差在0.001左右（絕大多數(shù)是數(shù)出的面積比實(shí)際的要?。?。

圖4 均勻網(wǎng)格內(nèi)計(jì)算輪印覆蓋的格數(shù)Fig.4 A number of squares of wheel imprint covering uniform grid

利用在均勻網(wǎng)格內(nèi)數(shù)格的方法，實(shí)現(xiàn)了在excel中得到飛機(jī)一個(gè)主起落架輪印覆蓋的格數(shù)。然后根據(jù)相應(yīng)的公式[3]得到板邊彎矩以及累計(jì)疲勞損耗比。

2 驗(yàn)證

板厚設(shè)計(jì)實(shí)例。設(shè)計(jì)資料：土基反應(yīng)模量k0=50 MN/m3；基層材料為水泥穩(wěn)定碎石（當(dāng)量系數(shù)為1.5），厚度30 cm；道面板采用水泥混凝土彎拉強(qiáng)度fcm=4.5 MPa、彎拉彈性模量Ec=36 000 MPa，水泥混凝土泊松比μc=0.15；交通組成如表1所示，設(shè)計(jì)年限取30年。

表1 交通組成Tab.1 Traffic composition

當(dāng)擬定板厚h=375 mm時(shí)，手工數(shù)格方式數(shù)出的一個(gè)主起落架輪印覆蓋的格數(shù)與程序數(shù)出的格數(shù)對(duì)比如表2所示。

表2 一個(gè)主起落架輪印覆蓋的格數(shù)Tab.2 A main landing gear cover grid number

通過對(duì)比可知，手工數(shù)出的格數(shù)與程序數(shù)出的格數(shù)的最大相差竟達(dá)到43個(gè)格數(shù)；而且手工數(shù)出的格數(shù)有時(shí)偏大有時(shí)偏小，對(duì)設(shè)計(jì)造成的誤差不容忽視。經(jīng)過進(jìn)一步的程序計(jì)算得出，手工得到的擬定板厚并不符合設(shè)計(jì)要求，板厚h=370 mm時(shí)是滿足設(shè)計(jì)需要及要求的，雖僅有5 mm之差，但對(duì)于道面整體設(shè)計(jì)來說可以減少大量的材料且施工相對(duì)方便很多。綜上所述，傳統(tǒng)采用手工法計(jì)算效率低且誤差在所難免，而程序計(jì)算的方法不僅可徹底避免主觀因素帶來的誤差而且大大提高了計(jì)算效率。

3 結(jié)語

1）板邊彎矩的計(jì)算是機(jī)場(chǎng)剛性道面板設(shè)計(jì)的重要內(nèi)容，計(jì)算偏小或偏大均不能滿足工程建設(shè)要求；本文提出的excel法大大提高了計(jì)算精度及準(zhǔn)確性，同時(shí)也大大地節(jié)省了繁瑣的計(jì)算過程；并通過比較驗(yàn)證，證明了其正確性。

2）本文中的excel軟件具有方便、快捷的特點(diǎn)；不用重新安裝其他軟件，只需把本文中的excel拷過去，打開即用；本文提出的計(jì)算方法對(duì)于想優(yōu)化本文程序界面、提升程序運(yùn)行速度或采用不同的計(jì)算機(jī)語言重新編程的人，具有極大的參考價(jià)值。

3）建議在相關(guān)教材及規(guī)范、手冊(cè)中涉及到板邊彎矩影響圖和水泥混凝土道面面層厚度計(jì)算時(shí)，采用本文中的計(jì)算思路和程序。

[1]王 維.計(jì)算民用機(jī)場(chǎng)剛性道面面層厚度的疲勞消耗方法[J].公路交通科技，2004，21（3）：14-17.

[2]顧正浩，陳小勇.淺談水泥混凝土路面厚度設(shè)計(jì)[J].山西建筑，2008，34（27）：285-286.

[3]中華人民共和國行業(yè)標(biāo)準(zhǔn).MHT 5004-2010，民用機(jī)場(chǎng)水泥混凝土道面設(shè)計(jì)規(guī)范[S].中國民航機(jī)場(chǎng)建設(shè)集團(tuán)公司，2010.

[4]黃敬林，劉?？h.水泥混凝土路面面板厚度電算程序開發(fā)[J].西華大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2005，24（4）：92-94.

[5]郭興成.VB NET程序設(shè)計(jì)[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2003.

（責(zé)任編輯：楊媛媛）

Method of using excel to calculating plate edge bending moment

CHENG Guo-yong，GUO Zhi-guang，MENG Shu-dong，HU Hui
（Airport College，CAUC，Tianjin 300300，China）

The calculation of plate edge bending moment is the important content in designing rigid pavement of airport. It is low efficiency and has inevitable errors that the traditional manual of counting cells′number.This paper，firstly，establish database of plate edge bending moment influence diagram；then using VBA embedded in excel designs a program which can verdict the relative position between each node of a grid and tire seal of aircraft main landing gear and can calculate the number of covered cells；finally precisely calculate the bending moment of plate edge.Through a practical example we can conclude that the calculation error of the method presented in this paper decreases with increasing density of the points evenly assigned in incomplete grid.When according to 0.02 grid long x 0.02 grid wide assigns each grid，the calculation error within 0.001. The method not only can completely avoid subjective factors but also greatly improve the computational efficiency.Basing on the above principles，airport rigid pavement design software can be developed.

airport pavement design；airport cement concrete pavement；layer thickness of cement concrete road surface；plate edge bending moment influence diagram

V351.11

A

1674－5590（2013）01－0073－03

2012-06-11；

2012-09-21

天津市教委科研項(xiàng)目（20090418）；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)（ZXH2009A002）

程國勇（1971—），男，河北衡水人，教授，博士，研究方向?yàn)榈鼗A(chǔ)檢測(cè)技術(shù)與加固理論.