楊永偉 ，辛小龍 ，孟彪龍 ，2

1.西北大學(xué) 數(shù)學(xué)系，西安 710127

2.西安科技大學(xué) 理學(xué)院，西安 710054

BCK/BCI-代數(shù)的廣義交軟理想

楊永偉1，辛小龍1，孟彪龍1，2

1.西北大學(xué) 數(shù)學(xué)系，西安 710127

2.西安科技大學(xué) 理學(xué)院，西安 710054

YANG Yongwei,XIN Xiaolong,MENG Biaolong.Generalized intersectional soft ideals of BCK/BCI-algebras.Computer Engineering and Applications,2013,49（18）：29-32.

CNKI出版日期：2013-04-09 http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20130409.1522.005.html

1 引言

邏輯代數(shù)是信息科學(xué)、計算機(jī)科學(xué)等領(lǐng)域推理機(jī)制的代數(shù)基礎(chǔ)，而BCK/BCI-代數(shù)作為一類邏輯代數(shù)由日本學(xué)者Imai和Iséki[1]在1966年提出。胡慶平在文獻(xiàn)[2]概括了1984年前BCI-代數(shù)的研究概貌，并介紹了BCK-代數(shù)理論。Iséki和Tabaka[3]在1976年引入了BCK-代數(shù)理想的概念，文獻(xiàn)[4-5]對BCK/BCI-代數(shù)的理想理論作了進(jìn)一步的研究。由于模糊集理論具有將復(fù)雜代數(shù)系統(tǒng)簡化的作用，Xi[6]將其應(yīng)用到BCK-代數(shù)中并給出BCK-代數(shù)的模糊子代數(shù)、模糊理想等概念。Meng等在文獻(xiàn)[7-8]通過模糊理想以不同的方式誘導(dǎo)出商BCK-代數(shù)，建立了BCK-代數(shù)的模糊同構(gòu)定理。而后，許多學(xué)者在BCK/BCI-代數(shù)的模糊理論方面做了大量的工作[9-11]。軟集是Molodtsov[12]在1999年為解決模糊集、粗糙集等數(shù)學(xué)處理工具參數(shù)化處理不足的問題而提出的。Jun等將軟集理論應(yīng)用到BCK-代數(shù)中，研究了軟BCK-代數(shù)的性質(zhì)[13-14]。陳娟娟和李生剛[15]在BCI-代數(shù)上提出了反模糊軟理想的概念，給出了模糊軟理想的同構(gòu)像定理和同態(tài)逆像定理。伏文清等[16-17]進(jìn)一步將軟集的思想運(yùn)用到BCK-代數(shù)中，研究它們的相關(guān)代數(shù)性質(zhì)。?a?man等[18]通過將軟集、集合和群理論結(jié)合而引入了軟交群的概念，從群結(jié)構(gòu)的角度擴(kuò)展了軟集理論。Jun等受文獻(xiàn)[18]的啟發(fā)，在文獻(xiàn)[19]中給出了交軟BCK/BCI-代數(shù)和交軟BCK/BCI-理想的概念，討論了它們的性質(zhì)，并探討了二者之間的關(guān)系。

在本文中，通過參數(shù)α（α為一個集合）的引入，給出了α-交軟BCK/BCI-代數(shù)和α-交軟BCK/BCI-理想，使其在一定程度上推廣了交軟BCK/BCI-代數(shù)和交軟BCK/BCI-理想的概念，然后主要討論了交軟BCK/BCI-理想的刻畫方法和相關(guān)性質(zhì)，獲得了一些有意義的結(jié)果。這些結(jié)果進(jìn)一步豐富了軟集理論和BCK/BCI-代數(shù)的理想理論。

2 預(yù)備知識

定義1[1-3]一個 (2，0)型的代數(shù)(X，*，0)稱為BCI-代數(shù)，若它滿足以下公理，?x，y，z∈X：

如果一個BCI-代數(shù)X滿足條件（5）0*x=0，其中x∈X，則稱X為BCK-代數(shù)。

性質(zhì)1[4]任意的BCK/BCI-代數(shù)X具有以下性質(zhì)，?x，y，z∈X：

其中，x≤y當(dāng)且僅當(dāng)x*y=0。

定義2[1]設(shè)X0是BCK/BCI-代數(shù)X的一個非空子集，若?x，y∈X0，有x*y∈X0，則稱X0為X的一個子代數(shù)。

定義3[2-3]設(shè)I是BCK/BCI-代數(shù)X的一個非空子集。若 ?x，y∈X，I滿足條件：（1）0∈I；（2）x*y∈I，y∈I?x∈I，則稱I為X的一個理想。

定義4[12]設(shè)U是一個論域，E是一個參數(shù)集，A?E。若函數(shù)F:E→P(U)對于任意的x?A有F(x)=?，則稱(F，A)為U上的一個軟集，記為FA，其中，P(U)為U的冪集。

設(shè)FA是論域U上的一個軟集，則軟集FA的像Im(FA)定義為：Im(FA)={FA(x)|x∈A}。

定義5[18]設(shè)FA是論域U上的一個軟集，t?U，則軟集FA的t-水平截集L(FA，t)定義為：

L(FA，t)={x∈A|FA(x)?t}

定義6[19]設(shè)E=X是一個BCK/BCI-代數(shù)，A是E的一個子代數(shù)，F(xiàn)A為U上的一個軟集。若?x，y∈A有FA(x)∩FA(y)?FA(x*y)，則稱FA為U上的一個交軟BCK/BCI-代數(shù)。

定義7[19]設(shè)E=X是一個BCK/BCI-代數(shù)，A是E的一個子代數(shù)，F(xiàn)A為U上的一個軟集。若FA滿足以下條件：

（1）?x∈A，F(xiàn)A(x)?FA(0)

（2）?x，y∈A，F(xiàn)A(x*y)∩FA(y)?FA(x)則稱FA為U上的一個交軟BCK/BCI-理想。

3 廣義交軟BCK/BCI-理想

在接下來的討論中，若無特別說明，U始終表示一個論域，E是一個BCK/BCI-代數(shù)，A是E的一個子代數(shù)。

定義8設(shè)α?U，F(xiàn)A是U上的一個軟集。若?x，y∈A有FA(x)∩FA(y)∩α?FA(x*y)，則稱FA為U上的一個α-交軟BCK/BCI-代數(shù)。

定義9設(shè)α?U，F(xiàn)A是U上的一個軟集。若FA滿足以下條件：?x，y∈A

則稱FA為U上的一個α-交軟BCK/BCI-理想。

注1設(shè)FA是U上的一個交軟BCK/BCI-理想，則FA是U上的一個α-交軟BCK/BCI-理想，但反過來不成立。

例1 設(shè)U=Z是論域，E={0，a，b，c，d}且運(yùn)算 *定義如下：

則(E，*，0)是一個BCK-代數(shù)。對于E的一個子代數(shù)A={0，b，c，d}，若Z上的軟集FA定義為：

FA(0)={1，3，5，7，9，11}，F(xiàn)A(b)={1，2，4，5，7，8}

FA(c)={2，3，5，6，8，9}，F(xiàn)A(d)={1，3，5，8，13}

取α={1，3，7，10，12}，容易驗(yàn)證FA是α-交軟BCK-理想，但FA不是交軟BCK-理想，因?yàn)镕A(b)={1,2,4,5,7,8}?FA(0)={1，3，5，7，9，11}。

定理1設(shè)α?U，F(xiàn)A是U上的一個α-交軟BCK/BCI-理想。

（1）若存在x∈A使得FA(x)?α，則FA(0)?α，F(xiàn)A(x*y)?α，其中y∈A。

（2）若對任意的x∈A有FA(x)?α，則FA是U上的一個交軟BCK/BCI-理想。

證明（1）若存在x∈A使得FA(x)?α，由FA是α-交軟BCK/BCI-理想得，F(xiàn)A(0)?FA(x)∩α=α，故FA(0)?α。對于任意的y∈A，又由性質(zhì)1（P5）可知：

FA(x*y)?FA((x*y)*x)∩FA(x)∩α=FA(0)∩FA(x)∩α?α

（2）若?x∈A有FA(x)?α，由FA是U上的α-交軟BCK/BCI-理想可知，F(xiàn)A(0)?FA(x)∩α=FA(x)。對于任意的y∈A，由A是E的一個子代數(shù)可知，F(xiàn)A(x)?FA(x*y)∩FA(y)∩α=FA(x*y)∩FA(y)，故FA是U上的一個交軟BCK/BCI-理想。

定理2設(shè)α?U，F(xiàn)A是U上的一個軟集。若FA是U上的α-交軟BCK/BCI-理想，則對于任意的t∈Im(FA)且??t?α，L(FA，t)非空時為E的理想。

證明 對于任意的t∈Im(FA)且??t?α，設(shè)L(FA，t)非空，則對 ?x∈L(FA，t)有FA(x)?t，又由FA是U上的α-交軟 BCK/BCI-理想知，F(xiàn)A(0)?FA(x)∩α?t∩α=t，故 0∈L(FA，t)。對于x*y，y∈L(FA，t)，則FA(x*y)?t，F(xiàn)A(y)?t，又由FA是U上的α-交軟BCK/BCI-理想知，F(xiàn)A(x)?FA(x*y)∩FA(y)∩α?t∩t∩α=t，得x∈L(FA，t)。綜上，L(FA，t)為E的理想。

定義10設(shè)α?U，F(xiàn)A是U上的一個軟集。則FA關(guān)于α的擴(kuò)展像EmFA定義為：

EmFA={α，F(xiàn)A(x)|x∈A}

定理3設(shè)α?U，F(xiàn)A是U上的一個軟集，EmFA關(guān)于包含關(guān)系是一個偏序集。若對于任意的t?U且??t?α，L(FA，t)非空時為E的理想，則FA是U上的α-交軟BCK/BCI-理想。

證明 假設(shè)存在x∈A，有FA(x)∩α?FA(0)=t1，則??t1?α，x∈L(FA，t1)，但 0 ?L(FA，t1)，這與L(FA，t1)非空時為E的理想矛盾，因此，對于任意的x∈A，F(xiàn)A(x)∩α?FA(0)。假設(shè)存在x，y∈A，使得FA(x*y)∩FA(y)∩α?FA(x)=t2成立，則 ? ?t2?α，x*y，y∈L(FA，t2)，但x?L(FA，t2)，這與L(FA，t2)非空時為E的理想矛盾，故 ?x，y∈A，F(xiàn)A(x*y)∩FA(y)∩α?FA(x)。因此，F(xiàn)A是U上的α-交軟BCK/BCI-理想。

定理4設(shè)α?U，F(xiàn)A是U上的一個軟集。若FA是U上的α-交軟BCK/BCI-理想，則

（1）對于任意的x，y∈A，x≤y有FA(y)∩α?FA(x)∩α。

（2）對于任意的x，y，z∈A，x*y≤z有FA(y)∩FA(z)∩α?FA(x)∩α。

證明（1）設(shè)x，y∈A且x≤y，則x*y=0∈A，又FA是U上的α-交軟 BCK/BCI-理想，故有FA(y)∩α=FA(0)∩FA(y)∩α=FA(x*y)∩FA(y)∩α?FA(x)∩α。

（2）設(shè)任意的x，y，z∈A且x*y≤z，則由（1）知FA(z)∩α?FA(x*y)∩α，所以，F(xiàn)A(y)∩FA(z)∩α=FA(y)∩FA(x*y)∩α?FA(x)∩α。

定理5設(shè)α?U，F(xiàn)A是U上的一個α-交軟BCK/BCI-理想。若對任意取定的x，y∈A使得FA(x*y)?FA(y)?α，F(xiàn)A(x)?α，則FA(x*y)=FA(x)。

證明 因?yàn)镕A(x*y)?FA(y)?α，F(xiàn)A(x)?α，又FA是U上的α-交軟BCK/BCI-理想，所以，F(xiàn)A(x)?FA(x*y)∩FA(y)∩α=FA(x*y)。另一方面，F(xiàn)A(x*y)?FA((x*y)*x)∩FA(x)∩α=FA(0)∩FA(x)∩α=FA(x)∩α=FA(x)，因此，F(xiàn)A(x*y)=FA(x)。

定理6設(shè)α?U，F(xiàn)A是U上的一個軟集。若FA是U上的α-交軟BCK/BCI-理想，則FA是U上的α-交軟BCK/BCI-代數(shù)。

證明 對于任意的x，y∈A，由FA是U上的α-交軟BCK/BCI-理想和性質(zhì)1（P5）知：故FA是U上的α-交軟BCK/BCI-代數(shù)。

引理1設(shè)X是一個BCK/BCI-代數(shù)，對于任意的x，y∈X，若x≠0，則x*y=0和y=0不能同時成立。

證明 當(dāng)x≠0時，假設(shè)x*y=0和y=0同時成立，則x*y=x*0=0，這與x≠0矛盾，故x*y=0和y=0不能同時成立。

定理7設(shè)E是一個BCK/BCI-代數(shù)，A是E的一個子代數(shù)，定義U上的軟集FA為：

其中，α?β，α,β∈P(U)，則FA是一個交軟BCK/BCI-理想。

證明 對任意的x∈A，則FA(0)=α?FA(x)。對于任意的x∈A，若x≠0，由引理1知：

若x=0，則FA(x)=α?FA(x*y)∩FA(y)。因此，F(xiàn)A是一個交軟BCK/BCI-理想。

4 廣義交軟BCK/BCI-理想的像和逆像

定義11設(shè)X，Y是兩個論域，f:X→Y是一個映射，對于X上一個給定的軟集FA，則FA在f下的像f(FA)?f(F)f(A)定義為：

其中y∈f(A)。

定義12設(shè)X，Y是兩個論域，f:X→Y是一個映射，B?Y，對于Y上一個給定的軟集GB，則GB在f下的逆像f-1(GB)?f-1(G)f-1(B)定義為：

定理8設(shè)U是一個論域，α?U，X、Y分別是BCK/BCI-代數(shù)，A?X，f:X→Y是一個同態(tài)映射，對于U上的一個α-交軟BCK/BCI-代數(shù)FA，則f(F)f(A)是U上的一個α-交軟BCK/BCI-代數(shù)。

證明 因?yàn)閒:X→Y是一個同態(tài)映射，F(xiàn)A是U上的一個α-交軟BCK/BCI-代數(shù)，所以，對任意的y∈f(A)，有

因此，f(F)f(A)是U上的一個α-交軟BCK/BCI-代數(shù)。

定理9設(shè)U是一個論域，α?U，X、Y分別是BCK/BCI-代數(shù)，B?Y，f:X→Y是一個同態(tài)映射，對于U上的一個α-交軟BCK/BCI-代數(shù)GB，則f-1(G)f-1(B)是U上的一個α-交軟BCK/BCI-代數(shù)。

證明 對任意的x∈f-1(B)，

因此，f-1(G)f-1(B)是U上的一個α-交軟BCK/BCI-代數(shù)。

5 結(jié)束語

本文通過在交軟BCK/BCI-理想的定義中引入一個參數(shù)，給出了其廣義形式。然后討論了廣義交軟BCK/BCI-理想的性質(zhì)，并獲得一些重要的結(jié)論。本文可為通過軟集研究模糊BCK/BCI-代數(shù)奠定一定的基礎(chǔ)。

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YANG Yongwei1,XIN Xiaolong1,MENG Biaolong1，2

1.Department of Mathematics,Northwest University,Xi’an 710127,China
2.College of Science,Xi’an University of Science and Technology,Xi’an 710054,China

In order to investigate the properties of ideal theories of BCK/BCI-algebras further more,α-intersectional soft BCK/BCI-ideal,as a generalization of an intersectional soft BCK/BCI-ideal,is initiated by introducing a parameter to an intersectional soft BCK/BCI-ideal.Several equivalent characterizations and relevant properties ofα-intersectional soft BCK/BCI-ideals are also given.The properties of image and inverse image ofα-intersectional soft BCK/BCI-ideals under a homomorphism are discussed.

BCK/BCI-algebra;soft set;intersectional soft BCK/BCI-ideal

為了進(jìn)一步研究交軟BCK/BCI-理想的性質(zhì)，通過在交軟BCK/BCI-理想的概念中引入一個參數(shù)α，從而給出了α-交軟BCK/BCI-理想的定義，并在一定程度上推廣了交軟BCK/BCI-理想的概念。給出了α-交軟BCK/BCI-理想的刻畫方法和性質(zhì)。討論了α-交軟BCK/BCI-理想在同態(tài)下像和逆像性質(zhì)。

BCK/BCI-代數(shù)；軟集；交軟 BCK/BCI-理想

2013-02-07

2013-03-15

1002-8331（2013）18-0029-04

A

O159

10.3778/j.issn.1002-8331.1302-0061

西北大學(xué)研究生自主創(chuàng)新資助項(xiàng)目（No.YZZ12061）。

楊永偉（1984—），男，博士研究生，研究領(lǐng)域?yàn)檫壿嫶鷶?shù)，模糊代數(shù)；辛小龍（1955—），男，博士，教授，研究領(lǐng)域?yàn)榇鷶?shù)學(xué)，密碼學(xué)；孟彪龍（1967—），男，博士研究生，副教授，研究領(lǐng)域?yàn)榇鷶?shù)學(xué)。E-mail：yangyw2010@126.com