鮑曉蕾，王小利，胡良平

對于結(jié)果變量為多值有序變量的高維列聯(lián)表資料可使用cmH 校正的秩和檢驗或有序變量多重 logistic 回歸分析等統(tǒng)計分析方法。在上一期中，我們已經(jīng)詳細介紹了CMH 校正的秩和檢驗。本期將詳細介紹多值有序變量的logistic 回歸分析。

1 原理

結(jié)果變量為多值有序變量的 logistic 回歸又稱為累計logistic 回歸。累積 logistic 回歸模型可視為二值變量logistic 回歸的擴展，其回歸模型可定義如下：

其中y* 表示觀測現(xiàn)象的內(nèi)在趨勢，不能被直接測量；ε為誤差項。當結(jié)果變量有J個可能的結(jié)局，相應(yīng)的取值為y= 1、y= 2 ……y=J時，共有J– 1 個分界點將各相鄰類別分開。即：

若y* ≤μ1，則y= 1；

若μ1

……

若y* >μJ–1，則y=J。

給定x值的累積概率可以按如下形式表示：

與二值變量的 logit變換相似，累積 logit 變換定義如下：

其中 1 –P(y≤j|x) 即為P(y≥j+ 1 |x)，這樣就依次將J個可能的結(jié)局合并成兩個，從而進行 logistic 回歸分析。

相應(yīng)地，累積概率可通過以下公式進行預測：

統(tǒng)計軟件在實際運行中，定義β0j為各類中截距α與分界點μj的綜合，所以上式就轉(zhuǎn)化為：

值得注意的是，SPSS 和 SAS 在對累積 logistic 回歸模型進行參數(shù)化時采用的形式是不同的，SPSS 軟件中采用的線性形式是，這與式 ⑸ 相同，而 SAS 中采用的是，所以式 ⑸ 就轉(zhuǎn)化為：

在使用不同軟件時，應(yīng)該注意回歸系數(shù)符號的差別。

由上面的討論可以看出，若結(jié)果變量有J個可能的結(jié)局，則可獲得J– 1 個累積 logit 函數(shù)（當進行統(tǒng)計分析時，若有m個截距項β0j無統(tǒng)計學意義，則只能獲得J–m– 1 個累積 logit 函數(shù)）。累積 logistic 回歸模型對每一個累積 logit 函數(shù)各有一個不同的β0j估計，然而對所有的累積 logit 函數(shù)，變量xk卻有一個相同的βk估計，因為其假設(shè)條件為自變量的作用與所有累積 logit 的截斷點無關(guān)。在此假設(shè)條件下，不同累積對數(shù)發(fā)生比的回歸線相互平行，只是截距參數(shù)有所不同。這被稱為成比例發(fā)生比假設(shè)條件或平行線假設(shè)條件。

運用累積 logistic 回歸模型首先需要對平行線假設(shè)條件進行檢驗。如果這一假設(shè)條件被拒絕，便說明自變量xk對不同的 logit 有不同的βk，因而說明累積 logistic 回歸模型不適合，需要采用其他模型來進行資料的分析，如可在模型中引入二次項或交互項。

2 變量賦值

在 logistic 回歸模型中，原因變量可以是連續(xù)型變量，也可以是二值變量、多值有序變量或多值名義變量。

如果原因變量是連續(xù)變量，一般不需要進行處理，可直接建立 logistic 回歸模型。但有時根據(jù)專業(yè)知識需對其進行分級以獲得更有實際意義的結(jié)果時，連續(xù)變量就轉(zhuǎn)換成了有序變量，此時可按影響結(jié)果變量由小到大的順序賦值為1、2 ……，并將它當作連續(xù)型變量處理或直接引入啞變量，建立 logistic 回歸模型。比如在肺癌危險因素的病例-對照研究中，研究者往往感興趣的是年齡每增加 5 歲（根據(jù)專業(yè)知識和試驗?zāi)康臎Q定）肺癌發(fā)病的危險性是基礎(chǔ)狀態(tài)時的多少倍，而年齡每增加 1 歲肺癌發(fā)病的危險性是基礎(chǔ)年齡時的多少倍往往沒有多大實際意義。

如果原因變量是二值變量，一般可按 0、1 賦值。

如果原因變量是多值名義變量，需引入啞變量（dummy variable），每個啞變量都是一個二值變量，所需啞變量的數(shù)目為多值名義變量的類別數(shù)減 1。如“血型”是一個多值名義變量，有 A、B、AB、O 四種，若以 O 型血為基準，需引入 3 個（4 – 1 = 3）啞變量來描述。令

則可得到下面的對應(yīng)關(guān)系（表1）：

表1 用 3 個啞變量描述一個四值名義的血型變量

如果原因變量是多值有序變量，一般可按影響結(jié)果變量由小到大的順序賦值為1、2 ……，并將它當作連續(xù)型變量處理，但這樣做有時并不科學，因為該有序變量每上升或下降一個等級對結(jié)果變量的影響并非總是“線性”的。若遇到有序原因變量按連續(xù)變量處理所得回歸效果不理想時，建議引入啞變量的方式來處理。

結(jié)果變量為多值有序變量，可按其程度或一般默認的順序由小到大地賦值為1、2 ……。

【例 1】在一項臨床試驗中，研究病程與依沙酰胺療效的關(guān)系。試驗在三所醫(yī)院中同時進行，具體療效數(shù)據(jù)見表2，試對病程與治療效果之間的關(guān)系進行分析。

表2 病程與依沙酰胺療效的數(shù)據(jù)

SAS 程序如下，程序名為example3。

data example3;do a=1 to 3;do b=1 to 4;do c=1 to 3;input f@@;output;end; end; end;cards;24 10 3 10 4 2 35 26 10 10 8 4 25 12 3 11 4 2 30 22 8 10 10 5 20 8 2 10 4 1 20 17 5 12 10 6;run;ods html;proc logistic data=example3;class a b/param=ref;model c=a b/selection=stepwise;freq f;run;ods html close;

程序說明：首先建立數(shù)據(jù)集，程序中的 a 表示試驗中心，a = 1 表示中心 1，a = 2 表示中心 2，a = 3 表示中心 3；b 表示病程，b = 1 表示 < 1 個月組，b = 2 表示 1～3 個月組，b = 3 表示 3 個月～5年組，b = 4表示 > 5年組；c 表示療效，c = 1 表示治愈，c = 2 表示好轉(zhuǎn)，c = 3 表示無效；變量 f 表示頻數(shù)。調(diào)用 logistic 過程進行有序變量多重 logistic 回歸分析。由于試驗中心是多值名義變量，需對其賦啞變量；病程是多值有序變量，可將其當成連續(xù)型變量直接賦值，但最好是對其賦啞變量。若自變量是二值變量，則只需直接賦值 0、1 即可。class 語句可實現(xiàn)對自變量自動賦啞變量，同時還能保證啞變量在回歸方程中同進同出。class a b 表示對 a、b 兩個因素均自動賦啞變量。選項param = ref 指定將其中的一個水平作為基準實現(xiàn)啞變量賦值，默認以輸入的該定性變量最后一個水平為基準。若想以其他水平為基準，比如希望以 a 的第一個水平為基準對因素 a 賦啞變量，則只需將語句改成 class a (ref = ‘1’)b/param = ref 即可。model 語句表示建模，等號前表示因變量，等號后表示自變量。選項 selection = stepwise 表示用逐步回歸法進行變量篩選，其默認的進入和剔除方程的顯著性水準為0.05；若希望改變這一標準，可在選項后加入 sle =xx 和 sls = xx 選項，前者指定進入方程的標準，后者指定剔除方程的標準，xx 表示具體的數(shù)值（0～1 之間）。freq f指定 f 變量為頻數(shù)變量。

SAS 程序運行結(jié)果：

以上是通過 class 語句對因素 a 和因素 b 自動賦啞變量的結(jié)果?？梢钥吹?，兩因素均以最后一個水平為基準。以 a 因素為例，啞變量 a1 表示 a 因素的第一個水平相對于第三個水平進行分析；啞變量 a2 表示 a 因素的第二個水平相對于第三個水平進行分析。b 因素的啞變量意義類似。

Summary of stepwise selection

以上為逐步篩選法的篩選結(jié)果，最終只有因素 b 進入了回歸方程（χ2= 13.4863，P= 0.0037）。

Score test for the proportional odds assumption

以上為平行線假設(shè)的檢驗結(jié)果：χ2= 0.8909，P= 0.8276> 0.05，說明資料滿足平行線假設(shè)。

Type 3 analysis of effects

以上是將因素 b 作為一個整體的假設(shè)檢驗結(jié)果：waldχ2= 13.5102，P= 0.0037 < 0.05，說明病程對療效的影響有統(tǒng)計學意義。

Analysis of maximum likelihood estimates

以上為參數(shù)估計及假設(shè)檢驗的結(jié)果。本例結(jié)果變量有 3個水平，故模型包含 2 個截距項。若P1、P2和P3分別表示治愈、好轉(zhuǎn)和無效發(fā)生的概率，則回歸方程為：

Odds ratio estimates

以上是對優(yōu)勢比的估計結(jié)果：OR1vs4= 2.576，其 95%置信區(qū)間為（1.445，4.592）；OR2vs4= 2.473，其 95%置信區(qū)間為（1.205，5.072）；OR3vs4= 1.382，其 95%置信區(qū)間為（0.830，2.302）。

統(tǒng)計及專業(yè)結(jié)論：病程對療效的影響有統(tǒng)計學意義（P= 0.0037 < 0.05），而試驗中心對療效的影響沒有統(tǒng)計學意義。OR1vs4= 2.576，其 95%置信區(qū)間為（1.445，4.592），說明病程小于 1 個月的療效是病程大于 5年療效的2.576倍；OR2vs4= 2.473，其 95%置信區(qū)間為（1.205，5.072），說明病程為1～3 個月的療效是病程大于 5年療效的 2.473 倍；OR3vs4= 1.382，其 95%置信區(qū)間為（0.830，2.302），說明病程為3 個月～5年的療效是病程大于 5年療效的 1.382 倍。

[1]Hu LP.Statistics facing practical scientific issues -- (2) multi-factor designs and linear model analysis.Beijing: People’s Medical Publishing House, 2012:508-517.(in Chinese)胡良平.面向問題的統(tǒng)計學——(2)多因素設(shè)計與線性模型分析.北京: 人民衛(wèi)生出版社, 2012:508-517.

[2]Hu LP.Medical statistics-analysis of quantitative and qualitative data applying the triple-type theory.Beijing: People’s Military Medical Press, 2009:363-375.(in Chinese)胡良平.醫(yī)學統(tǒng)計學-運用三型理論分析定量與定性資料.北京:人民軍醫(yī)出版社, 2009:363-375.