盧占化,曹林芬（河南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,河南新鄉(xiāng)453007）

關(guān)于正定矩陣的兩個(gè)定理

盧占化,曹林芬
（河南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,河南新鄉(xiāng)453007）

引入矩陣反順序主子式及相關(guān)順序主子式的新概念,并運(yùn)用反順序主子式和相關(guān)順序主子式刻畫(huà)了實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的正定性,為研究實(shí)矩陣提供了新的思路.同時(shí),給出具體的例子說(shuō)明了這類(lèi)矩陣的存在性.

順序主子式；實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣；反順序主子式；相關(guān)順序主子式

實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣正定性問(wèn)題是高等代數(shù)的重點(diǎn)內(nèi)容之一[1-3].矩陣的正定性與矩陣的特征值與實(shí)二次型、順序主子式都有密切聯(lián)系[1,4-5],并且這部分內(nèi)容對(duì)于幾何學(xué)中相關(guān)問(wèn)題的研究也有極大幫助.眾所周知,一實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣正定的充分必要條件是它的各級(jí)順序主子式大于零[1].這個(gè)結(jié)論揭示了矩陣正定性與順序主子式之間的聯(lián)系.矩陣正定性是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的重要內(nèi)容之一.本文引入矩陣的反順序主子式及相關(guān)順序主子式的概念,利用分塊陣的初等變換以及歸納方法證明了實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A正定的充分必要條件是A的各級(jí)反順序主子式大于零；實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A正定充分必要條件是A的各級(jí)相關(guān)順序主子式大于零.對(duì)進(jìn)一步研究矩陣,研究二次型及二次型的應(yīng)用有重要參考意義[6].

1 反順序主子式

定義1設(shè)A為n級(jí)方陣

一般地,n級(jí)方陣A的反順序主子式恰為n個(gè).

定理1若A為n級(jí)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣,則A為正定矩陣的充分且必要的條件為A的各反順序主子式大于零.

證明：必要性仿照文獻(xiàn)[1]易得.

充分性

設(shè)A為n級(jí)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣且滿(mǎn)足題中條件

用歸納法證明A為正定矩陣.

首先n=1結(jié)論顯然成立.假定結(jié)論對(duì)于n-1級(jí)同類(lèi)矩陣成立,下面分析滿(mǎn)足題上條件的n級(jí)矩陣A.記

其中A1為n-1級(jí)矩陣并且滿(mǎn)足題上條件.運(yùn)用分塊陣的初等變換可得

顯然B與C合同.

由行列式理論知C＞0,記a-αA-1α′=a,此時(shí)a＞0,根據(jù)歸納假設(shè)正定,因而存在可逆陣G,G′AG =E.

由易知D正定.但是B與D合同,故B為正定陣.

2 相關(guān)順序主子式

定義2設(shè)A為n級(jí)方陣,如果n為奇數(shù),下列行列式

稱(chēng)為元的相關(guān)順序主子式.當(dāng)n=2m為偶數(shù)時(shí),位于m,m+1行,m,m+1列；m-1,m,m+1行,m-1,m,m+1列；…,…；1,2,…,m+1行1,2,…,m+1列；…,…；1,2,…,n行,1,2,…,n列交叉位置上的元按原來(lái)的順序構(gòu)成的這些行列式稱(chēng)為的相關(guān)順序主子式.

定義3矩陣A施行一次初等行變換,再施行一次同類(lèi)型的初等列變換,稱(chēng)之為成對(duì)的初等變換.

定理2如果A為級(jí)n實(shí)對(duì)稱(chēng)方陣,當(dāng)為奇數(shù)時(shí)am+1,m+1＞0,am+1,m+1的相關(guān)順序主子式全大于零,則A為正定矩陣.如果n為偶數(shù),的相關(guān)順序主子式全大于零,則A為正定矩陣.

證明利用成對(duì)的初等變換僅對(duì)n=2m+1的情況證之.設(shè)A滿(mǎn)足題上條件

B的各級(jí)順序主子式全大于零,B正定.但A與B合同,因而A正定.當(dāng)A為偶數(shù)階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣時(shí),類(lèi)似可證A為正定矩陣.

定理證畢.

3 小結(jié)

本文結(jié)果揭示了反順序主子式大于零,相關(guān)順序主子式與正定矩陣之間的內(nèi)在聯(lián)系.同時(shí)也體現(xiàn)出正定二次型中各變量的平行地位,比如以y軸為對(duì)稱(chēng)軸拋物線(xiàn)中x與y是對(duì)稱(chēng)的.

[1]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù)[M].3版.北京：高等教育出版社,2003.

[2]徐忠,陸全,張凱院,等.高等代數(shù)導(dǎo)教、導(dǎo)學(xué)、導(dǎo)考[M].西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社,2004.

[3]盧占化.初等變換的若干應(yīng)用[J].高等數(shù)學(xué)研究,2006,9（6）：42-43.

[4]樊惲,鄭延履.線(xiàn)性代數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)[M].北京：科學(xué)出版社,2003.

[5]盧占化.秩1矩陣的分解[J].中國(guó)科學(xué)教育,2005（5）：22-23.

[6]盧占化.遷移在高等代數(shù)中的作用[J].高師理科學(xué)刊,2006,26（1）：83-85.

（責(zé)任編輯：盧奇）

On two theorem s of a positive definitematrix

Lu Zhanhua,Cao Linfen
（CollegeofMathematicsand Information Science,Henan NormalUniversity,Xinxiang453007,China）

Concepts of anti-order principal minor and related-order principal minor was defined.The positive definiteness of a real symmetricmatrix is characterized by using this two concepts,which provides a new way to study realmatrices.Meanwhile,the concrete examples to illustrate the existence of suchmatrix are presented.

symmetricmatrices；anti-order principalminor；related order principalminor；principalminor

G442

A

1008-7516（2013）02-0057-03

10.3969/j.issn.1008-7516.2013.02.014

2013-01-29

國(guó)家自然科學(xué)基金（11001076）；河南省教育廳項(xiàng)目（2011A110008）

盧占化（1955-）,男,河南洛陽(yáng)人,碩士,副教授.主要從事代數(shù)學(xué)研究.

曹林芬（1975-）,女,河南林州人,博士,副教授.主要從事幾何與代數(shù)研究.