王潔，黃益生

（三明學(xué)院信息工程學(xué)院，福建三明365004）

與對合矩陣可交換的反對合矩陣

王潔，黃益生

（三明學(xué)院信息工程學(xué)院，福建三明365004）

對合矩陣；反對合變換；矩陣的相似關(guān)系；特征值

眾所周知矩陣的乘法不滿足交換律。討論兩個矩陣的乘積是否可交換的問題，歷來是矩陣論中的熱門話題。近年來，這方面的研究文章仍然時有出現(xiàn)。在文獻[1]中，作者討論了與對稱矩陣可交換的反對稱矩陣。在文獻[2]中，作者討論了這個問題的反問題，即與反對稱矩陣可交換的對稱矩陣。在文獻[3]中，作者討論了對合矩陣與反對合矩陣的有關(guān)性質(zhì)。在本文中將初步探討與對合矩陣可交換的反對合矩陣。主要結(jié)果如下：

（1）給出了與n階對合矩陣可交換的反對合矩陣的一種表示；

（2）對于2階對合矩陣A，如果A≠±I（I是單位矩陣），那么與A可交換的反對合矩陣一共有4個，它們是±iI和±iA；

（3）對于3階對合矩陣A，如果A≠±I，那么與A可交換的全體反對合矩陣為±iI和±iA，以及

其中k是任意復(fù)數(shù)，l是任意非零復(fù)數(shù)；當(dāng)tr（A）=-1時，P是A與diag{1，-1，-1}這一對相似矩陣之間的相似因子；當(dāng)tr（A)=1時，P是A與diag{-1，1，1}之間的相似因子。

本文引用文獻[4～5]的符號、術(shù)語和結(jié)論，不再另加說明。

定義[3]設(shè)A是數(shù)域F上的一個n階方陣。若A2=I，則稱A為一個對合矩陣；若A2=-I，則稱A為一個反對合矩陣，這里I是n階單位矩陣。

根據(jù)上述定義，不難看出，在任意數(shù)域上，對合矩陣都有特征值，其特征值只能為1或-1，在復(fù)數(shù)域上，反對合矩陣的特征值只能為i或者-i。

命題1[6]設(shè)A是數(shù)域F上的一個n階對合矩陣。如果A一個特征值為1（或-1），那么它只能是n階單位矩陣I（或I的負矩陣-I）；如果A既有特征值1，又有特征值-1，那么它相似于準對角矩陣diag{Ir，-In-r}，這里r是特征值1的幾何重數(shù)，Ir是r階單位矩陣。

注意到diag{Ir，-In-r}實際上是一個對角矩陣，根據(jù)命題1，每一個n階對合矩陣（在任意數(shù)域上）都可對角化。下面的命題2表明，每一個n階反對合矩陣（在復(fù)數(shù)域上）都可對角化。

命題2[7]設(shè)A是復(fù)數(shù)域上的一個n階對合矩陣。如果A只有只有一個特征值為i（或-i），那么它只能是純量矩陣iI（或-iI）；如果A既有特征值i，又有特征值-i，那么它相似于準對角矩陣diag {iIr，iI}，這里r是特征值1的幾何重數(shù)，Ir是r階單位矩陣。

命題3在復(fù)數(shù)域上，全體2階反對合矩陣可以分成5種類型：

其中I是2階單位矩陣，k是任意復(fù)數(shù)，l是任意非零復(fù)數(shù)。

證明：設(shè)A是一個2階反對合矩陣。根據(jù)命題2，A是可對角化的，并且它的兩個特征值只能為i 或-i。如果A的特征值全為i，因為A是可對角化的，特征值i的幾何重數(shù)等于2，從而iI-A的秩等于零，因此iI-A是零矩陣，即iI-A=0，故A=iI。類似地，可以證明，如果A的特征值全為-i，那么A=-iI。

另一方面，容易驗證，上述5類矩陣都是反對合的（其中iI和-iI這兩個矩陣各自構(gòu)成一個類)。因此在復(fù)數(shù)域上，全體2階反對合矩陣可以分成上述5種類型。

下面討論與對合矩陣可交換的反對合矩陣。

設(shè)A是復(fù)數(shù)域上的一個n階對合矩陣。根據(jù)命題1，矩陣A相似于diag{Ir，-In-r}，其中r是特征值1的幾何重數(shù)，當(dāng)r=n時，有A=I,當(dāng)r=0時，有A=-I。顯然，對于這兩種情形，每一個n階反對合矩陣都與A可交換。不妨設(shè)r≠n且r≠0。因為A相似于diag{Ir，-In-r}，存在一個n階可逆復(fù)矩陣P，使得P-1AP=diag{Ir，-In-r},即A=Pdiag{Ir，-In-r}P-1。設(shè)X是與A可交換的反對合矩陣，則AX=XA，即

由最后一個等式，容易驗證Y是形如diag{B1,B2}的準對角矩陣，其中B1是一個r階小方陣，B2是一個nr階小方陣。已知X是反對合的，那么由Y=P-1XP可見，Y也是反對合的。再由Y=diag{B1,B2}，不難看出B1,B2都是反對合的。從而由X=PXP-1看到與A可交換的反對合矩陣可以表示成Pdiag{B1,B2}P-1，其中小方陣B1與B2都是反對合的。另一方面，設(shè)B1是一個r階反對合矩陣，B2是一個n-r階矩陣。令

容易驗證，X是一個n階反對合矩陣，并且A和X是可交換的。綜上所述，得到定理1。

定理1設(shè)A是復(fù)數(shù)域上的一個n階對合矩陣，并設(shè)r是特征值1的幾何重數(shù)。

（1）如果r=n或r=0（即A=±I），那么每一個n階反對合矩陣都與A可交換。

（2）如果0＜r＜n，那么與A可交換的反對合矩可以表示成Pdiag{B1,B2}P-1，其中B1是任意r階反對合矩陣，B2是任意n-r反對合階矩陣，P是A與diag{Ir，-In-r}這一對相似矩陣之間的一個相似因子。

利用定理1，可以求出與2階對合矩陣或3階對合矩陣可交換的全體反對合矩陣。

事實上，設(shè)A是復(fù)數(shù)域上的一個2階對合矩陣。如果A≠±I，那么A的兩個特征值為1和-1,。因為A是可對角化的，存在一個2階可逆復(fù)矩陣P，使得

根據(jù)定理1，與A可交換的反對合矩陣為Pdiag{b1,b2}P-1，其中b1與b2是兩個復(fù)數(shù)（1階方陣）使得=-1,且=-1，所以b1=±i且b2=±i，因此與A可交換的反對合矩陣一共有4個，它們是Pdiag{±i，±i}P-1。這4個矩陣也可以寫成±iPdiag{1，1}P-1和±iPdiag{1，-1}P-1，顯然前者就是純量矩陣±iI。由于A= Pdiag{1，-1}P-1，后者就是±iA。這就得到

推論1設(shè)A是復(fù)數(shù)域上的一個2階對合矩陣。

（1）如果A=±I，那么每一個2階反對合矩陣都與A可交換。

（2）如果A≠±I，那么與A可交換的反對合矩陣一共有4個，它們是±iI和±iA。

其次，設(shè)A是一個3階對合矩陣。如果A≠±I，那么A的3個特征值為1，-1，-1或1，1，-1。因為A是可對角化的，當(dāng)它的特征值為1,-1，-1時，存在一個3階可逆復(fù)矩陣P，使得

根據(jù)定理1，與A可交換的反對合矩陣為Pdiag{b1，B2}P-1，其中=-1（即b1=±i），并且B2是任意2階反對合矩陣。用±i代替Pdiag{b1，B2}P-1中的b1，并用命題3中5中類型的2階反對合矩陣分別代替B2，就得到與A可交換的全體反對合矩陣，它們是

其中k是任意復(fù)數(shù)，l是任意非零復(fù)數(shù)。

考察前兩類3階反對合矩陣，不難看出，它們可以合并成±iI和±iPdiag{1，-1，-1}P-1。注意到A=Pdiag{1，-1，-1}P-1，因此這兩類矩陣就是±iI和±iA。在考慮第三、四類兩矩陣，由于k是任意復(fù)數(shù)（因而可以用-k代替k），這兩類矩陣可以合并成

由此可見，上一段中的五類3階反對合矩陣也可以表示成這一段中的六類矩陣。

當(dāng)A的3個特征值為1,1，-1時，由于diag{1，1，-1}相似于diag{-1，1，1}，根據(jù)矩陣相似關(guān)系傳遞性，A相似于diag{-1，1，1}。于是存在一個3階可逆復(fù)矩陣，使得

與前面討論類似，可以證明，與A可交換的反對合矩陣也是上一段中的6類矩陣，其中P是A與diag{-1，1，1}這一對相似矩陣之間的一個相似因子。

注意到當(dāng)A≠±I，有tr（A）=±1，根據(jù)上面討論因此得到：

推論2設(shè)A是復(fù)數(shù)域上的一個3階對合矩陣。

（1）如果A=±I，那么每一個3階反對合矩陣都與A可交換。

（2）如果A≠±I，那么與A可交換的反對合矩陣為±iI和±iA，以及

其中k是任意復(fù)數(shù)，l是任意非零復(fù)數(shù)；當(dāng)tr（A)=-1時，P是A與diag{1，-1，-1}之間的一個相似因子；當(dāng)tr（A)=1時，P是A與diag{-1，1，1}之間的一個相似因子。

則P是可逆的，并且P-1AP=diag{1，-1，-1}。經(jīng)計算，有

于是把所求的矩陣P和P-1代入推論2（2）后4類矩陣的表達式中，就可以求出與A可交換的全體反對合矩陣，它們是±iI和±iA，以及

其中k是任意復(fù)數(shù)，l是任意非零復(fù)數(shù)。

則P是可逆的，并且P-1AP=diag{-1，1，1}。經(jīng)計算，有

現(xiàn)在把所求的矩陣P和P-1代入推論2（2）后4類矩陣的表達式中，就可以求出與A可交換的全體反對合矩陣，它們是±iI和±iA，以及

其中k是任意復(fù)數(shù)，l是任意非零復(fù)數(shù)。

[1]黃益生，姚海鷺．與對合矩陣可交換的反對合矩陣［J］．龍巖學(xué)院學(xué)報，2010,28（2）:1-4．

[2]王春燕，李立等.與反對稱矩陣可交換的對合稱陣［J］．齊齊哈爾大學(xué)學(xué)報，2011，27（6）:79-82．

[3]鄒本強.對合矩陣與反對合矩陣的若干性質(zhì)[J].金華職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報，2007,7（2）:88-90.

[4]張禾瑞，郝鈵新．高等代數(shù)［M］．4版．北京:高等教育出版社，1999．

[5]丘維聲．高等代數(shù)［M］．2版.北京:高等教育出版社，2003．

[6]董慶華，顏寧生.對合矩陣的相似標準形與分解形式[J].邵陽學(xué)院學(xué)報，2009，6（4）:12-14.

[7]黃益生，陳椰婷.反對合矩陣的相似對角化[J].三明學(xué)院學(xué)報，2013,30（2）:1-5.

Anti-Involutory Matrices which Are Involutory MatricesCommutative with

WANG Jie,HUANG Yi-sheng
(School of Information Engineering,Sanming College,Sanming 365004,China)

involutory matrix;anti-involutory matrix;similar relation of matrices;eigenvalue

O151.21

A

1673-4343（2013）04-0007-06

2013-01-20

福建省教育廳高等學(xué)校教學(xué)質(zhì)量工程資助項目（ZL0902/TZ(SJ)）

王潔，女，福建福安人，大學(xué)生;通訊作者:黃益生，男，福建龍巖人，教授。研究方向:代數(shù)。