謝 翔，郭際明，曹文濤，周命端

（1.武漢大學 測繪學院 精密工程與工業(yè)測量國家測繪局重點實驗室，湖北 武漢 430079）

由于成本、硬件等原因，目前便攜式GPS導航設備大多數(shù)都是使用偽距觀測值。同時在城市中，由于大樓林立、樹木遮擋等因素的影響，GPS接收機面臨著信號弱、部分時刻衛(wèi)星數(shù)不足等考驗[1]?？柭鼮V波模型廣泛應用于動態(tài)導航定位領(lǐng)域，在分析其原理的基礎上，本文提出了在衛(wèi)星數(shù)不足4顆的情況下可采用卡爾曼濾波作為參數(shù)估計模型進行連續(xù)解算的方法。

1 卡爾曼濾波算法

1.1 基本卡爾曼濾波模型

一個有多個輸入、輸出量的離散時間線性動態(tài)系統(tǒng)，可用以下線性差分方程來表示其控制過程：

式中，u代表系統(tǒng)的輸入向量，是一個可選項；x代表系統(tǒng)的狀態(tài)向量；w代表過程噪聲向量；A代表從tk-1到tk時刻的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；B代表在tk-1時刻系統(tǒng)的輸入向量與系統(tǒng)狀態(tài)之間的關(guān)系矩陣。式（1）稱為卡爾曼濾波的狀態(tài)方程，描述了系統(tǒng)狀態(tài)隨時間變化的過程，是系統(tǒng)的動態(tài)模型。

卡爾曼濾波器假定系統(tǒng)的狀態(tài)向量xk與其觀測向量yk存在以下的線性關(guān)系：

式中，C代表觀測量與系統(tǒng)狀態(tài)之間的關(guān)系矩陣；vk代表了測量噪聲向量。式（2）稱為卡爾曼濾波的測量方程，其描述了當前系統(tǒng)測量值與系統(tǒng)狀態(tài)之間的關(guān)系。

卡爾曼濾波假設向量wk中的每個過程噪聲變量為一個期望為零的正態(tài)白噪聲，即：

卡爾曼濾波假定每個測量噪聲變量也是一個期望為零的正態(tài)白噪聲，即：

盡管測量噪聲wk和vk的值是未知的，但它們的協(xié)方差矩陣Q和R對卡爾曼濾波來說是已知的。一般來說協(xié)方差陣Q和R會隨著時間的不同而變化，但在這里為了簡化公式，認定它們均是常系數(shù)矩陣。另外假定過程噪聲向量wk中的各分量與測量噪聲vk中的各分量互不相關(guān)，即：

式中，整數(shù)i和j均為任意有效歷元[2]。

1.2 常用KF模型

1）靜止用戶：P模型。當接收機處于靜止時，速度恒為0，只需把位置坐標和時鐘作為系統(tǒng)狀態(tài)，即x=［xpT,xcT］T。這里位置狀態(tài)向量為xp=［x,y,z］T，時鐘狀態(tài)向量為xc=［b,d］T，b為本地鐘差，d為本地鐘漂。

2）低動態(tài)用戶模型：PV模型。當用戶處在一種低動態(tài)運動環(huán)境時，就應該采用PV模型。這種模型適用場合包括平穩(wěn)駕駛的車船和步行者。在此模型中，速度分量被認為是隨機游走過程。系統(tǒng)狀態(tài)向量為x=［xpT,xvT,xcT］T，其中xvT=［vx,vy,vz］T，其余向量含義保持不變。本文中就采用這種模型。

3）高動態(tài)用戶模型：PVA模型。在某些應用場合，用戶的加速度變化較大，如飛機起降等，此時就需要將3個加速度分量加入系統(tǒng)狀態(tài)向量中，這種模型就叫做PVA模型。系統(tǒng)向量為x=［xpT,xvT,xaT,xcT］T，xaT［ax,ay,az］T是新加進去的加速度狀態(tài)向量[3]。

2 實例分析

2.1 卡爾曼濾波算法參數(shù)設置

本實例中采用了PV模型。在實際計算過程中，可以按照經(jīng)驗確定初始的方差矩陣，其中狀態(tài)向量矩陣選擇大一點，可以使濾波較快地收斂，初始方差矩陣見式（8）。

動態(tài)噪聲矩陣Qk與歷元無關(guān)，需要根據(jù)該動態(tài)模型的特性來確定，應該與動態(tài)模型的精度相匹配。如果Qk過大，則使得濾波在前一歷元的觀測值上加權(quán)過大，不能很好地利用當前觀測值；如果過小，使濾波在前一歷元的觀測值上加權(quán)過小，隨濾波的遞推，將會引進越來越大的模型噪聲，從而使濾波誤差可能越來越大，甚至發(fā)散。在這里，選擇的動態(tài)噪聲矩陣如式（9）所示[4]。

2.2 動態(tài)數(shù)據(jù)分析

當運動載體經(jīng)過高樓林立的街道等環(huán)境時，可能接收到的衛(wèi)星不足4顆。此時，采用普通的最小二乘法無法正常解算，將造成一段時間內(nèi)沒有位置信息?？柭鼮V波定位解算不僅依靠當前歷元的觀測值，也與前一歷元的定位結(jié)果有關(guān)，因此可以考慮卡爾曼濾波在這種情況下的可行性。

選取1組車載動態(tài)數(shù)據(jù)，共4 000個歷元，采樣間隔0.1 s。首先采用普通最小二乘法進行偽距單點定位；再從第401個歷元開始，連續(xù)對100個歷元做如下處理：刪除這些歷元的部分觀測值，即這段時間內(nèi)每個歷元參與解算的衛(wèi)星數(shù)均小于4顆。采用卡爾曼濾波算法對處理后的觀測值文件進行解算，將得到的2套空間三維坐標定位結(jié)果轉(zhuǎn)換到空間大地坐標（B、L和H），如圖1所示。左圖原點位置為東經(jīng)107.0599°，北緯25.0303°，右圖為A區(qū)域局部放大圖。

圖1 處理前后運動軌跡點比較

從左圖中可以看出，處理前后的運動軌跡基本重合，沒有明顯偏差。將A區(qū)域放大，看到從401個歷元開始位置出現(xiàn)偏差，并且偏離的程度隨著時間的增加越來越大，這是由于當前歷元缺少足夠的實際觀測值進行修正，因此偏差增大。從第501個歷元開始衛(wèi)星數(shù)恢復正常，此時的狀態(tài)估計值得到了實際測量值的修正，因而它的均方誤差值變小，可靠性增加，運動軌跡逐漸恢復到正常軌跡上。

3 結(jié) 語

本文主要研究了在衛(wèi)星數(shù)不足情況下利用卡爾曼濾波進行連續(xù)定位的方法，實驗結(jié)果表明，隨著時間的增加，精度會逐漸降低。但考慮到實際導航中，衛(wèi)星數(shù)不足的歷元為少數(shù)，且持續(xù)時間不會太長，因此本文研究內(nèi)容具有一定的實用性。在進一步的研究中，可以考慮改進卡爾曼濾波算法，提高濾波器的動態(tài)性能，如自適應卡爾曼濾波算法、帶漸消因子的優(yōu)化算法及改進的優(yōu)化算法等[5-7]，使其能適應復雜的導航條件。

[1]梁坤,施滸立,寧春林.室內(nèi)環(huán)境中的GPS信號特性分析[J].天文研究與技術(shù),2008,5(1):30-36

[2]謝鋼. GPS原理與接收機設計[M].北京：電子工業(yè)出版社，2009

[3]魯郁.GPS全球定位接收機——原理與軟件實現(xiàn)[M].北京：電子工業(yè)出版社，2009

[4]祁芳.卡爾曼濾波算法在GPS非差相位精密單點定位中的應用研究[D].武漢：武漢大學，2003

[5]雷禮平.GPS動態(tài)卡爾曼濾波算法研究[D].成都：電子科技大學，2003

[6]鄭利龍. 復雜環(huán)境下GPS信號參數(shù)估計與定位方法研究[D].北京：清華大學，2004

[7]胡國榮,歐吉坤. 改進的高動態(tài)GPS定位自適應卡爾曼濾波方法[J].測繪學報,1999(4): 290-294