張 玲，郭 爽

（大慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，黑龍江大慶163712）

□數(shù) 學(xué)

一類食物鏈模型Hopf分支的存在性

張 玲，郭 爽

（大慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，黑龍江大慶163712）

考慮了一類三維Gause型食物鏈模型，通過(guò)對(duì)模型線性部分對(duì)應(yīng)特征方程特征根的分布情況的討論給出了共存平衡解的穩(wěn)定性和Hopf分支的存在性，并給出了一組數(shù)值模擬數(shù)據(jù)來(lái)說(shuō)明分支周期解的方向，周期及其穩(wěn)定性。

Gause型食物鏈；Hopf分支；數(shù)值模擬

0 引言

在自然界中，生物種群的關(guān)系會(huì)隨著種類的增加而變得更加復(fù)雜。例如三個(gè)種群之間有可能是捕食與被捕食形式，有可能是競(jìng)爭(zhēng)或者共存關(guān)系，也有可能表現(xiàn)為食物鏈形式。

Freedman等［1］提出了一類Gause型食物鏈模型：

這里x，y，z分別是食餌，捕食者和頂層捕食者的密度，g（x）為食餌x的相對(duì)增長(zhǎng)率。p（x），q（y）分別為捕食者和頂層捕食者得功能反應(yīng)函數(shù)，h，e，s，m＞0分別對(duì)應(yīng)著死亡率，以及食餌和捕食者的轉(zhuǎn)化率。許多作者對(duì)該模型進(jìn)行了詳細(xì)的研究［2-4］。

為了理解種群密度的震蕩現(xiàn)象，引入一個(gè)單一時(shí)滯到模型的功能反應(yīng)函數(shù)中是最好的方法，如文獻(xiàn)［5-7］。我們這篇文章的主要目的是把時(shí)滯引入到頂層捕食者的功能反應(yīng)函數(shù)中，分析該模型所出現(xiàn)的分支現(xiàn)象。

1 共存平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性分析

這里非量綱化處理不會(huì)改變平衡點(diǎn)的性質(zhì)，經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算，我們知道（2）有四個(gè)平衡點(diǎn)：E1（0，0，0），E2（1，0，0），E3（x0，y0，0）及E*（x*，y*，z*）。其中

E1（0，0，0），E2（1，0，0）和E3（x0，y0，0）標(biāo)志著種群數(shù)量會(huì)有不同程度的滅絕，我們主要研究共存平衡點(diǎn)E*（x*，y*，z*）隨著時(shí)滯的增加會(huì)產(chǎn)生怎樣的變化。

考慮E*（x*，y*，z*）處的線性化系統(tǒng)，其雅克比行列式為：

其特征方程為

其中a2＝-m11，a1＝-m12m21，b1＝-m23n32和b0＝m11m23m32。

如果m11＜0，那么當(dāng)τ＝0時(shí)，根據(jù)Routh-Hurwitz準(zhǔn)則，（3）的所有特征根都具有負(fù)實(shí)部，于是有以下引理：

引理：如果m11＜0，方程（2）的共存平衡點(diǎn)E*（x*，y*，z*）是局部漸近穩(wěn)定的。

當(dāng)τ≠0，把λ＝iω代入（3），有：

1）當(dāng)ω＝0，D（0，τ）＝m23n23m11≠0；

2）當(dāng)ω≠0，D（iω，τ）＝（iω）3+a2（iω）2+a1iω+（b1iω+b0）e-iωτ＝0

分離實(shí)虛部，有

平方相加，有

令ω2＝l，則方程（5）變成

由于h（0＝-b20＜0，而且lli＝m∞h（l），根據(jù)［8］，（6）至少存在一個(gè)正根，不失一般性，我們假設(shè)（6）有三個(gè)正根，記為l1，l2和l3，相應(yīng)的（5）有三個(gè)正根，分別為.根據(jù)（4）有

k＝1，2，3；j＝1，2，……，所以（±ωk，τjk）是（3）的解。

定義：

即±ω0是τ＝τ0時(shí)（3）的純虛特征根，于是下面定理成立：

定理：τ0和ω0如（8）定義，系統(tǒng)（2）的共存平衡點(diǎn)E*（x*，y*，z*）在τ∈［0，τ0］上是漸近穩(wěn)定的。此外，若h′（w。）≠0，那么當(dāng)τ＝0時(shí)，（2）于E*（x*，y*，z*）處經(jīng)歷Hopf分支。

證明：由于h（0）＝-b20＜0，知（3）必存在純虛特征根，由文獻(xiàn)［8］定理的前半部分成立。我們只需證明當(dāng)τ＝τ0時(shí)，Hopf分支存在的橫截條件成立。假設(shè)

所以

2 數(shù)值分析

由文獻(xiàn)［6］知在中心流形上分支周期解的方向，周期和穩(wěn)定性由下式描述

下面給出計(jì)算機(jī)得到的一組數(shù)據(jù)，我們選擇a＝2.712，b＝0.223，c＝0.765，r＝0.811，s＝0.771，d＝0.01，l＝0.115，經(jīng)過(guò)復(fù)雜的計(jì)算，我們得到：平衡點(diǎn)為E*（0.642，0.712，0.375），其他的重要參數(shù)值為c1＝-17.472-20.974i，μ2＝2.9017，T2＝5.4141β2＝-1.9017。由文獻(xiàn)［6］的中心流形和規(guī)范型理論知（2）的Hopf分支是上臨界的，分支周期解是穩(wěn)定的，分支周期解的周期是增加的。

［1］Freedman H.I.，Waltman P..Mathematic analysis of some three species food chain models［J］.Math.Biosci.，1978，33：257-276.

［2］Wonlyul Ko，Kimun Ryu.A qualitative study on general Gause-type predator-preymodelswith non-monotonic functional response［J］.Nonlinear Analysis：RealWorld Applications，2009（10）：2558-2573.

［3］S.M.Moghadas，B.D.Corbett.Limit cycles in a generalized Gause-type predator-preymodel，Chaos［J］.Solitons and Fractals2008，37：1343-1355.

［4］Wonlyul Ko，Kimun Ryu.A qualitative study on general Gause-type predator-preymodelswith constant diffusion rates［J］.J.Math.Anal.Appl，2008，34（4）：217-230.

［5］Xiaoquan Ding，Jifa Jiang.Multiple periodic solutions in generalized Gause-type predator-prey systemswith non-monotonic numerical responses［J］.Nonlinear Analysis：RealWorld Applications，2009（10）：2819-2827.

［6］Hassard B D，KazsinoffW D，Wan Y H.Theory and Application of Hopf bifurcation［M］.London：Cambridge University Fress，1982：14-70.

［7］H.B.Wang and W.H.Jiang.Hopf-pitchfork bifurcation in van der Pol＇s oscillatorwith nonlinear delayed feedback［J］.Journal of Mathematical Analysis Applications，2010，36（2）：9-18.

［8］S.G.Ruan，J.J.Wei.On the zeros of a third degree exponential polynomialwith applications to a delayedmodel for the control of testosterone secretion［J］.Mathematical Medicine and Biology，2001，18（1）：41-52.

Hopf Bifurcation Existence on Aood Chain M odel

ZHANG Ling，GUO Shuang
（College of Mathematics Science，Daqing Normal University，Daqing 163712，China）

A class of3-dimensional Gause food chainmodel is considered.The stability of the equilibrium points and the existence of Hopf bifurcation are obtained via employing the polynomial theorem to analyze the distribution of the roots of the associated characteristic equation with the linear partof themodel.A numerical simulation is carried out to illustrate the results.

Gause food chain model；Hopf bifurcation；numerical simulations.

張玲（1978-），女，黑龍江大慶人，大慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院講師，博士生，從事隨機(jī)微分方程數(shù)值解研究。

黑龍江省教育廳科學(xué)技術(shù)研究資助項(xiàng)目（12523001）。

TN911.8

A

2095-0063（2013）06-0048-04

2012-11-20