高美平

（文山學(xué)院 數(shù)理系，云南 文山 663000）

將可對角化矩陣進行對角化的一種簡潔方法

高美平

（文山學(xué)院 數(shù)理系，云南 文山 663000）

矩陣是高等代數(shù)中一個重要的概念，而對角矩陣作為一種特殊的矩陣，它在理論研究方面有重要的意義。本文利用矩陣相似的初等變換，給出可對角化矩陣對角化的一種簡潔的方法。

矩陣相似；初等變換；對角化；對角矩陣

形式最簡單的對角矩陣在矩陣理論中占有重要地位，并且研究矩陣對角化問題是很有實用價值的，例如求矩陣的高次方冪、利用矩陣的特征根求矩陣的行列式值、線性變換可對角化問題等方面都有應(yīng)用。因此，矩陣的對角化問題成為高等代數(shù)研究的重要問題之一，許多專家和學(xué)者經(jīng)過不斷的努力得出了一系列有關(guān)矩陣對角化的結(jié)果［1-6］。

文獻［1］和［2］中，給出了矩陣的可對角化問題的判別方法和對角化的方法；文獻［3］根據(jù)文獻［1］得出了由特征矩陣和單位矩陣進行相似的初等變換，使得矩陣對角化的一種方法；文獻［4］給出了關(guān)于矩陣可對角化的幾個條件；文獻［5］給出了化實對稱矩陣為對角矩陣的計算機算法；文獻［6］給出了兩個特征根矩陣對角化的方法。

本文繼續(xù)對可對角化的矩陣如何進行對角化的方法進行探討，得出了將可對角化矩陣進行對角化的一種簡潔方法，該方法比文獻［1-3，6］中的方法更加簡單。

1 定義和引理

定義1［1］數(shù)域F上矩陣的初等行變換是指下列三種變換：

（1）互換矩陣的兩行；

（2）以F中一個非零的數(shù)k乘以矩陣的一行；

（3）把矩陣的某一行（或列）的k倍加到另一行（或列）。

同樣可定義矩陣的初等列變換，稱矩陣的初等行變換和初等列變換為矩陣的初等變換。

定義2［2］由單位矩陣E經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣，且分別記為P，D（k），T（k）。

定義3［3］若n階方陣A、B滿足： 存在可逆n階方陣P，使得P-1AP=B，則稱A與B相似，稱P為相似變換矩陣。若A與對角矩陣相似，則稱A可對角化。

定義4若對矩陣A作運算Q-1AQ，其中Q是初等矩陣，則稱對A作相似的初等變換。

引理1.1［2］n階矩陣A可逆當且僅當A可以寫成初等矩陣的乘積。

引理1.2［2］初等矩陣都是可逆的，且。

引理1.3［1］對一個s×n矩陣A作一初等行變換就相當于在A的左邊乘上相應(yīng)的s×s初等矩陣；對A作一初等列變換就相當于在A的右邊乘上相應(yīng)的n×n初等矩陣。

定理1.1對矩陣A實行相似的初等變換相當于實行一次行和一次列的初等變換，其變換如下

（1）Pij-1Apij相當于對矩陣A交換第i列與第j列，然后再交換第i行與第j行。

（2）Di-1（k）ADi（k）相當于對A的第i列乘以k，然后對第i行乘以。

（3）Tij-1（k）ATij（k）相當于對矩陣A的第i列乘以k加到第j列，然后把第j行乘以-k，加到第i行。

證明由引理1.3和1.2容易得證。特別指出可以先作行的初等變換，再作列的初等變換也可以。

引理1.4［2］相似的矩陣有相同的特征多項式。

為了方便敘述引入以下符號：

ri表示矩陣的第i行；ci表示矩陣的第i列；ri×k表示對矩陣的第i行每個元素乘以數(shù)k（k≠0）；（ri，rj）表示交換矩陣的第i行與第j行；ri×k+rj表示矩陣的第i行每個元素上乘以數(shù)k加到第j行對應(yīng)的元素上作為第j行的元素。同樣用ci×k，（ci，cj），ci×k+cj表示相類似的列的初等變換。

2 主要結(jié)果

關(guān)于方陣A可否對角化的判定和計算，通常是利用特征根和特征向量來進行。文獻［1］和［2］中指出先求出矩陣A的特征根，然后求出屬于各個特征根對應(yīng)的特征向量，最后取這些特征向量作為列向量的矩陣為矩陣P，這樣P-1AP就是對角矩陣，且其對角線上的元素正好是矩陣A的特征根。 文獻［1］和［2］的方法中涉及到計算行列式和解線性方程組等問題。

本文給出利用矩陣的初等變換解決矩陣對角化問題， 這樣不必計算行列式，也不用解若干的齊次線性方程組。以下是本文的結(jié)果。

定理2.1若矩陣A可對角化，則A可經(jīng)一系列相似的初等變換得到對角矩陣B，且B的對角線上的元素是A的特征根。

證明：由矩陣A可對角化知，存在可逆矩陣P，使得P-1AP=B，且B是對角矩陣。

由引理1.1得P=q1q2…qs，其中q1，q2，…，qs是初等矩陣。從而B=（q1q2…qs）-1A（q1q2…qs）。

因為矩陣的乘法滿足結(jié)合律，所以得：B=qs-1…（q2-1（q1-1Aq1）q2）…qs。

引理1.3表明矩陣A通過相似的初等變換得到對角矩陣B。從而A與B相似，又由引理1.4得， 對角矩陣B的對角線上的元素是A的特征根。證畢

注：由定理2.1得，其中A是n階可對角化的矩陣，E是n階單位矩陣，B是與A相似的對角矩陣。這樣對于可對角化的矩陣A，找到了可逆矩陣P，使得P-1AP=B，且在驗證是不是經(jīng)過相似變換時，只要檢驗PP-1或P-1P是不是單位矩陣即可。

3 算例

在“學(xué)生講課型”課堂互動模式中，教師課前將授課PPT進行分享，然后指定章節(jié)安排小組學(xué)生課上講授，授課過程中有問題教師實時補充，具體課堂活動時間序列見表3所示。在該模式中，師生角色發(fā)生了轉(zhuǎn)換，即學(xué)生變成了知識的擁有者和傳播者，積極主導(dǎo)課堂教學(xué)活動，教師則轉(zhuǎn)變?yōu)榻虒W(xué)活動的導(dǎo)演和學(xué)生身邊的教練。小組學(xué)生授課結(jié)束后，師生就講演者的教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)形式、特色創(chuàng)新等方面進行評價。“學(xué)生講課型”課堂互動模式促進了學(xué)生邏輯能力和表達能力的提升。

于是P=。容易驗證P-1P=E，P-1AP=。

例1的結(jié)果與文獻［1］308頁得到的結(jié)果是相同的，而本文的方法相對于文獻［1］比較簡單，計算量也少。

解： （方法一）矩陣A的特征多項式是。所以矩陣A的特征根是1（二重）和-1。對于特征根1，求出齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系，即{（1 0 1），（0 1 0）}。對于特征根-1，求出齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系，即（-1 0 1）。取

為了驗證P-1AP是不是對角矩陣diag（1，1，-1），還需要計算出P-1。

因為detP=2，矩陣P的代數(shù)余子式P11=1，P12=0，P13=-1，P21=0，P22=2，P23=0，P31=1，P32=0，P33=1。

例2表明對于可對角化的矩陣中0元素比較多的情況，方法二（本文得到的方法）比方法一（文獻［1］和［2］的方法）計算量少，且方法二在求解的過程中，就能把可逆矩陣的逆矩陣也同時求出來，不用單獨去求逆矩陣。另外本文得到的方法只是對矩陣實行相似的初等變換，這是比較熟悉的方法，比解線性方程組和求行列式容易實施。

4 結(jié)束語

本文利用矩陣相似的初等變換給出了，將可對角化的矩陣進行對角化的一種簡潔的方法。該方法比文獻［1］和［2］中的求特征根、特征向量的方法更加簡單，而且計算量小。

本文得到的方法在求解的過程不涉及到計算行列式和求解若干線性方程組，且同時能找到相似變換矩陣P及其逆矩陣P-1。只需要驗證：P-1P是不是單位矩陣E就可以判斷對矩陣A實行的變換是不是相似變換。另外只要驗證P-1AP是不是等于對角矩陣B就可以判斷該矩陣P是不是要找的可逆矩陣。矩陣的初等變換對于學(xué)習(xí)過《高等代數(shù)》的學(xué)者來說是非常熟悉的，所以，本文得到的結(jié)果為學(xué)者提供了將可對角化的矩陣對角化的一種簡潔的辦法。

［1］北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù)［M］.北京：高等教育出版社，1988：70-308.

［2］張禾瑞，郝鈵新. 高等代數(shù)［M］.北京： 高等教育出版社，1981：194-292.

［3］許必才.矩陣相似對角化的初等變換求解［J］.西華大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2005（2）：11-12.

［4］戴平凡，黃朝銘.關(guān)于矩陣可對角化的幾個條件［J］.常州工業(yè)學(xué)院學(xué)報，2010（1）：35-38.

［5］姜友誼，應(yīng)宏，王紹恒.化實對稱矩陣為對角矩陣的計算機算法［J］.西南民族學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版，2002（4）：428-432.

［6］靳廷昌.有兩個特征根矩陣的對角化 ［J］.數(shù)學(xué)通報，1997（11）：34-35.

A Simple Method for Diagonalization of Matrix

GAO Mei-ping
(Department of Mathematics and Physics, Wenshan University, Wenshan 663000, China)

Matrix is an important concept in advanced algebra, but the diagonal matrix is a special matrix which has important significance in the theoretical research. In this paper, based on the matrix similarity transformation, a simple method for diagonalization of matrix which can transformed diagonal matrix is proposed.

Matrix similarity; elementary transformation; diagonlization; diagonal matrix

O151.21

A

1674-9200（2013）03-0020-04

（責任編輯 劉常福）

2013 - 04 - 26

云南省教育廳科學(xué)研究項目“M矩陣與其逆的Hadamard積的特征值下界估計”（2012Y270）；文山學(xué)院重點學(xué)科數(shù)學(xué)建設(shè)項目（12WSXK01）。

高美平（1977 -），女，云南鶴慶人，文山學(xué)院數(shù)理系講師，碩士，主要從事矩陣理論及其應(yīng)用研究。