薛國強(qiáng)，張 琳，周 燕

（1.常熟理工學(xué)院 管理學(xué)院，江蘇 常熟 215500；2.常熟中法水務(wù)有限公司，江蘇 常熟 215500；3.常熟市住房和城鄉(xiāng)建設(shè)局，江蘇 常熟 215500）

樁基振動理論是樁基抗震、防震設(shè)計(jì)以及各種動力測試方法的理論依據(jù).近年來國內(nèi)外對樁的振動研究取得了豐碩的成果，其進(jìn)展主要表現(xiàn)在對樁土相互作用問題的處理上.從早期相對簡單的Voigt體模型[1-3]和平面應(yīng)變模型[4-6]到胡昌斌等[7]提出的考慮樁周土豎向波動模型，再到王奎華等[8]提出的同時考慮土體徑向和豎向位移的真三維土體波動模型，這些工作有力地促進(jìn)了樁基振動理論的發(fā)展，但這些研究工作還都是把樁周土體視為均質(zhì)或縱向分層均質(zhì)線性彈性材料.而在樁的施工過程中，由于擠土、松弛效應(yīng)及其他因素的影響，在距離樁中心不同范圍內(nèi)，土的性質(zhì)、參數(shù)會發(fā)生不同程度的改變，也就是說在樁的直徑方向，土體性質(zhì)也會存在不均勻性，周鐵橋、楊冬英[9-10]等研究了土的徑向不均勻性對樁振動的影響.但由于數(shù)學(xué)上的求解困難，周鐵橋等只考慮了土體分為兩個圈層的情況，其劃分太粗略，還難以反映樁周土徑向非均質(zhì)的實(shí)際情況，楊冬英雖然進(jìn)行了任意圈層的計(jì)算，但計(jì)算過程太長，不利于工程應(yīng)用.本文在考慮沿徑向參數(shù)改變（主要是密度和剪切波速的改變），忽略土體徑向位移的情況下，將樁周土分為三圈層進(jìn)行了樁的振動問題研究.

1 定解問題的建立

1.1 計(jì)算簡圖

本文在土體為三維軸對稱條件下，考慮土體豎向位移、忽略徑向位移的情況下，對多圈層土中的彈性支承樁的縱向振動問題進(jìn)行研究，其基本模型如圖1所示.樁頂作用諧和激振力Feiωt，樁周土對樁身的側(cè)壁切應(yīng)力（摩阻力）為 f(r1,z)eiωt，樁沿側(cè)壁對土體的反力為 p(r1,z)eiωt，其中，F(xiàn)、f(r1,z)、p(r1,z)及 ω分別是上述三種力的幅值和圓頻率.樁長、樁徑、截面積、密度、樁底彈性支承常數(shù)分別為H、r1、A、ρp、kb，三圈土體厚度、密度、土底彈性支承常數(shù)分別為 H 、ρ1、ρ2、ρ3、ks1、ks2、ks3.

1.2 假設(shè)條件

（1）每一圈層土體均各自為均質(zhì)、各向同性線性粘彈性體，土體材料阻尼采用與頻率無關(guān)的滯回阻尼，土層底部為彈性支承，最外圈土體徑向無限延伸，土體僅有豎向位移，徑向位移可忽略；

（2）樁為完全彈性、豎直、圓形等截面體，樁底部支承為彈性支承；

（3）樁土接觸面兩側(cè)位移、應(yīng)力連續(xù)，各圈層土的接觸面兩側(cè)位移、應(yīng)力連續(xù)，樁土系統(tǒng)為小變形諧和振動.

圖1 樁土系統(tǒng)動力模型

1.3 定解問題

1.3.1 動力平衡方程

（1）土體動力平衡方程

設(shè)第一圈土（靠近樁的為第一圈土）、第二圈土及第三圈土中任何一點(diǎn)的位移為w1(r,z,t)、w2(r,z,t)、w3(r,z,t)，建立軸對稱粘彈性土層縱向振動動力平衡方程如下：

由于樁土系統(tǒng)發(fā)生諧和振動，則位移表示為：wj(r,z,t)=wj(r,z)eiωt,代入方程（1）得到

其中：λj為拉梅常數(shù)、Gj為各自圈層土的剪切模量，λj'、Gj'為拉梅常數(shù)和剪切模量相關(guān)的粘性系數(shù)，分別為土縱向和剪切波速，μ為泊松比，Dsj=Gj'Gj和Dvj=λj'λj分別與剪應(yīng)變和體積有關(guān)的滯回阻尼比，與振頻無關(guān).

（2）樁的動力平衡方程

設(shè)樁在垂直簡諧荷載作用下樁身質(zhì)點(diǎn)位移為u(z)eiωt，樁的動力平衡方程為

其中

式（4）為樁周土對樁身的側(cè)壁切應(yīng)力，m=ρpA為單位長度樁的質(zhì)量，Ep為樁的楊氏模量.

1.3.2 定解條件

（1）樁周土與樁的接觸界面兩側(cè)應(yīng)力位移連續(xù)條件

p(r1,z)為樁對第一圈土沿側(cè)壁的反作用力.

（2）樁的邊界條件

樁頂

樁底

（3）土體的邊界條件

土層頂面

土層底面

各圈土之間接觸

外圈土無窮遠(yuǎn)處應(yīng)力、位移為0.

2 方程求解

2.1 土體振動問題求解

采用分離變量法求解土體動力平衡問題，對第三圈土進(jìn)行求解.設(shè)w3=R(r)Z(z),代入方程（2）化簡得

方程（13）可分解為兩個常微分方程

I0(q3r)、K0(q3r)為零階第一類、第二類虛宗量Bessel函數(shù).

由無窮遠(yuǎn)處位移應(yīng)力為零推出A3=0；將w3=R(r)Z(z)代入土層邊界條件式（9）得：C3=0；將w3=R(r)Z(z)代入土層邊界條件式（10）得

其中K3=ks3HEs3為土層底部支撐剛度的無量綱參數(shù).

至此，得到外圈土層振動的幅值表達(dá)式為

其中Bn為一系列代定常數(shù).第三圈土對第二圈土的側(cè)壁切應(yīng)力為

K1(q3nr3)是一階第二類虛宗量Bessel函數(shù).

同理可以得到第二圈土體的解

及第二圈土對第三圈土的側(cè)壁切應(yīng)力、第二圈土對第一圈土的側(cè)壁切應(yīng)力

進(jìn)一步可得第一圈土的方程解

及第一圈土對第二圈土的側(cè)壁切應(yīng)力、第一圈土對樁的側(cè)壁切應(yīng)力

根據(jù)第二、三圈土位移、應(yīng)力連續(xù)可得

根據(jù)第一、二圈土位移、應(yīng)力連續(xù)可得

根據(jù)固有函數(shù)cos(h2nz)的正交性：

對于式（27）、（28）方程兩邊分別乘以 cos(h2nz)，然后[0，H]積分，對于式（29）、（30）則乘以 cos(h1nz)，然后[0，H]積分. 最后得

2.2 樁振動問題求解

將公式（26）代入樁振動方程公式（3）

化簡式（35）得

上述方程（36）對應(yīng)的齊次方程的通解為

令方程式（36）的特解為

其中：

利用連續(xù)條件公式（5）得

利用固有函數(shù)cos(h1nz)的正交性（40）得

根據(jù)式（31）、（32）、（33）、（34）、（41）可得 An、Cn、Dn、En、Bn.至此得到樁的位移幅值表達(dá)式

式中：

其中

樁頂位移頻率響應(yīng)函數(shù)（即位移導(dǎo)納函數(shù)）為

其中

樁頂?shù)乃俣阮l率響應(yīng)函數(shù)（即速度導(dǎo)納函數(shù)）為

定義樁頂位移復(fù)剛度（即位移阻抗函數(shù)）

這里k'為樁頂復(fù)剛度（阻抗）無量綱因子根據(jù)傅立葉變換性質(zhì)，由H'v得到單位脈沖激勵的時域響應(yīng)為

式中t'=t/Tc為無量綱時間.由卷積定理可得任意激振力 f(t)作用下樁頂?shù)臅r域響應(yīng)

式中F(iω)是 f(t)的傅立葉變換.

式中

T'=T/Tc為無量綱脈沖寬度因子.

3 與前人解的對比

文獻(xiàn)[7]的解是本文樁周土為均質(zhì)的特殊情況，而文獻(xiàn)[9]的解中兩層土參數(shù)取為一致時即為文獻(xiàn)[7]的解.本文對于各圈土層參數(shù)取為一致時即退化為文獻(xiàn)[7]的解.圖2與圖3顯示了本文解與文獻(xiàn)[7]、文獻(xiàn)[9]相對比的情況.證明了本文解可以退化為文獻(xiàn)[7]、[9]的解，得到的解析結(jié)果是正確的.

圖2 樁頂速度導(dǎo)納曲線

圖3 樁頂反射波曲線

4 結(jié)語

（1）在三維軸對稱條件下，考慮土體沿徑向主要參數(shù)變化，把樁周土分為三圈，在僅考慮土體豎向位移的情況下，建立在垂直簡諧振動情況下彈性支承樁與滯回阻尼土體耦合作用的定解問題，得到了相對嚴(yán)格的樁頂頻域響應(yīng)解析解及時域響應(yīng)半解析解.

（2）與前人成果對比表明，本文成果能退化成樁周土均質(zhì)的情況，以及樁周土分為兩個圈層的情況，證明了本文解的正確性和合理性.

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