羅榮建

（馬關(guān)縣第一中學(xué)，云南 馬關(guān) 663700）

橢圓雙曲線焦點弦問題新解

羅榮建

（馬關(guān)縣第一中學(xué)，云南 馬關(guān) 663700）

橢圓雙曲線焦點弦問題是高考經(jīng)?？疾榈膬?nèi)容，用常規(guī)方法解答此類問題，計算量大，多數(shù)考生費時費力最終不能圓滿計算出結(jié)果，文章給出解答此類問題的一種新方法。

高考真題；橢圓雙曲線；焦點弦

查閱近6年的高考真題，橢圓雙曲線焦點弦問題在高考中最常見，在全國及各省市的高考題中。焦點弦問題較多。解答此類題的方法最常見的有兩種，一是用弦長公式求解。二是用圓錐曲線的定義，即圓錐曲線上的點到焦點的距離與它到對應(yīng)準(zhǔn)線的距離之比等于常數(shù) 來求解。兩種方法的優(yōu)點是入手容易，缺點是化簡計算太復(fù)雜，特別是碰上含有兩個參數(shù)以上的參數(shù)方程的化簡更是難上加難。

為解決橢圓雙曲線焦點弦計算難的問題，筆者在多年高三教學(xué)實踐中，發(fā)現(xiàn)了解答橢圓雙曲線焦點弦問題的一組結(jié)論，用它來解決橢圓雙曲線焦點弦問題顯得簡易快捷。筆者先給出三個定理及其推論的證明。

1 橢圓的焦點弦定理

定理1若橢圓的左右焦點是F1，F(xiàn)2。過焦點F2且傾斜角為θ的直線L與 C相交于A，B兩點，則焦點弦。

圖1 示意圖

推論：若r1，r2是橢圓同焦點弦的兩個焦半徑，則。

2 雙曲線的焦點弦定理Ⅰ

定理2若雙曲線的左右焦點分別是F1，F(xiàn)2，過焦點F2且傾斜角為θ的直線L與C相交于一支上的A，B兩點，則焦點弦。

（2a+r1）2=4c2+r12-2×2c×r1cos（π-θ）。

（2a+r2）2=4c2+r22-2×2c×r2cos θ

圖2 示意圖

推論：若r1，r2是雙曲線同焦點弦的兩個焦半徑，則。

3 雙曲線焦點弦定理Ⅱ

定理3若雙曲線的左右焦點分別是F1，F(xiàn)2，過右焦點F2且傾斜角為θ的直線L與C相交于雙曲線的左右兩支交點分別是A，B，則焦點弦。

圖3 示意圖

于是，在BF2F1中，

根據(jù)余弦定理，

（2a+r1）2=4c2+r12-2×2c×r1cos θ

根據(jù)余弦定理，

（r2-2a）2=4c2+r22-2×2c×r2cos θ

推論：若r1，r2是雙曲線同焦點弦的兩個焦半徑，則。

事實上，以上三個定理的共同特征有4個：（1）它們指出了在橢圓雙曲線中的常數(shù)a、c，直線的傾斜角θ和弦（或F分所成的比r1/r2）這三組量之間的相互關(guān)系。在這三組量中，知道其中兩組量就可以求另一組量；（2）三個定理的推導(dǎo)簡單直觀，它給出了解橢圓雙曲線焦點弦問題的另一種方法，定理的推導(dǎo)過程就是解題的步驟，所以結(jié)論不需要記憶；（3）推論是用來解決橢圓雙曲線焦點F分所成的比r1/r2的常用關(guān)系式，在解答相關(guān)高考問題時非常好用；（4）用三個定理解決橢圓雙曲線的焦點弦問題，解題思路清晰，推理過程簡單，實用性強、操作方便，它突破了用常規(guī)解法解答焦點弦問題時碰到的化簡難困擾。

當(dāng)橢圓雙曲線的焦點在y軸上時，三個定理形式類同，推導(dǎo)過程完全類似，請讀者自己試一試。

現(xiàn)舉例對比分析如下：

例1 （2010年遼寧理科數(shù)學(xué)高考真題［3］）如圖4，設(shè)橢圓的右焦點為F，過點F的直線與橢圓C相交于A，B兩點，直線L的傾斜角為60°，。

① 求橢圓C的離心率；

解法1：（常規(guī)解法）

解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由題意知y1y2＜0 。

點評：本題的解答，考生感到最困難的是把直線方程代入橢圓方程后的消元化簡整理，因為計算難，導(dǎo)致學(xué)生失去信心而計算不出結(jié)果，費時費力。

解法2.（新解法）

解：如圖4，

圖4 示意圖

① 根據(jù)橢圓的焦點弦定理推論，

② 根據(jù)橢圓的焦點弦定理

點評：本題的解答過程，步驟少，計算簡單容易。

筆者在部分數(shù)學(xué)成績拔尖的學(xué)生中調(diào)研實驗，用方法二解答本題所用的時間比用方法一解答快3倍。用解法②再舉一例：

圖5 示意圖

（2a-r1）2=4c2+r12-2×2c×r1cos120°

（2a-r2）2=4c2+r22-2×2c×r2cos60°

點評：本題如果用常規(guī)方法解答，計算量還是比較大，請讀者不訪試一試。

回顧近幾年的高考題，每年都有幾個省市考橢圓雙曲線焦點弦問題，而且題型變化不大，近三年的高考真題有：2010年全國卷文理科第12題，2010年遼寧文科卷第20題， 2011年四川文科第17題，2011年福建文科第18題，理科第19題，2012年江蘇文科第19題，理科20題，2012年福建文科第19題。2013年有關(guān)焦點弦問題將會考什么樣的題目，哪些省市會考到類似的題，我們拭目以待。

參考文獻：

［1］錢珮玲.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書人教版（第二版）［M］.北京：人民教育出版社，2010：32-55.

［2］張建躍.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書人教版［M］北京：人民教育出版社，2012：38-63.

［3］王海平.2006—2010年高考真題匯編［M］.拉薩：西藏人民出版社，2010.

A Magic Solution to Ellipse Hyperbola Focus Chord Problem

LUO Rong-jian
(No.1 Middle School, Maguan 663700, China)

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O122

A

1674-9200（2013）03-0037-05

（責(zé)任編輯 李世云）

2013 - 03 - 20

羅榮建（1954 -），男，云南麻栗坡人，馬關(guān)縣第一中學(xué)數(shù)學(xué)教師，主要從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作。