程東權(quán)，李 儼，桂敬玲

（西北工業(yè)大學(xué) 自動化學(xué)院，陜西 西安 710129）

在設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)時(shí)往往需要考慮系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定和魯棒性能，保代價(jià)控制律（Guaranteed Cost Control Law）不僅能保證不確定閉環(huán)系統(tǒng)的魯棒漸進(jìn)穩(wěn)定還能使得不確定閉環(huán)系統(tǒng)具有一定的魯棒性能，是一種可行的魯棒控制器設(shè)計(jì)方法[1-4]。

文中主要針對不確定時(shí)滯系統(tǒng)的魯棒保代價(jià)問題進(jìn)行分析，考慮狀態(tài)反饋控制律的設(shè)計(jì)問題。基于線性矩陣不等式處理方法[5-6]，給出滿足特定條件的保性能控制律的存在條件及設(shè)計(jì)方法。

1 問題描述

考慮如下狀態(tài)方程描述的線性不確定時(shí)滯系統(tǒng)：

其中，x（t）∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)，u（t）∈Rk為系統(tǒng)控制輸入，z（t）∈Rp為被控輸出，ω（t）∈Rq為外部干擾，有ω（t）∈L2[0，∞]。為向量值連續(xù)的初始值。d為系統(tǒng)延時(shí)時(shí)間。約定不確定矩陣ΔA、ΔAd、ΔB且具有如下匹配形式

其中G、Ha、Hd、Hb為適當(dāng)維數(shù)的實(shí)矩陣，E為未知的時(shí)變矩陣，滿足ETE≤I。

取性能指標(biāo)函數(shù)：

其中，Q、R為適當(dāng)維數(shù)的對稱正定矩陣。

采用狀態(tài)反饋：u（t）=Kx（t），考慮執(zhí)行器可能發(fā)生故障，如斷電，失效等[7-8]，定義ρ=diag（ρ1，ρ2，…，ρk），其中ρi表示第i個(gè)執(zhí)行器的故障情況，記ρi=0，斷電；ρi∈（0，1），失效；ρi=1，正常。則有

則相應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)記為：

則性能指標(biāo)函數(shù)

2 H∞保代價(jià)控制器設(shè)計(jì)

考慮閉環(huán)系統(tǒng)（5）具有：1）H∞性能；2）性能指標(biāo)J有上界。給出使系統(tǒng)滿足上述要求的狀態(tài)反饋控制器存在的條件：

3 數(shù)值例子

通過求解式（15）表示的凸優(yōu)化問題確定滿足式（7）的H∞保代價(jià)控制器。

圖1 干擾條件下系統(tǒng)狀態(tài)與輸出曲線Fig.1 Responds of system states&outputs with disturb

圖2 干擾條件下系統(tǒng)狀態(tài)與輸出曲線Fig.2 Responds of system states&outputs with disturb

針對不同的執(zhí)行器故障情況，設(shè)計(jì)H∞的魯棒保代價(jià)控制律都能保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，且使系統(tǒng)具有一定的干擾抑制能力。

4 結(jié) 論

研究了一類參數(shù)不確定時(shí)滯系統(tǒng)的H∞保代價(jià)控制問題，通過Lyapunov穩(wěn)定性理論分析推導(dǎo)出使系統(tǒng)H∞保代價(jià)控制器存在的充分條件，并給出了利于計(jì)算的相應(yīng)LMI形式。設(shè)計(jì)的控制器能夠保證系統(tǒng)的魯棒容錯(cuò)性，且使系統(tǒng)存在保成本上界也具有指定H∞范數(shù)的干擾抑制能力。最后給出的數(shù)值例子說明此方法的有效性。

[1]賈英民.魯棒H∞控制[M].北京：科學(xué)出版社，2007.

[2]俞立.魯棒控制－線性矩陣不等式處理方法[M].北京：清華大學(xué)出版社，2002.

[3]YANG Guang-hong.Reliable H∞control of linear systems with adaptive mechanism[J].IEEE Transactions on Automatic Control，2010，55（1）：242－247.

[4]Adams R J，Buffington J M，Sparks A G，et al.Robust multivariable flight control[C]//London，U.K.：Spring-Verlag，1994.

[5]王德進(jìn).線性不確定時(shí)滯系統(tǒng)魯棒保代價(jià)/H∞混合控制[J].黑龍江大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào)，2003，20（4）：32－34.WANG De-jin.Robust guaranteed cost control/H∞control for linear uncertain rime-delay systems[J].Natural Science Journal of Heilongjiang University，2003，20（4）：32－34.

[6]滕青芳.不確定時(shí)滯系統(tǒng)的保代價(jià)H∞可靠控制[J].計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用，2010，46（12）：245－248.TENGQing-fang.Guaranteed cost H∞control for linear uncertain time-delay systems[J].Computer Engineering and Applications，2010，46（12）：245－248.

[7]Yang G H，Wang J L，Soh Y C.Reliable controller design for linear systems with sensor failures[J].Conference on Decision&Control，1998.

[8]JIN Xiao-zheng.Robust adaptive faul-tolerant compensation controlwith actuator failures and bounded disturbances[J].Acta Automatica Sinica，2009，3（35）：305－309.