周宇劍

(湖南科技學院數(shù)學與計算科學系，湖南永州425100)

“創(chuàng)新是一個民族的靈魂，是一個國家興旺發(fā)達的不竭動力.”大學生是未來掌握高端技術和前沿知識的特殊群體，其創(chuàng)新能力水平直接關系到中華民族的興旺與發(fā)展.創(chuàng)新能力包括創(chuàng)新意識、創(chuàng)新思維和創(chuàng)新技能等智力和非智力因素.培養(yǎng)大學生創(chuàng)新能力的核心在于對創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng).“數(shù)學是思維的體操”，通過對大學生進行發(fā)現(xiàn)新問題、猜想新方法、解決新問題的數(shù)學猜想思維培養(yǎng)，將在培養(yǎng)大學生創(chuàng)新意識、創(chuàng)新品質、創(chuàng)新技法、創(chuàng)新技巧等方面產(chǎn)生深刻影響，從而有助于提高他們的創(chuàng)新能力.牛頓曾說:“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn).”波利亞也說“要成為一個好的數(shù)學家，你必須首先是一個好的猜想家.……假如你希望用一句話來說明什么是科學的方法，那么我提議它是:猜測和檢驗”［1］.

1 相關概念

猜想指個體根據(jù)非結論性的證據(jù)所作的推測.即聯(lián)系已有知識與經(jīng)驗對研究的對象或問題進行觀察、分解、選擇、實驗、分析、比較、聯(lián)想、類比、歸納等，作出符合一定經(jīng)驗與事實的推測性想象的思維形式.它是一種合情推理，屬于綜合程度較高的帶有一定直覺性的高級認識過程.對于數(shù)學研究或發(fā)現(xiàn)學習來說，猜想方法是一種重要的基本思維方法［1］.數(shù)學猜想指在數(shù)學學習或解決問題時展開的分析、嘗試和探索，是關于涉及到數(shù)學的問題的主導思想、方法以及答案的形式、范圍、數(shù)值等的猜測［2］.數(shù)學猜想是一種非邏輯性方法，它包括類比猜想、歸納猜想、探索猜想、仿造猜想、審美猜想等形式.數(shù)學猜想實際還是一種數(shù)學思想方法，是人的思維在探索數(shù)學規(guī)律和本質時的一種策略，是建立在事實和已有經(jīng)驗基礎上的一種假定，是一種合理推想.數(shù)學猜想具有假定性、可行性和創(chuàng)新性三個基本特征［3］.數(shù)學事實首先是被猜想，然后是被證實.數(shù)學猜想的形成過程就是針對研究的對象或問題聯(lián)系已有知識與經(jīng)驗進行形象的分解、選擇、加工、改造的整合過程.個體根據(jù)自身已有的認知結構和對現(xiàn)有數(shù)學問題或需要應用數(shù)學知識解決的相關的實際問題的不斷認識與篩選，由最初的對問題的感性認識過渡到理性地把握問題的實質，猜想可能解決問題的思路及可能要運用的策略，使個體對問題的認識更加具體、細微，從而縮小解決問題的方法或策略與順利解決問題之間的差距，促進問題得以解決.同時，數(shù)學問題的成功解決并不一定僅靠一次猜想探索就能順利完成，需要不斷地變更思路［4］，在“已知—可知—須知—求知”的思維鏈中，不斷尋求和修正問題解決的策略與方向，直至成功解決問題.只有認識到數(shù)學猜想的意義，具有了猜想的意識，才能在數(shù)學問題情境中大膽地提出并驗證猜想.

2 培養(yǎng)猜想思維能力的必要性研究

2.1 大學生數(shù)學能力水平測試介紹

采用Blair Aolsin著，劉燁編譯的《世界500強職商測試題》中的《數(shù)學能力測試題》于2011年5－6月對湖南科技學院來自全國28個生源省的大一至大四的學生進行了測試，共10個數(shù)學選擇題，每題3分，共30分.按同一測試量表、同一要求對被抽對象進行10分鐘的測試，按同一標準統(tǒng)一閱卷和登記統(tǒng)計.總樣本容量為1812人(男973人，女839人).

2.2 測試分析與結論

2.2.1 大學生數(shù)學能力水平不盡如人意

其中，速度=正確題數(shù)/測試時間(分鐘).

表1 大學生數(shù)學能力測試情況描述

表2 得分頻數(shù)分布表

由表1可看出，全校被試學生的得分平均值為18.92，才剛剛超過合格成績.他們的解決問題的速度也只是1分鐘解決0.631個.由表2可看出，大學生的數(shù)學能力水平并不太盡如人意.35.1%的大學生達到合格(18－21分)，31.3%的大學生獲得優(yōu)秀(24－30分)，還有33.6%的大學生數(shù)學能力測試不及格(18分以下).

2.2.2 猜想思維能力在數(shù)學能力測試中起重要作用

事實上這些測試題并不高深莫測，只涉及數(shù)學計算、方程、函數(shù)等內容.高中生甚至初中生就可以做.對于這10個選擇題，許多學生都非常認真地按部就班地設元求解，最后的結果就是10分鐘到了，還有好幾個題目沒做完.而事實上，這些看似需要計算的數(shù)學問題，如果采用猜想法，幾乎不用10分鐘就可以推斷出來.但是，這中間似乎出現(xiàn)一種誤區(qū)，就是:既然是數(shù)學能力測試，肯定少不了計算，而這10個問題均可通過基本的列方程計算出來.于是大家都埋頭苦干起來.但是，有的題目甚至不需要列方程，只要仔細分析題意，經(jīng)過猜想和驗證就可以直接得出要選的結果.

例如:兄弟三人分蘋果，每人所得的個數(shù)等于其三年前的年齡數(shù)，而蘋果共有24個.如果老三把所得的蘋果半數(shù)平分給老大、老二，然后老二把所得蘋果的半數(shù)分給老大、老三，最后老大把所得的蘋果的半數(shù)平分給老二、老三，則每人手里的蘋果相等.請問:兄弟三人年齡各是多少?

(A)老大12歲，老二6歲，老三3歲;

(B)老大13歲，老二7歲，老三4歲;

(C)老大16歲，老二10歲，老三7歲;

(D)老大19歲，老二13歲，老三10歲.

這道題目用猜想法很快可以得出答案.猜想兄弟年齡如果確定，那么它們的年齡和應為24+9=33.計算一下4個選項中兄弟三人的年齡和，馬上可以得出答案選C.但是如果計算的話，費時一定不少.由此，反映出的問題是:很有必要對學生進行猜想思維的培養(yǎng)和訓練.

3 培養(yǎng)大學生數(shù)學猜想思維的有效途徑

3.1 在概念教學中注重有意識地誘導學生猜想

數(shù)學定義、命題、公式、法則、性質、定理及其推論教學，是引導學生猜想的大好時機.在這些內容的教學中，要善于誘導學生猜想，從實際生活中的實例或從已有的數(shù)學經(jīng)驗出發(fā)，引導學生自己由類比或歸納猜測出要學習的相關概念與結論.

例如:在教完數(shù)列的極限后學習函數(shù)的極限時，可以就數(shù)列的極限的定義、性質讓學生類比猜想函數(shù)的極限的定義和相關性質.由于函數(shù)極限與數(shù)列極限一樣，也具有唯一性、有界性、保號性等性質，并且證明方法和幾何解釋也類似，學生通過思考和猜想，完全可以類比出函數(shù)極限的定義和相關性質.同樣，在學了導數(shù)、微分的相關概念與性質后，可以引導學生通過歸納與類比，猜想高階導數(shù)、高階微分的定義與相關性質;學完函數(shù)的凸性相關概念和性質后，可引導學生猜想函數(shù)的凹性的相關概念和性質;由水平漸近線的概念猜想垂直漸近線和斜漸近線的概念;由求不定積分的方法猜想求定積分的方法;由無窮小的性質猜想無窮大的性質;由初等函數(shù)的連續(xù)性和極限運算性質猜想冪指函數(shù)的連續(xù)性與極限運算;由定積分的概念與幾何解釋猜想二重積分的概念與幾何解釋;由左右極限的概念猜想左右導數(shù)的概念;由一元復合函數(shù)的求導與微分法猜想多元復合函數(shù)的求導與微分法;由一階偏導數(shù)的求法猜想高階偏導數(shù)的求法;由一元函數(shù)相關性質猜想多元函數(shù)相關性質;由區(qū)間的概念猜想平面內區(qū)域的概念;由一維隨機變量及其分布中的相關定義、分布律、密度函數(shù)、隨機變量間的獨立性等猜想出二維、三維、四維乃至更高維隨機變量及其分布的相應結論，等等.

在教授過程中也可利用歸納猜想引導學生學習相關概念與定理.如在進行微分中值定理的講解時，先介紹簡單的羅爾定理;再去掉它的第三個條件，引導學生猜想出拉格朗日中值定理的結論;再進一步引導學生將拉格朗日中值定理推廣猜出柯西中值定理的結論;把隨機變量的期望、方差、協(xié)方差、矩等數(shù)字特征放到一起歸納其共性時學生很快會猜想出這幾個數(shù)字特征都可以用數(shù)學期望來表示，矩是一般式或通式，期望、方差和協(xié)方差都是矩的特殊情形等.

當然，并不是所有的猜想都是科學的、正確的.如，一階微分具有微分形式不變性，但高階微分卻不具有形式不變性;一元函數(shù)中，函數(shù)在某點可導必連續(xù)，但在多元函數(shù)中，函數(shù)在某點的偏導數(shù)存在，并不能保證函數(shù)在該點連續(xù);一元函數(shù)可微與可導是等價的，但二元函數(shù)在某點可偏導時卻不一定能保證在這點可微;又如利用極限的運算法則猜想微分運算法則時，其中加減法是可以相通的，但微分的乘除法已經(jīng)不能用極限的乘除法法則延伸了.對于這些特殊的情況，一定要著重引導學生認識并接受，避免他們在以后的應用中出錯.

3.2 在解題教學中抓住有利時機引導學生猜想

在解題教學中，在著手解題之前也可不失時機地引導學生猜想解題方法或解題結果.

這三道題只是改變了分子、分母兩多項式的次數(shù)，但是結果卻截然不同.可先引導學生猜猜它們的結果會怎樣?然后讓他們自己計算.

(2)與(1)類似，分子、分母同除以分母的最高次冪x3，有

通過這三道小題的猜想與講解，可驗證他們的猜想是否正確，同時還可引導學生進一步猜測出如下結論:

設f(x)和g(x)分別為n次和m次多項式，即f(x)=a0xn+a1xn－1+ … +an，g(x)=b0xm+b1xm－1+ … +bm，其中 a0，b0不為 0，則特別地，若g(x)=1，則，其中 n≥1.

這樣，既讓學生學會了不同類型極限的求法，也學會了兩個多項式商的極限的不同情況的求法.同時也讓學生參與了猜想和體驗驗證猜想的經(jīng)歷.

猜想不但是數(shù)學發(fā)現(xiàn)的重要方法，也被廣泛應用于其它學科.在大學數(shù)學中適時、適當鼓勵學生不滿足于現(xiàn)有結論，積極思考，大膽猜想新方法、新結論，不但能培養(yǎng)大學生的創(chuàng)新思維，更有利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力.

［1］波利亞G.數(shù)學的發(fā)現(xiàn)(第2卷)［M］.劉景麟，曹之江，鄒清蓮，譯.呼和浩特:內蒙古人民出版社，1981.

［2］任章輝.數(shù)學思維理論［M］.南寧:廣西教育出版社，2001.

［3］沈浮，王俊，張清澤.數(shù)學猜想在高等數(shù)學教學中的運用［J］.蘭州教育學院學報，2011，(1):114.

［4］建瑋，劉凱年.猜想的認知心理學分析及其應用［J］.重慶師范學院學報(自然科學版)，2002，(4):91 －94.