趙冬霞

（大慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，黑龍江大慶163712）

二階非線性三點邊值問題的正解

趙冬霞

（大慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，黑龍江大慶163712）

非線性泛函分析已成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的一個重要分支，是處理非線性問題的重要工具，尤其在處理應(yīng)用中出現(xiàn)的大量微分方程時發(fā)揮不可替代的作用。利用錐不動點定理，并結(jié)合Green函數(shù)性質(zhì)，證明了一類二階非線性三點邊值問題正解的存在性。

Green函數(shù)；邊值問題；不動點

0 引言

本文研究非線性二階三點邊值問題

其中η∈（0，1），α＞0，0＜4β-α2＜π2，0＜γ≤1。討論上面邊值問題（1）在什么條件下存在正解，并證明正解的存在性。先構(gòu)造出Green函數(shù)，然后將邊值問題（1）轉(zhuǎn)化為單積分形式的等價積分方程，并利用錐不動點定理證明其正解的存在性［1］。

在f（t，u）非奇異的情形下，本文假設(shè)如下：

（H1）f（t，u）在［0，1］×［0，+∞）上非負(fù)連續(xù)；

定義1：稱函數(shù)u（t）為邊值問題式（1）的正解，如果它滿足u∈C1［0，1］∩C2（0，1），且在（0，1）內(nèi)u（t）＞0；u（t）滿足式（1）。

定理1：假設(shè)（H1），（H2）或（H1），（H3）成立，則邊值問題式（1）至少存在一個正解。

1 邊值問題的等價形式及格林函數(shù)估計

考慮非線性邊值問題（1），根據(jù)常數(shù)變易法容易導(dǎo)出與邊值問題（1）等價的積分方程［2］。

引理1：設(shè)φ1（t），φ2（t）是u″（t）-au′（t）-au′（t）+βu（t）＝0的兩個無關(guān)解，φ0（t）是下述邊值問題

的一個解，則

的任何解可表示為u（t）＝C1φ1（t）+C2φ2（t）+φ0（t）

其中f∈C［0，1］，C1，C2是任意常數(shù)。

證明：直接驗證即可。

有唯一正解

這里

證明：利用常數(shù)變易法直接計算即得。

等價。而

利用u（0）＝0，u（1）＝γu（η）確定C1C2，注意到G（0，s）＝G（1，s）＝0

2 正解的存在性及證明

引理5：設(shè)E是Banach空間，K?E是E中的錐，假設(shè)Ω1Ω2是E中的開子集，又設(shè)全連續(xù)。

（i）如果‖Φu‖≤‖u‖，?u∈K∩?Ω1并且‖Φu‖≥‖u‖，?u∈K∩?Ω2；

（ii）如果‖Φu‖≥‖u‖，?u∈K∩?Ω1并且‖Φu‖≤‖u‖，?u∈K∩?Ω2，則Φ在K）中存在不動點。

由引理2知Φ在K∩（Ω—2＼Ω1）中存在不動點u（t），它滿足Φu＝u，即u（t）是（2）的一個正解，因此u（t）是邊值問題（1）的一個正解［3-4］。

即有‖Φu‖≤‖u‖

若f（t，u）有界，則存在N＞0，使對t∈［0，1］和u∈［0，+∞］有f（t，u）≤N，取R＞max｛r，Ne2α∫10G（s，s）ds｝，令ω2＝｛u∈C［0，1］，‖uu‖＜R｝，則對?u∈K∩?Ω2有

根據(jù)引理2知Φ在K∩（Ω—2＼Ω1）中存在不動點u（t），它滿足Φu＝u，即u（t）是（2）的正解，因此是（1）的一個正解。

3 結(jié)語

對一類含雙參數(shù)的二階邊值問題進行了研究，利用錐不動點定理，并結(jié)合Green函數(shù)性質(zhì)，在非線性項滿足超線性或次線性的條件下，證明了其邊值問題正解的存在性。

［1］Li Yongxiang.Positive solutions of fourth-order boundary value problem with two parameters［M］.J.Math.Anal.Appl.，2003，281：477-484.

［2］Jiang Daqing.Optimal existence theory for single and multiple positive solutions to fourth order periodic value problems［J］.Nonlinear Analysis：RealWorld Applications，2006，7：841-852.

［3］YAOQingliu.Existence of positive Solutions for some nonlinear third order two pointboundary value problems［J］.J.of Jishou University：Natural Science，2003，24（2）：10-14.

［4］I.Rachunková.Singular Dirichlet second order boundary value problems with impulses［J］.J.Differential Equations，2003，145：435-459.

趙冬霞（1983-），女，黑龍江大慶人，大慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院講師，從事非線性問題研究。

大慶師范學(xué)院青年基金項目（12ZR10）。

O29

A

2095-0063（2013）06-0055-04

2013-05-25