楊宜平，趙培信

（1.重慶工商大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶400067;2.河池學(xué)院數(shù)學(xué)系，廣西宜州 546300）

隨著計(jì)算機(jī)的普及以及統(tǒng)計(jì)軟件的發(fā)展，在經(jīng)濟(jì)、生物、工業(yè)等諸多領(lǐng)域正在采用統(tǒng)計(jì)軟件分析數(shù)據(jù)，因而單純的講授統(tǒng)計(jì)理論的教學(xué)方式已不能適應(yīng)當(dāng)今社會(huì)發(fā)展的需求，將統(tǒng)計(jì)軟件的實(shí)際應(yīng)用與理論教學(xué)相結(jié)合的教學(xué)是現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)教學(xué)的必然趨勢(shì)。在進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析時(shí)，常用的統(tǒng)計(jì)軟件有R、SAS、SPSS、S-Plus等。在Tiobe公布的2011年11月編程語言排行榜上，R語言位列第27位，市場占有率是0.5%，為統(tǒng)計(jì)軟件之首。由于R統(tǒng)計(jì)軟件具有其他統(tǒng)計(jì)軟件所不具備的優(yōu)點(diǎn)［1-4］，加之R軟件完全免費(fèi)，因此，受到廣大統(tǒng)計(jì)研究人員和統(tǒng)計(jì)工作者的青睞。在此以回歸模型為例介紹R統(tǒng)計(jì)軟件在統(tǒng)計(jì)教學(xué)中的應(yīng)用。

1 回歸分析

在進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析時(shí)，回歸分析運(yùn)用十分廣泛，它是建立兩種或者兩種以上變量間相互依賴的定量關(guān)系的一種統(tǒng)計(jì)分析方法。現(xiàn)主要介紹線性回歸模型和分位數(shù)回歸模型。

1.1 線性回歸模型

其中Y為n×1的向量，X為p×n的矩陣，ε是n×1隨機(jī)誤差向量，其均值為0且Cov（ε）=σ2I，則回歸系數(shù)β的最小二乘估計(jì)為

在R統(tǒng)計(jì)軟件中，擬合線性回歸模型的函數(shù)為lm（），例如建立Y與X1和X2的回歸模型，

如果想了解更多關(guān)于函數(shù)lm（）的用法，可輸入:

可以查到該函數(shù)的用法。

1.2 分位數(shù)回歸模型

Koenker和Bassett［5］在1978年提出了分位數(shù)回歸，其思想是建立因變量Y對(duì)自變量X的條件分位數(shù)回歸模型。X對(duì)Y的線性分位數(shù)回歸模型

其中τ是因變量Y在X條件下的分位數(shù)。XTβ是擬合Y的第τ分位數(shù)。特別地，如果τ=0.5就是中位數(shù)回歸。為了獲得回歸系數(shù)的估計(jì)，需最優(yōu)化問題:

其中 ρτ（u）=τuI［0，∞）（u）－（1 －τ）uI（－∞，0）（u）。目前對(duì)該最優(yōu)化問題有3 種算法:單純形算法、內(nèi)點(diǎn)算法和平滑算法。在文獻(xiàn)［6］中，對(duì)這3種算法進(jìn)行了詳細(xì)的論述。

Roger Koenker編寫了分位數(shù)回歸的程序包“quantreg”。先到R主頁上把包下載下來，然后安裝該程序包。如何安裝R包，文獻(xiàn)［1，2］中有詳細(xì)介紹。安裝該程序包后，擬合分位數(shù)回歸的函數(shù)為rq（），其調(diào)用格式為

當(dāng)tau值缺省時(shí)為0.5，表示中位數(shù)回歸。輸入help（rq）可以進(jìn)一步了解該函數(shù)的功能以及調(diào)用格式。

1.3 線性回歸與分位數(shù)回歸比較

王星［2］將傳統(tǒng)的線性回歸模型與分位數(shù)回歸模型進(jìn)行了比較。傳統(tǒng)的線性回歸模型具有以下缺陷:傳統(tǒng)線性回歸模型建立的是均值回歸模型，只反映均值變化;模型誤差需滿足Gauss-Markov假設(shè)條件，假設(shè)條件太強(qiáng)。在許多實(shí)際問題研究中不滿足該假設(shè)條件，如等方差假定就很難滿足。

分位數(shù)回歸克服了線性回歸模型的一些缺陷，與線性回歸相比，分位數(shù)回歸具有以下優(yōu)點(diǎn):分位數(shù)回歸是擬合不同分位數(shù)水平下的估計(jì)值，反映更多信息;不需要對(duì)隨機(jī)誤差做具體的假定;對(duì)異常值不敏感，擬合結(jié)果比較穩(wěn)定。

2 教學(xué)案例

為測量某種材料的保溫性能，把用其覆蓋的容器從室內(nèi)移到溫度為X的室外，3 h后記錄其內(nèi)部溫度Y。經(jīng)過11次試驗(yàn)，記錄數(shù)據(jù)見表1。

表1 某種材料室外與內(nèi)部溫度記錄數(shù)據(jù) ℉

分別采用線性回歸和中位數(shù)回歸分析該數(shù)據(jù)集。對(duì)該數(shù)據(jù)集進(jìn)行分析時(shí)，參考R語言程序如下:

從圖1可以看出線性回歸和中位數(shù)回歸的差異。線性回歸受到異常點(diǎn)影響較大，中位數(shù)回歸對(duì)異常點(diǎn)不敏感，擬合結(jié)果較穩(wěn)定。

3 結(jié)束語

數(shù)據(jù)分析已成為很多科研人員以及行業(yè)機(jī)構(gòu)關(guān)注的熱點(diǎn)之一，而基于統(tǒng)計(jì)方法分析數(shù)據(jù)是其中關(guān)鍵技術(shù)之一，專業(yè)統(tǒng)計(jì)軟件的出現(xiàn)為人們分析數(shù)據(jù)提供了有力支撐。統(tǒng)計(jì)學(xué)是一門應(yīng)用性很強(qiáng)的學(xué)科，在教學(xué)過程中，在為學(xué)生講授專業(yè)理論知識(shí)時(shí)，應(yīng)結(jié)合實(shí)際統(tǒng)計(jì)案例，并采用統(tǒng)計(jì)軟件進(jìn)行相關(guān)數(shù)據(jù)分析，以加深學(xué)生對(duì)于統(tǒng)計(jì)思想的理解。以線性回歸模型和分位數(shù)回歸模型為例介紹了R統(tǒng)計(jì)軟件在統(tǒng)計(jì)教學(xué)中的應(yīng)用，通過案例來闡述R統(tǒng)計(jì)軟件對(duì)這兩種回歸模型的具體操作。案例和統(tǒng)計(jì)軟件輔助教學(xué)的方式，不僅加深了學(xué)生對(duì)統(tǒng)計(jì)思想和方法的理解，而且激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，進(jìn)一步提高了學(xué)生解決實(shí)際問題的能力。

圖1 某種材料保溫性能的中位數(shù)回歸（虛線）和線性回歸（實(shí)線）

［1］薛毅，陳立萍.統(tǒng)計(jì)建模與R軟件［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2006

［2］王星.非參數(shù)統(tǒng)計(jì)［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2010

［3］王斌會(huì).多元統(tǒng)計(jì)分析及R語言建模［M］.廣州:暨南大學(xué)出版社，2010

［4］湯銀才.R語言與統(tǒng)計(jì)分析［M］.北京:高等教育出版社，2005

［5］KOENKER R，BASSETT G W.Regression quantiles［J］.Econometrica，1978，46（1）:33-50

［6］陳建寶，丁軍軍.分位數(shù)回歸技術(shù)綜述［J］.統(tǒng)計(jì)與信息論壇，2008，23（3）:89-96