馬苑菲，文鴻雁

（1.桂林理工大學(xué) 測繪地理信息學(xué)院 廣西空間信息與測繪重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣西 桂林 541004）

變形體變形機(jī)理的復(fù)雜性和多樣性，使得變形分析和預(yù)測具有很大的難度[1]?，F(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的提高，使得變形分析中所應(yīng)用的各種理論和方法得到極大發(fā)展。單一的模型分析模式有著各種的缺陷和不足，而組合模型則可能減少這種缺陷，達(dá)到更好的預(yù)測效果。常用的組合方法有2種：一種是將傳統(tǒng)的單一預(yù)測模型與學(xué)習(xí)優(yōu)化算法進(jìn)行組合，另一種是將多個(gè)單一模型預(yù)測的結(jié)果進(jìn)行加權(quán)組合。在這些預(yù)測結(jié)果的基礎(chǔ)上進(jìn)行綜合判斷，給每個(gè)預(yù)測模型賦予不同權(quán)重，并由此得到一個(gè)預(yù)測效果更好的綜合模型。本文將GM（1，1）和多元回歸分析相結(jié)合，灰色理論有著在貧信息條件下處理數(shù)據(jù)的能力，能將雜亂的數(shù)據(jù)變成有規(guī)律的數(shù)據(jù)關(guān)系，而多元回歸分析則有著較好的線性關(guān)系，兩者建立起來的組合模型，經(jīng)檢驗(yàn)，具有良好的使用效果。

1 回歸分析預(yù)測模型

回歸分析是處理變量間相關(guān)關(guān)系的一種數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法，是研究一個(gè)變量或一組變量( 即自變量) 之變動對另一個(gè)變量( 因變量) 之變動的影響程度[2],如果把變形體作為一個(gè)系統(tǒng)，則可以用回歸分析方法近似地估計(jì)出因變量和自變量，即變形與變形影響因子之間的函數(shù)關(guān)系[3]。

多元線性回歸模型是利用與監(jiān)測變化量相關(guān)的所有因子等權(quán)重建模[4]。設(shè)隨機(jī)變量Y～N（μ，σ2），它與回歸因子x1，x2，…，xn有線性回歸關(guān)系，即在（x1，x2，…，xn）處，Y為Y=Xβ+ε或其中，Y是因變量即變形觀測值向量，n為觀測值的個(gè)數(shù)，ε為觀測值誤差向量且其服從（0，σ2）分布。

X是一個(gè)n×（m+1）階矩陣，其形式為：

它表示為m個(gè)變形影響因子，每個(gè)變形影響因子表示一種自變量的觀測值或其函數(shù)，它們構(gòu)成X矩陣的元素，與因變量相對應(yīng)，共有n組；β是回歸系數(shù)向量。

即共有m+1個(gè)回歸系數(shù)，在n>m+1時(shí)，按最小二乘原理可得法方程組、解向量組與精度如式（3）所示。

因變量估值的精度即單位權(quán)方差的驗(yàn)后估值為：

2 灰色GM( 1, 1) 預(yù)測模型

灰色系統(tǒng)是用來解決信息不完備系統(tǒng)的數(shù)學(xué)方法，它把控制論的觀點(diǎn)和方法延伸到復(fù)雜的大系統(tǒng)中，將自動控制與運(yùn)籌學(xué)的數(shù)學(xué)方法相結(jié)合，用獨(dú)樹一幟的方法和手段，研究了廣泛存在于客觀世界中具有灰色行的問題[6]?；疑到y(tǒng)理論研究的是貧信息建模，它提供了貧信息情況下解決系統(tǒng)問題的新途徑，它把一切隨機(jī)過程看作是在一定范圍內(nèi)變化的、與時(shí)間有關(guān)的灰色過程，對灰色量通過數(shù)據(jù)生成的方法，將雜亂無章的原始數(shù)據(jù)整理成規(guī)律性較強(qiáng)的生成數(shù)列后再做研究，在灰色預(yù)測模型中，對時(shí)間序列進(jìn)行數(shù)量大小的預(yù)測，隨機(jī)性被弱化了，確定性增強(qiáng)了[7]。

GM( 1, 1) 是單序列一階線性模型, GM( 1, 1)模型是基于累加生成的數(shù)列預(yù)測模型，以下為建立模型的具體步驟。

設(shè)原始序列為 ，n為序列長度。對x(0)進(jìn)行一次累加，即可得到一個(gè)生成序列 ，對此生成序列建立一階微分方程即為GM(1，1)。

式中，a和u是灰參數(shù)，其白化值（灰區(qū)間中的一個(gè)可能值）為用最小二乘法求解，得：

式（7）、式（8）即為灰色預(yù)測的2個(gè)基本模型。當(dāng)kn時(shí)，稱為模型預(yù)測值。

3 組合預(yù)測模型

組合預(yù)測理論是對同一個(gè)預(yù)測對象采用不同的單項(xiàng)預(yù)測模型，并對各個(gè)單項(xiàng)模型施以適當(dāng)權(quán)重的方法[8]。以多元線性回歸和灰色模型組合為例, 設(shè)a是線性回歸模型預(yù)測值，b是灰色模型預(yù)測值，c是組合模型預(yù)測值，ω1和ω2分別是線性回歸模型和灰色模型的組合權(quán)系數(shù),且有ω1+ω2=1,則c=aω1+bω2,它們的預(yù)測誤差分別設(shè)為e1、e2和e3,則組合預(yù)測誤差為：

由方差的定義及性質(zhì)引可知：

把ω2=1-ω1帶入式（9）, 并對式 (10) 關(guān)于ω1求導(dǎo),此時(shí)S2(e3)存在極小值, 得到：

由協(xié)方差性質(zhì),對于e1、e2顯然有 COV(e1,e2)=0,于是ω1可化為確定了以上的組合預(yù)測法和組合權(quán)系數(shù),就可以使組合預(yù)測誤差的方差最小。

4 實(shí)例分析

本文以某一土石壩為研究對象，對壩上某一點(diǎn)關(guān)鍵部位點(diǎn)做垂直沉降監(jiān)測（見表1），并運(yùn)用3種方法對此監(jiān)測點(diǎn)進(jìn)行了建模比較分析。

表1 監(jiān)測點(diǎn)的觀測數(shù)據(jù)

該數(shù)據(jù)用灰色GM（1,1）模型進(jìn)行擬合分析，我們選取前7項(xiàng)數(shù)據(jù)擬合，后2項(xiàng)進(jìn)行預(yù)測，原始數(shù)據(jù)為：x(0)=（2.5,4.7,6.9,8.7,10.5,12.0,13.7），第一次累加后可得x(1)=（2.5，7.2，14.1，22.8，33.3，45.3，59.0）。求x(1)的均值：由(1),z(1)(2),…,z(1)(8))=(2.5,4.85,10.65,18.45,28.05,39.3,52.15,61.45,72.1)；建立GM(1,1)模型：

用多元線性回歸方程進(jìn)行擬合結(jié)果表明，在顯著性水平為0.05時(shí)，查表得F0.05（1, 9）= 5.12，顯然898.747 1>5.12，所以模型總體線性相關(guān)程度顯著?；疑Ｐ秃突貧w模型預(yù)測誤差的方差分別為S2(e1)=0.339 028和S2(e2)= 1.379 834；權(quán)重為ω1= 0.802 762和ω2= 0.197 24，其結(jié)果對比如表2所示。各個(gè)模型的殘差圖如圖1所示。

圖1 各個(gè)模型的殘差圖

表2 各模型擬合及預(yù)測結(jié)果統(tǒng)計(jì)表

從圖1和表2中可以看出，組合模型擬合的結(jié)果明顯比單一模型的結(jié)果要好，由此可知這種組合方法是可行的。

5 結(jié) 語

本文根據(jù)擬合誤差最小的原則選擇權(quán)重系數(shù)，結(jié)合灰色GM（1，1）和多元回歸模型的優(yōu)點(diǎn)，有效地對模型進(jìn)行了擬合，并且取得了較好的擬合效果。單一的模型會有各種缺陷，而組合模型則可以彌補(bǔ)這一不足。本文僅是從灰色理論和多元回歸模型組合方式進(jìn)行了討論，其他模型的結(jié)合方式，還值得我們?nèi)ネ凭俊?/p>

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