士明軍，黎 蕾

（重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，重慶 400047）

1 引言與基礎(chǔ)知識

對于一個函數(shù)f（x），最優(yōu)解往往不容易得到，而且有時是無法得到.然而可以找一個和最優(yōu)解近似的數(shù)來代替最優(yōu)解，這就是近似最優(yōu)解.序列近似最優(yōu)化是解非線性規(guī)劃問題的主要策略之一，它是構(gòu)造一個序列x（k）去逼近最優(yōu)解x*.

此處主要考慮下面一個非線性優(yōu)化問題G，變量x=（x1，…，xn）T∈Rn，y=（y1，…，ya）T∈Ra.

下面給出問題G的子問題Gr［k］在x（k）的連續(xù)近似:

2 對角二次近似

文獻［2］和［3］中給出一種對角二次近似［2，3］，借助這種方法，可以給出如下的形式

3 對偶問題

問題（2）中，如果所有的h2jp＞0且d2rq≥0或者h2jp≥0且d2rq＞0，則所有的子問題Gr［k］都是嚴格凸的.于是可以構(gòu)造它的Falk對偶函數(shù)［5，6］，原問題的近似對偶子問題可以由式（4）給出

這樣，把式（2）的帶有等式和不等式約束的問題轉(zhuǎn)化為式（4）中只需要確定m個λp和m個μq的非負約束的問題.定理1 當問題Gr［k］嚴凸時，滿足如下的條件的λ和μ是穩(wěn)定點

證明 當問題Gr［k］嚴凸時，解式（4）就等價于解問題Gr［k］.將式（4）右邊進行一階近似展開，其中只取 對x（λ）j的偏導(dǎo)數(shù) 對y（μ）r的偏導(dǎo)數(shù)，于是得到

由于gk（x）=0，所以將式（7）整理得

對式（8）兩邊分別對x（λ）j和y（μ）r求導(dǎo)，常數(shù)部分求導(dǎo)為0，于是得到

證畢.

下面通過對偶問題考慮原問題.由式（2）給出問題的解x（λ）和y（μ）的表示形式.

定理2 問題Gr［k］有如下形式的解，

證明 與定理1證明類似，將目標函數(shù)

二階近似展開，化簡、求導(dǎo)就得到了bj（λ）和cr（μ）.

4 算法

根據(jù)上面的推導(dǎo)，給定初始點（x0，y0），給出了一個求解問題G的算法，具體步驟如下:

3）構(gòu)造（x（l），y（l））處的局部近似子問題Gr［l］，就解這一子問題得到（x（l*），λ（l*），y（l*），μ（l*））.

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