李斌，卜長江

(哈爾濱工程大學(xué) 理學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

1 引理

證明 由A的分解形式，設(shè)

則

由AX=XA可得X3=X4=O，且ΔX1=X1Δ.

所證成立.

引理3 設(shè)A、X分別有引理1、引理2中的分解形式，且rank(A)=rank(AX)，那么:1)X1可逆;2)令 F=XAA#，則 F#存在，且滿足 XA2F#=A2，F(xiàn)#A A#=F#.

證明 由A、X的分解形式，可得:

rank(AX)=rank(A)=rank(Δ)=r，因此有

r=rank(Δ)=rank(ΔX1)≤ rank(X1)≤r，所以X1可逆.

引理 4 如果 rank(A)=rank(AX)，那么rank(A2)=rank(A2X).

證明 由已知得 R(A)=R(AX)，那么AR(A)=AR(AX)，即 R(A2)=R(A2X)，因此rank(A2)=rank(A2X).

2 定理

1)M#存在的充分必要條件是 rank(B)=rank(BS);

證明:

所以M#存在?rank(M)=rank(M2)?rank(B)=rank(BS);

2)因為 rank(B)=rank(BS)，R(BS)?R(B)，所以R(BS)=R(B)，那么

故rank(S2)=rank(S)，即S#存在.

下面求導(dǎo)M#.由A、X的分解形式，可得

那么由引理3得

結(jié)合式(1)～(3)得

因此所證成立.

3 實例

那么利用定理1的公式計算得

4 結(jié)束語

當(dāng)X滿足定理1中條件時，顯然X不一定可逆，甚至X的群逆也不一定存在，但由文中定理可以知道此時M#仍然是可能存在的，而在原有的定理中，要求X可逆，因此本文定理大大地拓展了M#存在的條件，并且在新條件下給出了M#的表達(dá)形式.

［1］CAMPBELL S L.The Drazin inverse and systems of second order linear differential equations［J］.Linear Multilinear Algebra，1983，14(2):195-198.

［2］CAMPBELL S L，MERYER C D.Generalized inverses of Linear transformations［M］.NewYork:Dover Publications，1991:36-87.

［3］HARTWIG R ，LI X，WEI Y.Representations for the Drazin inverse of 2 ×2 block matrix［J］.SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications，2006，27(3):757-771.

［4］BU Changjiang，F(xiàn)ENG Chengcheng，BAI Shuyan.Representations for the Drazin inverses of the sum of two matrices and some block matrices［J］.Applied Mathematics and Computation，2012，218(20):10226-10237.

［5］曹重光.體上分塊矩陣群逆的某些結(jié)果［J］.黑龍江大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報，2001，18(3):5-7.

CAO Chongguang.Some results of group inverses for partitioned matrices over skew fields［J］.Journal Natural Science Heilongjiang University，2001，18(3):5-7.

［6］BU Changjiang，ZHAO Jiemei，ZHENG Jinshan.Group inverse for a class 2×2 block matrices over skew fields［J］.Applied Mathematics and Computation，2008，204(1):45-49.

［7］BU Changjiang，ZHAO Jiemei，ZHANG Kuize.Some results on group inverses of block matrices over skew fields［J］.E-lectron.J.Linear Algebra，2009，18(2):117-125.

［8］BU Changjiang，ZHANG Kuize，ZHAO Jiemei.Some results on the group inverse of the block matrix with a subblock of linear combination or product combination of matrices over skew fields［J］.Linear Multilinear Algebra，2010，58(8):957-966.

［9］CAO Chongguang，LI Jiamei.A note on the group inverse of some 2×2 block matrices over skew fields［J］.Applied Mathematics and Computation，2011，217(24):10271-10277.