王奇志，楊曉曉

（北京交通大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息技術(shù)學(xué)院，北京 100044）

1 引言

機(jī)器人打乒乓球時(shí)，需要解決快速運(yùn)動(dòng)的乒乓球的跟蹤、軌跡預(yù)測(cè)問(wèn)題，這些問(wèn)題是機(jī)器人研究領(lǐng)域中的共性和關(guān)鍵問(wèn)題。軌跡預(yù)測(cè)是對(duì)軌跡跟蹤過(guò)程在時(shí)間軸上的進(jìn)一步延伸。乒乓球機(jī)器人在擊球過(guò)程中，需要首先判斷和預(yù)測(cè)來(lái)球的軌跡，才能給運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)以足夠的時(shí)間，驅(qū)動(dòng)手臂去擊打球。因此，軌跡預(yù)測(cè)對(duì)于機(jī)器人擊球成功率至關(guān)重要。

軌跡預(yù)測(cè)算法主要分為兩類：基于運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的方法和基于經(jīng)驗(yàn)的方法。

文獻(xiàn)[1]采用近似的物理模型對(duì)乒乓球運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行預(yù)測(cè)，首先對(duì)乒乓球在各個(gè)軸向上進(jìn)行受力分析，列出乒乓球在空中飛行的軌跡方程。當(dāng)乒乓球與球臺(tái)發(fā)生碰撞時(shí)，以乒乓球與球臺(tái)碰撞前的速度為輸入，碰撞后的速度為輸出，建立碰撞模型。但是，該方法精確建模比較困難，需要大量的實(shí)驗(yàn)以確定模型參數(shù)。

1997年，上海交通大學(xué)芮慶等人和日本大阪大學(xué)宮崎文夫教授合作，首先在理論上研究了關(guān)于乒乓球軌跡的預(yù)測(cè)和仿真算法，提出了一種采用局部加權(quán)線性回歸算法（Local Weight Regression）的乒乓球軌跡預(yù)測(cè)算法[2]。該方法的優(yōu)點(diǎn)是不需要對(duì)被控對(duì)象建立動(dòng)力學(xué)模型，缺點(diǎn)是需要大量的有效樣本，并且無(wú)法區(qū)分乒乓球是否旋轉(zhuǎn)，難以根據(jù)旋轉(zhuǎn)對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行分析。

在軌跡預(yù)測(cè)中獲得反彈前的乒乓球的速度對(duì)于反彈后的軌跡預(yù)測(cè)至關(guān)重要。本文著重對(duì)文獻(xiàn)[1]的計(jì)算反彈前的速度的計(jì)算方法進(jìn)行改進(jìn)，應(yīng)用Matlab 6.5對(duì)改進(jìn)算法的可行性進(jìn)行分析，同時(shí)為了直觀地分析預(yù)測(cè)軌跡，設(shè)計(jì)了基于OPENGL的3D 仿真平臺(tái)。

2 相關(guān)工作

2.1 基于運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的軌跡預(yù)測(cè)

機(jī)器人對(duì)乒乓球的軌跡預(yù)測(cè)，基本分為四個(gè)步驟：

（1）軌跡跟蹤階段。將采集到的點(diǎn)進(jìn)行RANSAC去噪，然后采用基于最小二乘法的多項(xiàng)式擬合方法對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行擬合，結(jié)合采集時(shí)間計(jì)算乒乓球在各個(gè)測(cè)量點(diǎn)的速度和加速度。

（2）反彈前的軌跡預(yù)測(cè)。對(duì)乒乓球飛行的物理機(jī)理進(jìn)行建模，獲得乒乓球飛行的微分方程，求解乒乓球的軌跡和速度。

（3）乒乓球與球臺(tái)的碰撞。主要是構(gòu)造乒乓球與球臺(tái)的碰撞模型。

（4）反彈后的軌跡預(yù)測(cè)。與反彈前軌跡預(yù)測(cè)采用相同的方法。

2.2 乒乓球飛行模型

乒乓球在空氣中運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，主要受到兩個(gè)力的作用：重力G＝mg 和空氣阻力F＝kv2，其中m 為乒乓球的質(zhì)量，g 為重力加速度，k 為空氣阻力系數(shù)。飛行模型參見文獻(xiàn)[1]。

（1）水平方向上：

水平方向的Y 軸，具有和X 軸一致的位置預(yù)測(cè)表達(dá)式。

（2）垂直方向上：

2.3 乒乓球與球臺(tái)碰撞模型

要對(duì)乒乓球的軌跡做出準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)，除了建立飛行過(guò)程精確運(yùn)動(dòng)方程之外，還需要對(duì)乒乓球與桌面的碰撞進(jìn)行建模，得到比較準(zhǔn)確的反彈模型。碰撞模型的建立參見文獻(xiàn)[1]。

反彈模型在X、Y 方向的速度變化用一階多項(xiàng)式來(lái)表示：

其中，kx、ky、bx、by是反彈參數(shù)。

垂直方向的反彈模型為：

其中，kz是反彈參數(shù)。

反彈模型對(duì)反彈前的初始點(diǎn)的速度敏感，沒有采用公式推導(dǎo)計(jì)算反彈前的速度，而是提出了將預(yù)測(cè)的軌跡用最小二乘法擬合求導(dǎo)得到反彈前的速度。從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看到預(yù)測(cè)效果很好。

3 算法改進(jìn)

3.1 初速度反饋調(diào)節(jié)

在軌跡預(yù)測(cè)過(guò)程中，建立的方程表達(dá)式與初始點(diǎn)有關(guān)，所以初始點(diǎn)的選取對(duì)軌跡預(yù)測(cè)的精確度影響很大。另一方面，由采集到的10個(gè)點(diǎn)進(jìn)行曲線擬合求導(dǎo)，則計(jì)算的速度在一定程度上也會(huì)產(chǎn)生誤差，所以文獻(xiàn)[1]采用了基于位置負(fù)反饋的方法對(duì)求導(dǎo)得到的速度值進(jìn)行校正。利用預(yù)測(cè)與采樣點(diǎn)之間的偏差構(gòu)成反饋回路，調(diào)整過(guò)程為：

文獻(xiàn)[1]中K＝0.005，為定值。本文中：

其中，K 是一個(gè)動(dòng)態(tài)的系數(shù)。這樣：

表示預(yù)測(cè)的坐標(biāo)誤差與時(shí)間的比值，表示一個(gè)平均的速度誤差，它是一個(gè)動(dòng)態(tài)修正的系數(shù)。

經(jīng)過(guò)多次實(shí)驗(yàn)證明，提高了預(yù)測(cè)結(jié)果的精確度。如圖1所示，圖a1、圖b1、圖c1為固定比例系數(shù)時(shí)三個(gè)軸上的軌跡預(yù)測(cè)示意圖，右列為動(dòng)態(tài)系數(shù)調(diào)節(jié)時(shí)三個(gè)軸上的軌跡預(yù)測(cè)示意圖。其中，星號(hào)表示跟蹤得到的乒乓球軌跡，圓圈表示預(yù)測(cè)的軌跡。

Figure 1 Chart of track prediction comparison（feedback regulation coefficient）圖1 軌跡預(yù)測(cè)對(duì)比圖（反饋調(diào)節(jié)系數(shù)）

表1為固定比例系數(shù)時(shí)預(yù)測(cè)的坐標(biāo)及誤差，表2為動(dòng)態(tài)系數(shù)反饋調(diào)節(jié)時(shí)預(yù)測(cè)的坐標(biāo)及誤差。由表1和表2可以看到，改進(jìn)后的系數(shù)預(yù)測(cè)更加準(zhǔn)確。

Table 1 Predicted coordinate and error of the fixed proportion coefficient表1 固定比例系數(shù)時(shí)預(yù)測(cè)的坐標(biāo)及誤差

Table 2 Predicted coordinate and error of the dynamic coefficient feedback regulation表2 動(dòng)態(tài)系數(shù)反饋調(diào)節(jié)時(shí)預(yù)測(cè)的坐標(biāo)及誤差

3.2 反彈前初速度的計(jì)算

反彈模型對(duì)反彈前的初始點(diǎn)的速度敏感，文獻(xiàn)[1]采用公式推導(dǎo)計(jì)算反彈前的速度，本文提出將已經(jīng)預(yù)測(cè)好的軌跡用最小二乘法擬合求導(dǎo)得到反彈前的速度。從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看到預(yù)測(cè)效果很好。圖2是軌跡預(yù)測(cè)對(duì)比圖，左列是用文獻(xiàn)[1]提出的方法進(jìn)行的預(yù)測(cè)，右列是用本文提出的方法來(lái)預(yù)測(cè)乒乓球反彈后的軌跡。

為了更直觀地看到預(yù)測(cè)效果，公式推導(dǎo)和曲線擬合求解反彈前速度和誤差如表3 和表4 所示。坐標(biāo)中的點(diǎn)是反彈后預(yù)測(cè)的連續(xù)四個(gè)坐標(biāo)值及其誤差值。

Table 3 Predicted coordinate and error of the formula calculating before a rally表3 公式推導(dǎo)計(jì)算反彈前速度時(shí)預(yù)測(cè)的坐標(biāo)及誤差

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

4.1 Matlab 6.5 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2所示，其中三幅圖的橫坐標(biāo)均為時(shí)間（s），星號(hào)表示實(shí)際的觀察位置，圓圈表示預(yù)測(cè)的位置。由于乒乓球拍的左右寬150mm，上下高156 mm，因此，對(duì)軌跡預(yù)測(cè)的誤差有一定的容忍度，實(shí)際誤差50mm 以內(nèi)可以滿足擊球作業(yè)的要求。從表2和表4可看出，X 軸、Y 軸、Z 軸三個(gè)坐標(biāo)軸的誤差總和均小于50 mm，所以預(yù)測(cè)效果符合控制要求。

Table 4 Predicted coordinate and error of the curve fitting before a rally表4 曲線擬合求解反彈前速度時(shí)預(yù)測(cè)的坐標(biāo)及誤差

4.2 OpenGL仿真結(jié)果

通過(guò)OpenGL仿真平臺(tái)真實(shí)地再現(xiàn)預(yù)測(cè)軌跡和采樣軌跡。如圖3所示，圖中點(diǎn)狀線為采樣的軌跡，實(shí)線為預(yù)測(cè)的軌跡。根據(jù)這種具有真實(shí)感的對(duì)比，可以看到預(yù)測(cè)結(jié)果比較好。

Figure 2 Chart of track prediction comparison（calculating rebound before initial velocity）圖2 軌跡預(yù)測(cè)對(duì)比圖（計(jì)算反彈前初速度）

Figure 3 Chart of predicted trajectory and sampling trajectory圖3 真實(shí)再現(xiàn)預(yù)測(cè)軌跡和采樣軌跡

5 結(jié)束語(yǔ)

機(jī)器人打乒乓球的一個(gè)關(guān)鍵是對(duì)乒乓球的飛行軌跡進(jìn)行準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)，進(jìn)而提前計(jì)算得到擊打點(diǎn)的位置和速度信息。本文主要是對(duì)乒乓球飛行軌跡預(yù)測(cè)中采用的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型[1]的算法進(jìn)行改進(jìn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，比例系數(shù)的改進(jìn)以及反彈前初速度計(jì)算的改進(jìn)都能夠更加準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)乒乓球的軌跡，滿足打乒乓球作業(yè)的要求。

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