高峰

規(guī)律探究型題是中考試題中的常見題型，此類題型不僅能培養(yǎng)同學(xué)們的分析問題、解決問題的能力，也有利于培養(yǎng)同學(xué)們的創(chuàng)新能力.解決這類問題時(shí)，同學(xué)們可以采用列舉法，在觀察的同時(shí)用筆在稿紙上列舉幾例，一般列出3到4個(gè)例子后，規(guī)律就會呈現(xiàn)出來.下面筆者就采用列舉法解決坐標(biāo)系中的規(guī)律探究題，供同學(xué)們參考.

一、點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律

例1 一只跳蚤在第一象限及x軸、y軸上跳動，在第一秒鐘，它從原點(diǎn)跳動到（0，1），然后接著按圖1中箭頭所示方向跳動，即（0，0）→（0，1） →（1，1） →（1，0）→…，且每秒跳動一個(gè)單位，那么第35秒時(shí)跳蚤所在位置的坐標(biāo)是（ ）.

圖1

A.（4，0） B.（5，0）

C.（0，5） D.（5，5）

解析：解答本題需要探索跳蚤跳動的路程和跳動的方向存在怎樣的規(guī)律.把原點(diǎn)看作y軸上的點(diǎn).

從y軸上的（0，0）到x軸上（1，0）處跳過的路程為2×1+1；

從x軸上的（1，0）到y(tǒng)軸上（0，2）處跳過的路程為2×2+1；

從y軸上的（0，2）到x軸上（3，0）處跳過的路程為2×3+1；

……

因?yàn)樘槊棵胩粋€(gè)單位，且35=（2×1+1）+（2×2+1）+（2×3+1）+（2×4+1）+（2×5+1），所以第35秒時(shí)，跳蚤是從y軸上的（0，4）到x軸上（5，0）.故選B.

也可考慮跳蚤從原點(diǎn)出發(fā)跳到正方形在第一象限內(nèi)的頂點(diǎn)（m，m）處時(shí)跳過的路程：

跳到（1，1）處時(shí)跳過的路程為2=1×2；

跳到（2，2）處時(shí)跳過的路程為6=2×3；

跳到（3，3）處時(shí)跳過的路程為12=3×4；

……

由此可猜想：跳蚤從原點(diǎn)跳到（m，m）處時(shí)跳過的路程為m（m+1）.

我們再來看跳蚤跳到正方形在第一象限內(nèi)的頂點(diǎn)（m，m）處后的跳動的方向，由圖可知：

當(dāng)m為奇數(shù)時(shí)，跳蚤豎直向下向x軸跳動；當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)，跳蚤水平向左向y軸跳動.

因?yàn)?0=5×6，所以跳蚤從原點(diǎn)出發(fā)跳到（5，5）處時(shí)跳過的路程30. 因?yàn)閙=5為奇數(shù)，所以跳蚤跳到（5，5）處時(shí)，還需豎直向下向x軸跳動，因?yàn)樘?秒跳一個(gè)單位，所以第35秒跳過的路程是35個(gè)單位，因此跳蚤還需豎直向下跳5個(gè)單位，顯然此時(shí)跳蚤跳到x軸上的點(diǎn)（5，0）處. 故選B.

二、圖形的運(yùn)動規(guī)律

例2 如圖2，將邊長為1的正三角形OAP沿x軸正方向連續(xù)翻轉(zhuǎn)2013次，點(diǎn)P依次落在點(diǎn)P1，P2，P3，…，P2013的位置，則點(diǎn)P2013的橫坐標(biāo)為 .

圖2

解析：觀察圖2整理如下：

P1、P2的橫坐標(biāo)為1，P3的橫坐標(biāo)為2.5，P4、P5的橫坐標(biāo)為4，P6的橫坐標(biāo)為5.5，依此類推，P7、P8的橫坐標(biāo)為7，P9的橫坐標(biāo)為8.5，P10、P11的橫坐標(biāo)為10，….

從P1開始，每轉(zhuǎn)3次為一組，每組前兩次的橫坐標(biāo)相等且等于每一組首次的旋轉(zhuǎn)次數(shù)，而第三次數(shù)的橫坐標(biāo)是它的次數(shù)減去0.5.因?yàn)?013÷3=3×671，故翻轉(zhuǎn)到第2013次時(shí)，2013是第671組的末位，所以P2013的橫坐標(biāo)為2011+1.5=2012.5.

三、覆蓋規(guī)律

例3 （2012年北京）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，我們把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn).已知點(diǎn)A（0，4），點(diǎn)B 是x軸正半軸上的整點(diǎn)，記△AOB內(nèi)部（不包括邊界）的整點(diǎn)個(gè)數(shù)為m.當(dāng)m=3時(shí)，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的所有可能值是 ；當(dāng)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4n（n為正整數(shù)）時(shí)，m = （用含n的代數(shù)式表示）.

圖3

解析：當(dāng)B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3或者4時(shí)，如圖4所示，只有3個(gè)整點(diǎn).

圖4

圖5

圖6

當(dāng)n=1時(shí)，即B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，如圖4，此時(shí)有3個(gè)整點(diǎn)；當(dāng)n=2時(shí)，即B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為8，如圖5，此時(shí)有9個(gè)整點(diǎn)；當(dāng)n=3時(shí)，即B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為12，如圖6，此時(shí)有15個(gè)整點(diǎn).根據(jù)上面的規(guī)律，即可得出m=6n-3.故填3或4，6n-3.

練習(xí)：

1.在直角坐標(biāo)系中，我們把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn).且規(guī)定，正方形內(nèi)部的整點(diǎn)不包含邊界上的點(diǎn).觀察如圖7所示的中心在原點(diǎn)的正方形：邊長為1的正方形內(nèi)部有1個(gè)整點(diǎn)，邊長為2的正方形內(nèi)部有1個(gè)整點(diǎn).邊長為3的正方形內(nèi)部有9個(gè)整點(diǎn)……則邊長為8的正方形內(nèi)部的整點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（ ）.

圖7

A.64 B.49 C.36 D.25

2. 如圖8，將邊長為1的正方形OAPB沿 x軸正方向連續(xù)翻轉(zhuǎn)2006次，點(diǎn)P依次落在點(diǎn)P1，P2，P3，P4，…，P2006的位置，則P2006的橫坐標(biāo)x2006= .

圖8

3. 如圖9，在平面直角坐標(biāo)系中，橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn).觀察圖中每一個(gè)正方形四條邊上的整點(diǎn)的個(gè)數(shù)，請你猜測由里向外第20個(gè)正方形四條邊上的整點(diǎn)的個(gè)數(shù)共有 個(gè).

圖9

4. 如圖10，已知Al（1，0）、A2（1，1）、A3（-1，1）、A4（-1，-1）、 A5（2，-1）、….則點(diǎn)A2007的坐標(biāo)為 .

圖10

5.在平面直角坐標(biāo)系中，一螞蟻從原點(diǎn)O出發(fā)，按向上、向右、向下、向右的方向依次不斷移動，每次移動1個(gè)單位.其行走路線如圖11所示.

圖11

（1）填寫下列各點(diǎn)的坐標(biāo)：A4（ ， ），A8（ ， ），A12（ ， ）；

（2）寫出點(diǎn)A4n的坐標(biāo)（n是正整數(shù)）；

（3）指出螞蟻從點(diǎn)A100到點(diǎn)A101的移動方向.

參考答案：

1.通過畫圖觀察可知邊長為4的正方形內(nèi)部也有9（9=32）個(gè)整點(diǎn)，而邊長為5的正方形內(nèi)部有25個(gè)整點(diǎn)，邊長為6的正方形內(nèi)部也有25（25=52）個(gè)整點(diǎn)，所以邊長為7和8的正方形內(nèi)部的整點(diǎn)的個(gè)數(shù)為49（49=72），故選B.

2. 觀察圖形整理如下：

P1的橫坐標(biāo)為1，P2的橫坐標(biāo)為2，P3的橫坐標(biāo)為2，P6的橫坐標(biāo)為6， 6=2+4×1.

P10的橫坐標(biāo)為10，10=2+4×2.

P14的橫坐標(biāo)為14，14=2+4×3.

……

從第3次旋轉(zhuǎn)開始，每轉(zhuǎn)4次，其橫坐標(biāo)等于其旋轉(zhuǎn)次數(shù).

∵2006-2=2004是4的倍數(shù)，故翻轉(zhuǎn)第2006次時(shí)，P2006的橫坐標(biāo)為2006.

3.主要觀察邊上整數(shù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)的規(guī)律即可.

列舉整理如下：

第1個(gè)正方形：有4個(gè)整點(diǎn)， 4=4×1；

第2個(gè)正方形：有8個(gè)整點(diǎn)，8=4×2；

第3個(gè)正方形：有12個(gè)整點(diǎn)，12=4×3；

……

第n個(gè)正方形：有4n個(gè)整點(diǎn)，

∴第20個(gè)正方形四條邊上的整點(diǎn)個(gè)數(shù)為4 ×20=80個(gè).

4. 因?yàn)橐蟮氖屈c(diǎn)A2007的坐標(biāo)，即A的下標(biāo)是奇數(shù)的點(diǎn)的坐標(biāo). 觀察圖形，可從A3開始探尋規(guī)律. 又因?yàn)橛兴膫€(gè)象限，所以考慮4個(gè)一組進(jìn)行探究.

A3（-1，1） ，A7（-2，2），觀察坐標(biāo)系可知：A11（-3，3），A15（-4，4），其橫、縱坐標(biāo)互為相反數(shù).

把A3、A7、A11、A15右下角的數(shù)字提出來，可整理為：

3=3+4×0； A3（-1，1）

7=3+4×1； A7（-2，2）

11=3+4×2； A11（-3，3）

15=3+4×3； A15（-4，4）

…… ……

因?yàn)?007=3+4×501， 所以 A2007（-502，502），所以A2007的坐標(biāo)為（-502，502）.

5.（1）解答本小題是為了探尋規(guī)律，結(jié)合圖形就容易得到：A4（2，0）； A8（4，0）； A12（6，0）；

（2）第（1）小題的4個(gè)點(diǎn)的下標(biāo)就是4n，而觀察它們的坐標(biāo)可以發(fā)現(xiàn)，它們的橫坐標(biāo)是2n，縱坐標(biāo)為0，所以猜想A4n（2n，0）；

（3）觀察圖形，可知螞蟻?zhàn)叩姆较蚴前碅1、A2、A3、A4，4次一循環(huán)，因?yàn)?00=4×25，A100與點(diǎn)A4的移動方向一致，所以螞蟻從點(diǎn)A100到點(diǎn)A101的移動方向是向上.