黨慧,楊衛(wèi)國,高榮,石志巖

(江蘇大學(xué)理學(xué)院,江蘇鎮(zhèn)江 212013)

二叉樹上分枝馬氏鏈的強(qiáng)大數(shù)定理

黨慧,楊衛(wèi)國,高榮,石志巖

(江蘇大學(xué)理學(xué)院,江蘇鎮(zhèn)江 212013)

首先給出了在可列狀態(tài)空間取值的二叉樹上分枝馬氏鏈定義的離散形式,然后建立了二叉樹上分枝馬氏鏈的若干強(qiáng)極限定理,最后研究了二叉樹上有限狀態(tài)分枝馬氏鏈的強(qiáng)大數(shù)定理.

二叉樹;分枝馬氏鏈;強(qiáng)極限定理;強(qiáng)大數(shù)定理

DO I：10.3969/j.issn.1008-5513.2013.05.0013

1 引言

樹圖T是一個沒有回路的連通圖,對于任意兩個頂點σ/=t∈T,設(shè)σt是連接σ與t的唯一路徑,路徑σt中含有的邊數(shù)記為d(σ,t),稱為σ到t的距離.設(shè)T是一個以o為根頂點的局部有限的無限樹圖.對于T中的任意兩個頂點σ,t,如果σ是處在從根頂點o到t的唯一路徑上,則記為σ≤t.用σ∧t表示同時滿足σ∧t≤t與σ∧t≤σ的離o最遠(yuǎn)的頂點.對于T上的任一頂點t,|t|表示o和t之間的距離.一個頂點如果其與根頂點的距離為n,則稱該頂點位于第n層上.Ln表示T的第n層上所有頂點的子圖,Lmn表示T的含有從n層到m層的所有頂點的子圖,特別T(n)=Ln0表示T的含有從0層(根)到n層的所有頂點子圖.如果樹圖T的根頂點有N個相鄰頂點,而其他頂點有N+1個相鄰頂點,稱此樹為Cayley樹,記為TC,N.對于Cayley樹TC,N上的每一個頂點t,在它的下一層都有N個相鄰頂點,稱這N個頂點為t的子代,t為這N個頂點的父代.本文主要研究二叉樹TC,2(見圖1),為了方便,將TC,2簡記為T2.對于二叉樹上任一頂點t,記t1,t2為t的兩個子代.

設(shè){?,F,P}為一概率空間,{Xt,t∈T2}為定義在{?,F,P}上的樹指標(biāo)隨機(jī)過程,設(shè)A為T2的子圖,記XA={Xt,t∈A},用|A|表示A中頂點的個數(shù),xA表示XA的實現(xiàn).

樹指標(biāo)隨機(jī)過程是近年來發(fā)展起來的概率論的一個新的研究方向.文獻(xiàn)[1]給出了樹指標(biāo)馬氏鏈的定義并研究其常返性及角常返性.文獻(xiàn)[2]研究了齊次樹上某些平穩(wěn)隨機(jī)場的熵率.文獻(xiàn)[3]研究了齊次樹指標(biāo)有限狀態(tài)馬氏鏈的強(qiáng)大數(shù)定理和漸近均分性(AEP).文獻(xiàn)[4]研究了齊次樹指標(biāo)層非齊次馬氏鏈的強(qiáng)大數(shù)定理和漸近均分性(AEP).文獻(xiàn)[5]研究了一致有界樹指標(biāo)馬氏鏈的強(qiáng)大數(shù)定理和漸近均分性(AEP).文獻(xiàn)[6]研究了Cayley樹指標(biāo)有限狀態(tài)非齊次馬氏鏈的強(qiáng)大數(shù)定理和漸近均分性(AEP).文獻(xiàn)[7]研究了Cayley樹指標(biāo)非對稱馬氏鏈的強(qiáng)大數(shù)定理和漸近均分性.文獻(xiàn)[8]定義了在任意狀態(tài)空間取值的二叉樹上分枝馬氏鏈,并研究了其極限定理.

圖1 二叉樹TC,2

本文首先給出在可列狀態(tài)空間取值的二叉樹上分枝馬氏鏈定義的離散形式,然后研究二叉樹上有限狀態(tài)分枝馬氏鏈的強(qiáng)大數(shù)定理.在文獻(xiàn)[8]中研究的強(qiáng)大數(shù)定理要求隨機(jī)變量是同分布的,并不做此要求,而且與文獻(xiàn)[8]不同的是,本文采用的是與文獻(xiàn)[7]類似的方法,即通過構(gòu)造一個非負(fù)鞅先建立二叉樹上分枝馬氏鏈的強(qiáng)極限定理,然后利用這個強(qiáng)極限定理證明本文的強(qiáng)大數(shù)定理.

2 定義

3 強(qiáng)極限定理

4 強(qiáng)大數(shù)定理

[1]Ben jam ini I,Peres Y.M arkov chains indexed by trees[J].Ann.Probab.,1994,22:219-243.

[2]Berger T,Ye Z.Entropic aspects of random f elds on trees[J].IEEE Trans.Inform.Theory,1990,36:1006-1018.

[3]Yang W G.Som e lim it properties for M arkov chains indexed by a hom ogeneous tree[J].Statist.P rob.Lett., 2003,65:241-250.

[4]Yang W G,Ye Z.The asym p totic equipartition property for nonhomogeneous M arkov chains indexed by a homogeneous tree[J].IEEE Trans.In form.Theory,2007,53:3275-3280.

[5]Huang H L,Yang W G.Strong law of large num bers for M arkov chains indexed by an in fnite tree w ith uniform ly bounded degree[J].Sci.China Ser.A,2008,51:195-202.

[6]Dong Y,Yang W G,Bai J F.The strong law of large numbers and the Shannon-M cM illan theorem for nonhom ogeneous M arkov chains indexed by a Cay ley tree[J].Statist.Probab.Lett.,2011,81:1883-1890.

[7]Dong Y,YangW G.Strong law of large numbers and asym ptotic equipartition probability for nonsymmetric M arkov chain indexed by Cayley tree[J].M athematical Research Exposition,2010,30(6):976-984.

[8]Guyon J.Lim it theorem s for bifurcating M arkov chains.App lication to the detection of cellular aging[J]. Ann.App l.Probab.,2007,17:1538-1569.

Strong law of large num bers for bifu rcating M arkov chains
indexed by a binary tree

Dang Hui,Yang Weiguo,Gao Rong,Shi Zhiyan

(Faculty of Science,Jiangsu University,Zhen jiang 212013,China)

In this paper,we f rst introduce the def nition of the discrete form of bifurcating M arkov chains indexed by a binary tree,then obtain some strong lim it theorem s for bifurcating M arkov chains indexed by a binary tree,and f nally,we obtain the strong law of large numbers for binary tree-indexed bifurcating Markov chainsw ith f nite state space.

binary tree,bifu rcating M arkov chains,strong lim it theorem s,strong law of large numbers

O211. 4;O211.6

A

1008-5513(2013)05-0529-07

2013-04-012.

國家自然科學(xué)基金(11071104);江蘇大學(xué)大學(xué)生科研立項(12A 409).作

者簡介：黨慧(1987-),在讀碩士,研究方向:概率極限理論.

2010 MSC:60J10,60F15