李正美，展益彬，安 琦，李柳湘

（1.華東理工大學(xué) 機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，上海 200237；2.卓然設(shè)備制造有限公司，江蘇 靖江 214537）

滾輪支承的臥式離心鑄造機(jī)是由兩列滾輪支承1根厚壁腔筒組成的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，廣泛用于石油工業(yè)爐管的制備.在實(shí)際生產(chǎn)中，由于鑄造機(jī)型管或澆鑄鋼水的偏心質(zhì)量引起的不平衡響應(yīng)往往使得臥式離心鑄造機(jī)產(chǎn)生較大的噪聲和較高的產(chǎn)品報(bào)廢率.為了降低噪聲，提高爐管產(chǎn)品的品質(zhì)，需要準(zhǔn)確而細(xì)致地分析離心鑄造機(jī)振動(dòng)特性進(jìn)而采取合理的減振措施.

目前分析轉(zhuǎn)子振動(dòng)特性的方法主要分為有限元法（FEM）和傳遞矩陣法（TMM）.當(dāng)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的自由度取得較多時(shí)，宜采用TMM.文獻(xiàn)［1］建立了連續(xù)質(zhì)量轉(zhuǎn)子的傳遞矩陣但忽略了轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和陀螺效應(yīng).文獻(xiàn)［2］用傳遞矩陣法對柔性軸承支承的柔性轉(zhuǎn)子進(jìn)行了模態(tài)分析，計(jì)算了有阻尼固有頻率.文獻(xiàn)［3］把傳遞矩陣法拓展到了非線性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)分析.文獻(xiàn)［4］用傳遞矩陣法對球軸承支承的非對稱柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行了瞬態(tài)分析.文獻(xiàn)［5－6］用傳遞矩陣法分別分析了對稱及非對稱轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的彎－扭耦合振動(dòng)特性.文獻(xiàn)[7]對未對中及不平衡轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行了研究，分析了轉(zhuǎn)子不對中和不平衡量對振動(dòng)響應(yīng)和臨界轉(zhuǎn)速的影響.

由前人的研究工作可以看出，TMM可用于線性或非線性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài)振動(dòng)性能分析，但非線性系統(tǒng)傳遞矩陣的推導(dǎo)過于復(fù)雜.離心鑄造機(jī)的滾輪由線接觸滾子軸承支承，滾輪和型筒間也為線接觸，線接觸的載荷－位移關(guān)系非線性較弱，因而以靜態(tài)剛度對系統(tǒng)進(jìn)行線性化處理.此外，鑄造機(jī)型筒粗長，應(yīng)考慮轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和對陀螺力矩對轉(zhuǎn)子振動(dòng)性能的影響.在以往的研究中.也有不少考慮了轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和陀螺力矩，但卻忽視了支承偏轉(zhuǎn)剛度的作用.本文對滾輪－型筒法向接觸剛度和偏轉(zhuǎn)剛度以及軸承中滾子－滾道法向接觸剛度、偏轉(zhuǎn)剛度和法向油膜阻尼進(jìn)行了分析計(jì)算.建立了考慮各支承偏轉(zhuǎn)剛度、阻尼以及各圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、陀螺力矩的改進(jìn)型傳遞矩陣法，對離心鑄造機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的固有頻率、模態(tài)振型以及不平衡響應(yīng)進(jìn)行了計(jì)算分析.研究了滾輪支承間距對離心鑄造機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)橫向振動(dòng)性能的影響.

1 離心鑄造機(jī)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)與力學(xué)分析

臥式離心鑄造機(jī)的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)和受載情況如圖1所示.用于鑄造爐管的型筒由2列4個(gè)半徑為Rw的滾輪支承.2列滾輪沿型筒軸向?qū)ΨQ布置，列間距為L2.每列的2個(gè)滾輪的中心與型筒中心的連線成一定的支承夾角α.各個(gè)滾輪由1對滾子軸承支承在固定于底板的支座上，其中一個(gè)滾輪上安裝有皮帶輪輸入動(dòng)力.

作用于離心鑄造機(jī)型筒上的靜態(tài)載荷為型筒的重力（以單位長度型筒的重力來表示）和滾輪的支承力.安裝有皮帶滾的一個(gè)滾輪除了支承一部分型筒重力外還受到皮帶拉力F1和F2的作用.由于結(jié)構(gòu)的對稱性，各滾輪與型筒的接觸載荷相等.單個(gè)滾輪軸上的載荷可認(rèn)為由該滾輪軸上的一對軸承平均分擔(dān).

圖1 臥式離心鑄造機(jī)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和受載情況Fig.1 Structure system and load condition of horizontal centrifugal casting machine

2 滾輪支承的剛度和阻尼

單個(gè)滾輪對型筒法向支承的動(dòng)力學(xué)模型如圖2所示.滾輪的質(zhì)量遠(yuǎn)小于型筒質(zhì)量，可忽略不計(jì).因此滾輪與型筒接觸時(shí)滾輪可等效成具有線剛度Krw和偏轉(zhuǎn)剛度Kθrw的無質(zhì)量部件，而滾動(dòng)軸承則等效成具有線剛度Krb、偏轉(zhuǎn)剛度Kθrb和阻尼Crb無質(zhì)量部件對滾輪軸進(jìn)行支承.滾輪軸粗短，彎曲剛度很大，可認(rèn)為是剛性的.

根據(jù)Palmgren線接觸載荷－位移關(guān)系［8］，單個(gè)滾輪－型筒間的法向接觸剛度和偏轉(zhuǎn)剛度分別為

圖2 單個(gè)滾輪支承的動(dòng)力學(xué)模型Fig.2 Dynamic model of a single rolling wheel supporting the forming cylinder

式中：Qr為徑向接觸載荷；δr為徑向相對位移；Eeq為等效楊氏模量；Lw為滾輪與型筒的接觸寬度；Mr和θr分別為徑向所在的軸平面內(nèi)滾輪－型筒間的偏轉(zhuǎn)力矩和相對偏轉(zhuǎn)角.

滾子軸承內(nèi)部包含多個(gè)滾子－滾道接觸.根據(jù)各滾子的位移協(xié)調(diào)關(guān)系和軸承的靜力平衡條件可得到軸承的徑向剛度和相應(yīng)軸向平面內(nèi)的偏轉(zhuǎn)剛度分別為

式中：Z為軸承中的滾動(dòng)體數(shù)目；Qn為法向接觸載荷；δn為法向相對位移；Mn和θn分別為法向所在軸平面內(nèi)滾子－滾道間的偏轉(zhuǎn)力矩和相對偏轉(zhuǎn)角；Knbtj，Kθnbtj分別為ψj上內(nèi)外兩滾道間的法向、偏轉(zhuǎn)剛度；ψj為滾子j周向方位角.

軸承中單個(gè)滾子－滾道接觸的動(dòng)力學(xué)模型如圖3所示.圖3中：u1和u2分別為兩接觸表面的滾動(dòng)速度；uz為z向相對速度；b為Hertz接觸半寬；pHertz和pfilm分別表示Hertz接觸壓力分布和油膜壓力分布.滾子－滾道間的法向剛度由彈性接觸剛度和油膜剛度串聯(lián)而成，因此在任一滾子角位置ψj上，內(nèi)外兩滾道間的法向剛度和偏轉(zhuǎn)剛度分別為

圖3 單個(gè)滾子－滾道接觸的動(dòng)力學(xué)模型Fig.3 Dynamic model of a single roller－raceway contact

式中：Kcbij，Kfbij和Kcboj，Kfboj分別為滾子－內(nèi)滾道接觸和滾子－外滾道間的彈性接觸剛度和油膜剛度.

單個(gè)滾子－滾道接觸中的彈性接觸剛度Kcb和偏轉(zhuǎn)剛度Kθnb的計(jì)算可分別參照滾輪－型筒接觸的剛度計(jì)算式（1）進(jìn)行.單個(gè)滾子－滾道接觸中的油膜剛度Kf可采用楊沛然－溫詩鑄線接觸中心膜厚公式［9］導(dǎo)出為

式中：Lr為滾子有效長度；Rx為沿滾子滾道方向上的等效半徑；hc為中心膜厚；G和U為潤滑分析中常用的Dowson量綱一材料和速度參數(shù).

滾動(dòng)軸承中一般只考慮油膜阻尼.滾動(dòng)軸承沿某一徑向的整體油膜阻尼也可表示成各個(gè)角位置上滾動(dòng)體－滾道法向油膜阻尼的函數(shù)為

式中：Qfnj，unj分別為滾子j的法向阻尼力和法向相對速度.

近似認(rèn)為滾子與內(nèi)外滾道間的法向相對速度皆為該滾動(dòng)角位置上內(nèi)外滾道間法向相對速度的一半，則在ψj位置上內(nèi)外滾道間的法向阻尼系數(shù)為

式中：Cnbij和Cnboj分別為滾子j與內(nèi)外滾道接觸的法向阻尼系數(shù).

通過對Reynolds方程積分，彈性流體動(dòng)壓潤滑狀態(tài)下單個(gè)滾子－滾道接觸的法向阻尼系數(shù)可表示為

式中：xin和xout分別為潤滑入口處和出口處的位置坐標(biāo)；x為接觸區(qū)內(nèi)任意一點(diǎn)沿滾動(dòng)方向位置坐標(biāo)；η為與油膜壓力p有關(guān)的黏度，可由潤滑油的黏壓關(guān)系計(jì)算；h為油膜厚度.油膜壓力p的分布和油膜厚度h可通過完全數(shù)值解法確定.

基于上述有關(guān)滾輪－型筒接觸剛度以及滾子軸承剛度與阻尼的分析，圖2所示的型筒到單個(gè)支座間的支承可進(jìn)一步簡化為一個(gè)具有線剛度Krs、偏轉(zhuǎn)剛度Kθrs和阻尼Crs的部件.其中：

式中：下標(biāo)left和right為支承同一滾輪軸的左、右兩個(gè)軸承.

每列滾輪位置上，型筒與底板間沿x，y方向（見圖1）的剛度和阻尼以及繞y，x軸的偏轉(zhuǎn)剛度最終可由Krs，Kθrs，Crs以及相關(guān)結(jié)構(gòu)參數(shù)表示.

3 離心鑄造機(jī)橫向振動(dòng)模型

如圖4所示，用集總參數(shù)法將臥式離心鑄造機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)離散為帶有n個(gè)集中質(zhì)量（節(jié)點(diǎn)）的剛性薄圓盤和n－1個(gè)無質(zhì)量的彈性軸段的多自由度系統(tǒng)（未畫出xOz平面內(nèi)的剛度和阻尼）.選取位移、轉(zhuǎn)角、力矩和剪力作為狀態(tài)變量，通過力學(xué)分析可建立轉(zhuǎn)子起始和終止兩截面狀態(tài)變量間的傳遞方程，再根據(jù)系統(tǒng)的邊界條件即可求出滿足該方程的固有頻率、模態(tài)陣型或強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng).

對于滾輪支承的剛度和阻尼各向異性的情況，系統(tǒng)的橫向振動(dòng)分析不能簡化到單一的軸向平面內(nèi)進(jìn)行，而需沿兩個(gè)正交的方向進(jìn)行.根據(jù)如圖5所示的軸段和圓盤在xOz和yOz兩個(gè)平面內(nèi)的受力分析，系統(tǒng)的第j個(gè)圓盤（質(zhì)點(diǎn)）的運(yùn)動(dòng)方程為

式中：上標(biāo)L，R分別表示圓盤的左右端截面；下標(biāo)j表示圓盤或軸段序號(hào)；Mx，My分別為xOz和yOz平面內(nèi)的彎矩；Qx，Qy分別為沿x，y軸的剪力；l為軸段長度；EI為軸段的抗彎剛度.設(shè)x＝XCeλt，y＝Y(jié)Ceλt，θy＝ΨCeλt，θx＝ΦCeλt，XC，YC，ΨC，ΦC分別為復(fù)位移x，y，θy，θx的復(fù)振幅，t為時(shí)間.對系統(tǒng)的自由振動(dòng)，取λ＝－μ＋iωr，對系統(tǒng)的簡諧強(qiáng)迫振動(dòng)，取λ＝iωs.μ為阻尼衰減系數(shù)，ωr為固有頻率，ωs為外部激勵(lì)頻率.

轉(zhuǎn)子系統(tǒng)自由振動(dòng)時(shí)，圓盤上的力矩和剪力增量只與圓盤位移狀態(tài)變量有關(guān)，因而在任意圓盤左右端截面上的狀態(tài)變量為

式中：Jx，Jy，Jz分別為圓盤繞x，y，z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；ω為圓盤自轉(zhuǎn)角速度；m為圓盤質(zhì)量；Krxx，Krxy，Kryx，Kryy，Kθrxx，Kθrxy，Kθryx，Kθryy，Crxx，Crxy，Cryx，Cryy分別為相應(yīng)的坐標(biāo)方向及其耦合關(guān)系的圓盤上總的外部徑向剛度、偏轉(zhuǎn)剛度、徑向阻尼.

式（11）中的方陣為軸段上的場傳遞矩陣，記為Aj，而式（12）的方陣即為圓盤上的點(diǎn)傳遞矩陣，記為Bj對于圖5所示的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)有

式中：Zn為截面上的狀態(tài)矢量，Zn＝［x，y，ψ，φ，Mx，My，Qx，Qy］T；T為系統(tǒng)的總體傳遞矩陣.

由轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的總體傳遞矩陣與邊界條件可得出系統(tǒng)的頻率函數(shù)進(jìn)而求解系統(tǒng)的各階固有頻率ωr和阻尼衰減系數(shù)μ.受軸承黏性油膜阻尼和圓盤陀螺力矩的影響，系統(tǒng)的各階模態(tài)為復(fù)模態(tài).

對于軸上零件的偏心不平衡量引起的強(qiáng)迫振動(dòng)，外部激勵(lì)頻率ωs＝ω；力矩和剪力增量還包含與圓盤位移變量無關(guān)的不平衡量引起的離心力.在考慮了圓盤離心力的情況下，圖5所示系統(tǒng)的最右端截面與最左端狀態(tài)變量的傳遞關(guān)系不能再如式（12）那樣以總體傳遞矩陣的形式表達(dá)，但對于簡諧的外部激勵(lì)力，可以通過在復(fù)平面內(nèi)搜索第一個(gè)圓盤上的線位移復(fù)振幅XC1和YC1以及角位移復(fù)振幅ΨC1和ΦC1的值，使最右端截面上的邊界條件同時(shí)得以滿足.這樣就可根據(jù)式（10）求得各個(gè)截面上的強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)的復(fù)振幅.

圖4 離心鑄造機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的離散化Fig.4 Discretization of the rotor system in centrifugal casting machine

圖5 軸段和圓盤的受力分析Fig.5 Load analysis of a single shaft and disk

4 實(shí)例計(jì)算與結(jié)果分析

本文以江蘇卓然機(jī)械股份有限公司的某一型號(hào)的離心鑄造機(jī)為研究對象來分析其轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)性能.該鑄造機(jī)相關(guān)結(jié)構(gòu)參數(shù)見表1.

支承滾輪的滾子軸承型號(hào)為NU410，軸承潤滑脂基油的環(huán)境黏度為0.05Pa·s，鑄造機(jī)型筒工作轉(zhuǎn)速為2 700r·min－1.由前文所述的計(jì)算方法得到單個(gè)滾輪－型筒接觸、單個(gè)滾子軸承以及單列滾輪支承的各方向剛度與阻尼為Krw＝3.04MN·mm-1，Krb＝1.26MN·mm-1，Kθrb＝42.00MN·mm·rad－1，Kθrw＝2.53GN·mm·rad－1，Crb＝112N·s·mm－1，Ktxx＝Ktyy＝1.38MN·mm－1，Kθtxx＝Kθtyy＝2.30GN·mm·rad－1，Ctxx＝Ctyy＝363N·s·mm－1.

表1 離心鑄造機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.1 Structural parameters of the centrifugal casting machine

由于支承夾角α為90°，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)退化為對稱系統(tǒng).因同列支承中的2個(gè)滾輪對稱布置，x和y方向耦合剛度和耦合阻尼均為零值.用前述振動(dòng)模型計(jì)算得到離心鑄造機(jī)型筒橫向振動(dòng)的前三階有阻尼固有頻率和振動(dòng)衰減系數(shù)如表2所示.作為比較，表2同時(shí)給出不計(jì)支承偏轉(zhuǎn)剛度時(shí)的固有頻率和衰減系數(shù).可以看出，該型號(hào)離心鑄造機(jī)的工作轉(zhuǎn)速低于但接近第一階臨界轉(zhuǎn)速（3 302r·min－1），鑄造機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)將較為顯著.此外，支承的偏轉(zhuǎn)剛度對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的各階固有頻率和衰減系數(shù)都有一定影響，階數(shù)越低，其影響越顯著.

表2 離心鑄造機(jī)型筒橫向振動(dòng)的前三階固有頻率和衰減因子Tab.2 Natural frequencies and attenuation coefficients of the rotor lateral vibration

由于制造誤差和材料的不均勻性，使得離心鑄造機(jī)的型筒存在一定的偏心不平衡量.圖6給出了離心機(jī)鑄造型筒上不平衡響應(yīng)的最大振幅隨型筒轉(zhuǎn)速的變化曲線.假設(shè)型筒沿軸向均勻偏心，偏心距為0.05mm.可以看出，型筒不平衡響應(yīng)振幅整體上隨轉(zhuǎn)速的增加而增大，而當(dāng)型筒的轉(zhuǎn)動(dòng)頻率與系統(tǒng)的固有頻率相近時(shí)，不平衡響應(yīng)的振幅急劇增加，出現(xiàn)共振.

圖7表示離心鑄造機(jī)型筒橫向振動(dòng)的前三階有阻尼固有頻率比（固有頻率與L1／Lt＝0.2時(shí)的固有頻率之比）與滾輪支承位置之間的關(guān)系.在實(shí)際生產(chǎn)中，2列滾輪支承一般都是沿著型筒軸向?qū)ΨQ布置的，型筒轉(zhuǎn)速也要求低于1階臨界轉(zhuǎn)速.若用單列支承距離型筒端部的長度與型筒總長的比值L1／Lt來表示支承的軸向位置，可以看出L1／Lt≈0.22時(shí)，型筒橫向振動(dòng)的1階固有頻率達(dá)到最大值（以L1／Lt＝0.2時(shí)的固有頻率作為參考頻率ωr，L1／Lt＝0.2）.也就是說當(dāng)型筒轉(zhuǎn)速一定時(shí)，此支承位置使得型筒轉(zhuǎn)速最大程度地偏離1階臨界轉(zhuǎn)速，從而減小不平衡響應(yīng)的振幅值.

圖6 離心鑄造機(jī)型筒的不平衡響應(yīng)曲線Fig.6 Unbalance response curve of the forming cylinder

圖7 滾輪支承的軸向位置對型筒固有頻率比的影響Fig.7 Influence of the axial position of rolling wheel on natural frequencies ratio of the forming cylinder

5 結(jié)論

（1）在考慮支承偏轉(zhuǎn)剛度、型筒轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和陀螺效應(yīng)的基礎(chǔ)上對傳統(tǒng)的傳遞矩陣法進(jìn)行了改進(jìn)，建立更為準(zhǔn)確的離心鑄造機(jī)橫向振動(dòng)模型.

（2）分析了離心鑄造機(jī)型筒橫向振動(dòng)的有阻尼固有頻率、不平衡響應(yīng)以及滾輪支承的軸向位置對離心鑄造機(jī)型筒振動(dòng)特性的影響.研究結(jié)果表明，2列滾輪支承的間距約為型筒總長的0.56倍時(shí)，型筒橫向振動(dòng)的一階固有頻率最高，不平衡響應(yīng)最不顯著，支承效果最佳.

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