王 漫，王江峰，閻哲泉，馬少林，戴義平

（1.西安交通大學(xué) 葉輪機(jī)械研究所，西安710049；2.東方汽輪機(jī)有限公司，德陽618201）

隨著有機(jī)朗肯循環(huán)發(fā)電系統(tǒng)在低溫?zé)嵩矗?-2］（工業(yè)余熱、太陽能、地?zé)崮艿龋┗厥绽弥械膹V泛應(yīng)用，在大量理論分析和試驗(yàn)研究的基礎(chǔ)上，如何實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的最優(yōu)化設(shè)計(jì)逐漸成為重要的研究課題.大部分優(yōu)化研究?jī)H從熱力學(xué)角度［3-4］或經(jīng)濟(jì)學(xué)角度［5-6］等單方面進(jìn)行考慮，獲得系統(tǒng)達(dá)到最佳熱力學(xué)性能或經(jīng)濟(jì)性能時(shí)的熱力參數(shù).另外，又有學(xué)者［7-9］在對(duì)系統(tǒng)熱力性能進(jìn)行優(yōu)化的同時(shí)，從經(jīng)濟(jì)性、環(huán)境友好性等方面對(duì)有機(jī)朗肯循環(huán)優(yōu)化問題進(jìn)行了討論，但均以單目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化.在實(shí)際系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，單目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)往往不能滿足設(shè)計(jì)要求，系統(tǒng)熱力性能的提高往往導(dǎo)致經(jīng)濟(jì)性變差，因此需要綜合考慮多種因素，對(duì)有機(jī)朗肯循環(huán)進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì).目前，針對(duì)有機(jī)朗肯循環(huán)系統(tǒng)進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化的研究較少，因此開展這方面的研究工作具有重要的學(xué)術(shù)價(jià)值和工程應(yīng)用價(jià)值.

1 多目標(biāo)優(yōu)化問題

在系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，往往存在多個(gè)設(shè)計(jì)目標(biāo)，而這些設(shè)計(jì)目標(biāo)有時(shí)會(huì)相互沖突，因此需要找到最佳設(shè)計(jì)參數(shù)以同時(shí)滿足相互沖突的多個(gè)目標(biāo)，這就是多目標(biāo)優(yōu)化問題.一般，對(duì)于具有n個(gè)決策變量、m個(gè)目標(biāo)函數(shù)的多目標(biāo)優(yōu)化問題，可以描述為：

約束條件如下：

在多目標(biāo)優(yōu)化問題中，大多情況下，各個(gè)優(yōu)化目標(biāo)相互沖突和相互制約，某個(gè)目標(biāo)性能的改善可能會(huì)導(dǎo)致其他目標(biāo)性能的下降，同時(shí)使所有目標(biāo)都達(dá)到最優(yōu)是不可能實(shí)現(xiàn)的，只能在各個(gè)目標(biāo)之間進(jìn)行妥協(xié)折中和協(xié)調(diào)權(quán)衡，使所有的目標(biāo)函數(shù)盡可能達(dá)到最優(yōu).因此，對(duì)于多目標(biāo)優(yōu)化問題，其最優(yōu)解不是一個(gè)單獨(dú)的最優(yōu)解，而是在給定約束條件下的Pareto最優(yōu)解集.多目標(biāo)優(yōu)化就是通過多目標(biāo)優(yōu)化方法獲得問題的Pareto最優(yōu)解集，并且根據(jù)實(shí)際條件和決策者偏好，從Pareto最優(yōu)解集中選擇一些Pareto最優(yōu)解.

在給定余熱量條件下，從熱力學(xué)角度來講，希望系統(tǒng)的凈輸出功率最大，系統(tǒng)的熱力性能最好，而從經(jīng)濟(jì)性角度來講，希望系統(tǒng)的投資費(fèi)用和運(yùn)行費(fèi)用最小，回收周期最短.因此，在對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)，需要對(duì)多目標(biāo)優(yōu)化參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，保證系統(tǒng)熱力性和經(jīng)濟(jì)性都能達(dá)到最優(yōu).

2 多目標(biāo)優(yōu)化算法

非支配解排序遺傳算法（NSGA-II）是迄今為止應(yīng)用最廣泛的多目標(biāo)優(yōu)化算法之一，具有以下優(yōu)點(diǎn)：可以降低計(jì)算復(fù)雜度；提出了擁擠距離的概念，采用擁擠距離比較算子進(jìn)行選擇，保證個(gè)體的多樣性，防止過早收斂；引入精英保留機(jī)制，經(jīng)過選擇后參加繁殖的個(gè)體所產(chǎn)生的后代與其父代個(gè)體共同競(jìng)爭(zhēng)來產(chǎn)生下一代種群，因此有利于保持優(yōu)良的個(gè)體，提高種群的整體進(jìn)化水平.

NSGA-II的計(jì)算過程［10］如下：（1）隨機(jī)產(chǎn)生初始種群P0，種群規(guī)模為N，對(duì)初始種群采用二元錦標(biāo)賽選擇，通過交叉和變異操作，產(chǎn)生子代種群Q0；（2）將父代種群和子代種群結(jié)合為新的種群Rt，其規(guī)模為2N；（3）對(duì)種群Rt進(jìn)行非支配排序，將其分為不同的非支配等級(jí)（非支配前端）F1、F2、…，等級(jí)越高，距離最優(yōu)解越遠(yuǎn)；（4）新的種群由不同非支配前端的個(gè)體來填充，依次按照F1、F2、…的順序來填充，由于種群規(guī)模為N，不可能所有非支配等級(jí)的個(gè)體均被填充到新的種群.考慮到最后一個(gè)非支配前端中的個(gè)體多于種群中剩下的位置，因此需要對(duì)同一非支配等級(jí)中的個(gè)體進(jìn)行選擇，按照擁擠距離的大小進(jìn)行排序，選擇擁擠距離大的填充種群中剩下的位置，最終形成新的種群Pt＋1；（5）對(duì)種群Pt＋1執(zhí)行交叉、變異，形成種群Qt＋1；（6）如果終止條件成立則結(jié)束，否則，跳轉(zhuǎn)到步驟（2）.算法的主要過程如圖1所示.

圖1 NSGA-II算法的主要過程Fig.1 Optimization procedure of the NSGA-II algorithm

3 有機(jī)工質(zhì)低溫余熱發(fā)電系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

3.1 熱力學(xué)模型

有機(jī)工質(zhì)低溫余熱發(fā)電系統(tǒng)如圖2所示.有機(jī)工質(zhì)經(jīng)過增壓泵升壓后，進(jìn)入余熱鍋爐吸收余熱熱源的熱量，產(chǎn)生高溫高壓蒸汽，進(jìn)入透平膨脹做功，透平排氣進(jìn)入冷凝器被冷卻水冷凝成液態(tài).為了簡(jiǎn)化系統(tǒng)，忽略次要因素建立有機(jī)工質(zhì)低溫余熱發(fā)電系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)行如下假設(shè)：系統(tǒng)處于穩(wěn)定流動(dòng)狀態(tài)；系統(tǒng)各個(gè)部件和外界環(huán)境沒有熱交換，忽略余熱鍋爐、冷凝器、回?zé)崞骱瓦B接管路的壓力損失；冷凝器出口有機(jī)工質(zhì)為飽和液體；透平效率和泵效率為給定值.

圖2 有機(jī)工質(zhì)低溫余熱發(fā)電系統(tǒng)示意圖Fig.2 Schematic diagram of an ORC power generation system with low-temperature waste-heat sources

余熱鍋爐

透平

冷凝器

增壓泵

余熱鍋爐和冷凝器采用板式換熱器，其傳熱方程式為

對(duì)數(shù)平均溫差為

傳熱系數(shù)為

3.2 經(jīng)濟(jì)模型

有機(jī)工質(zhì)低溫余熱發(fā)電系統(tǒng)的總投資費(fèi)用由系統(tǒng)中各個(gè)部件的投資費(fèi)用相加組成.總投資費(fèi)用為

冷凝器投資費(fèi)用為

余熱鍋爐投資費(fèi)用為

增壓泵投資費(fèi)用為

有機(jī)工質(zhì)投資費(fèi)用為

式中：K0＝8.374；B1，CND、B2，CND、B1，HRVG、B2，HRVG、B1，PUMP和B2，PUMP均為常數(shù)；FM，CND、FM，HRVG和FM，PUMP為不銹鋼的材料因子；FP，CND、FP，HRVG和FP，PUMP為壓力因子；FS為考慮到材料、管路、控制、運(yùn)輸和人力等其他因素的附加因子；FMP為材料和壓力復(fù)合因子.

各部件的材料因子分別由下列各式給出：

式 中：C1，CND、C2，CND、C3，CND、C1，HRVG、C2，HRVG、C3，HRVG、C1，PUMP、C2，PUMP和C3，PUMP均 為 常 數(shù)；pCND、pHRVG和pPUMP分別為冷凝器、余熱鍋爐和增壓泵的設(shè)計(jì)運(yùn)行壓力.

C0CND和C0HRVG分別為環(huán)境壓力下、材料為碳鋼的冷凝器和余熱鍋爐的設(shè)備購買費(fèi)用，萬元；C0PUMP和C0TBN分別為增壓泵和透平的基本費(fèi)用，萬元.C0CND、C0HRVG、C0PUMP和C0TBN分別由以下公式給出：

式 中：K1，CND、K2，CND、K3，CND、K1，HRVG、K2，HRVG、K3，HRVG、K1，PUMP、K2，PUMP、K3，PUMP、K1，TBN、K2，TBN和K3，TBN均為常數(shù)；ACND和AHRVG分別為冷凝器和余熱鍋爐的換熱面積，m2；WPUMP為增壓泵消耗功率，kW；WTBN為透平輸出功率，kW.

上述公式中常數(shù)的取值詳見參考文獻(xiàn)［11］.

4 有機(jī)工質(zhì)低溫余熱發(fā)電系統(tǒng)多目標(biāo)優(yōu)化

4.1 目標(biāo)函數(shù)、決策變量和約束條件

對(duì)于有機(jī)工質(zhì)低溫余熱發(fā)電系統(tǒng)，選取2個(gè)目標(biāo)函數(shù)，分別為系統(tǒng)效率和總投資費(fèi)用，要求系統(tǒng)效率最大，而系統(tǒng)總投資費(fèi)用最小，如下式所示：

選取影響系統(tǒng)凈輸出功率和投資費(fèi)用的5個(gè)關(guān)鍵參數(shù)作為決策變量，分別為透平進(jìn)口壓力、透平進(jìn)口溫度、節(jié)點(diǎn)溫差、接近點(diǎn)溫差和換熱器端差，如式（26）中所示.多目標(biāo)優(yōu)化的約束條件為：（1）余熱側(cè)蒸發(fā)器出口溫度不能高于余熱鍋爐進(jìn)口溫度；（2）透平進(jìn)口溫度為過熱狀態(tài)或者飽和狀態(tài)；（3）有機(jī)工質(zhì)低溫余熱發(fā)電系統(tǒng)多目標(biāo)參數(shù)優(yōu)化的相關(guān)計(jì)算條件及所選決策變量的取值范圍分別見表1和表2.

表1 有機(jī)工質(zhì)低溫余熱發(fā)電系統(tǒng)的計(jì)算條件Tab.1 Calculation conditions of the ORC power generation system

4.2 多目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果

圖3給出了采用NSGA-II算法進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化后不同工質(zhì)系統(tǒng)的最優(yōu)解（Pareto最優(yōu)前沿）的比較.由圖3可以看出，對(duì)相同的效率，采用R245fa的低溫余熱發(fā)電系統(tǒng)的總投資費(fèi)用比采用R123和異丁烷的低，因此，在不考慮有機(jī)工質(zhì)費(fèi)用的條件下，采用R245fa的低溫余熱發(fā)電系統(tǒng)綜合性能最好.

表2 決策變量的取值范圍Tab.2 Data range of decision variables

圖3 采用不同工質(zhì)系統(tǒng)的最優(yōu)解（Pareto最優(yōu)前沿）比較Fig.3 Comparison of Pareto optimal solutions among different working fluids

對(duì)采用R245fa作為工質(zhì)的余熱發(fā)電系統(tǒng)最優(yōu)解的決策變量分布進(jìn)行分析.圖4給出了Pareto最優(yōu)前沿中透平進(jìn)口壓力在取值范圍內(nèi)的分布.由圖4可以看出，最優(yōu)解的透平進(jìn)口壓力集中在1.1～1.4 MPa，說明透平進(jìn)口壓力不能太低，太低會(huì)影響有機(jī)工質(zhì)余熱發(fā)電系統(tǒng)的綜合性能.圖5給出了Pareto最優(yōu)前沿中透平進(jìn)口溫度在取值范圍內(nèi)的分布.由圖5可以看出，最優(yōu)解的透平進(jìn)口溫度集中在93～128 ℃.

圖4 Pareto最優(yōu)前沿中透平進(jìn)口壓力在取值范圍內(nèi)的分布Fig.4 Distribution of turbine inlet pressure within data range in the Pareto frontier

圖5 Pareto最優(yōu)前沿中透平進(jìn)口溫度在取值范圍內(nèi)的分布Fig.5 Distribution of turbine inlet temperature within data range in the Pareto frontier

圖6、圖7和圖8分別給出了Pareto最優(yōu)前沿中余熱鍋爐節(jié)點(diǎn)溫差、接近點(diǎn)溫差和冷凝器端差在相應(yīng)取值范圍內(nèi)的分布.由圖6～圖8可以看出，最優(yōu)解的余熱鍋爐節(jié)點(diǎn)溫差、接近點(diǎn)溫差和冷凝器端差基本覆蓋整個(gè)取值范圍.

圖6 Pareto最優(yōu)前沿中節(jié)點(diǎn)溫差在取值范圍內(nèi)的分布Fig.6 Distribution of pinch temperature difference within data range in the Pareto frontier

圖7 Pareto最優(yōu)前沿中接近點(diǎn)溫差在取值范圍內(nèi)的分布Fig.7 Distribution of approach temperature difference within data range in the Pareto frontier

圖8 Pareto最優(yōu)前沿中冷凝器端差在取值范圍內(nèi)的分布Fig.8 Distribution of condenser temperature difference within data range in the Pareto frontier

在多目標(biāo)最優(yōu)解集中如何選擇一個(gè)合適的解來滿足優(yōu)化設(shè)計(jì)的要求，是多目標(biāo)優(yōu)化必須解決的一個(gè)問題.對(duì)于有機(jī)工質(zhì)余熱發(fā)電系統(tǒng)多目標(biāo)優(yōu)化而言，就是在搜索空間所得到的所有Pareto最優(yōu)解集中選出一個(gè)比較合適的解，使有機(jī)工質(zhì)余熱發(fā)電系統(tǒng)的綜合性能最好.選出最優(yōu)解是一個(gè)決策過程，實(shí)際上，這個(gè)決策過程主要依賴于工程經(jīng)驗(yàn)和決策者的偏好.本文中假設(shè)一個(gè)理想點(diǎn)，在這個(gè)點(diǎn)上，每一個(gè)單目標(biāo)函數(shù)各自達(dá)到最優(yōu)值，2個(gè)目標(biāo)函數(shù)不可能同時(shí)達(dá)到最優(yōu)值，如圖9中D點(diǎn)所示.可以看出，在D點(diǎn)，以系統(tǒng)的總投資費(fèi)用為單目標(biāo)函數(shù)，采用R245fa的有機(jī)工質(zhì)余熱發(fā)電系統(tǒng)的總投資費(fèi)用最低，以系統(tǒng)的效率為單目標(biāo)函數(shù)，系統(tǒng)的效率最大.然后，從理想點(diǎn)（D點(diǎn)）作到Pareto最優(yōu)前沿的最短距離獲得C點(diǎn)，這個(gè)C點(diǎn)既在Pareto最優(yōu)前沿上，又是使系統(tǒng)的效率和總投資費(fèi)用都達(dá)到最佳的點(diǎn).

圖9 Pareto最優(yōu)前沿中最優(yōu)解的選擇Fig.9 Selection of optimal solution from the Pareto frontier

表3給出了Pareto最優(yōu)前沿的最優(yōu)解的目標(biāo)值，其中C點(diǎn)為最終找到的最優(yōu)解，其系統(tǒng)的效率為18.37%，總投資費(fèi)用為455.84萬元.表4給出了Pareto最優(yōu)前沿的最優(yōu)解的決策變量取值，即系統(tǒng)多目標(biāo)達(dá)到最優(yōu)時(shí)熱力參數(shù)的取值組合.

表3 Pareto最優(yōu)前沿的最優(yōu)解的目標(biāo)值Tab.3 Objective values of the optimal solutions in the Pareto frontier

表4 Pareto最優(yōu)前沿的最優(yōu)解的決策變量取值Tab.4 Data setting for decision variables of optimal solutions in the Pareto frontier

5 結(jié) 論

在建立有機(jī)工質(zhì)低溫余熱發(fā)電系統(tǒng)的熱力學(xué)模型和經(jīng)濟(jì)模型的基礎(chǔ)上，為了使有機(jī)工質(zhì)低溫余熱發(fā)電系統(tǒng)的熱力性能和經(jīng)濟(jì)性都達(dá)到最佳，以系統(tǒng)效率最大化和系統(tǒng)總投資費(fèi)用最小化為目標(biāo)函數(shù)，采用NSGA-II算法對(duì)有機(jī)工質(zhì)低溫余熱發(fā)電系統(tǒng)進(jìn)行了多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)，獲得采用R123、R245fa和異丁烷作為工質(zhì)的Pareto最優(yōu)解集.通過比較可知，采用R245fa比其他2種工質(zhì)的綜合性能更好.對(duì)于采用R245fa的Pareto最優(yōu)解集，通過理想點(diǎn)輔助方法選擇出合適的多目標(biāo)優(yōu)化解，最終系統(tǒng)效率為18.37%，總投資費(fèi)用為455.84萬元.

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