陳禮煒

（三明學院機電工程學院，福建三明365004）

有限粒子數(shù)效應對任意維量子氣體熱力學性質的影響

陳禮煒

（三明學院機電工程學院，福建三明365004）

對于束縛在任意維諧振勢中的理想玻色氣體和費米氣體，有限粒子效應對其熱力學性質將會產生影響。估計出在不同的情況下，有關于各個熱力學量的相對修正。并對兩種受限量子氣體所得結果進行比較，得出結論:有限粒子數(shù)效應對于凝聚狀態(tài)下的玻色氣體（玻色氣體在系統(tǒng)中發(fā)生玻色愛因斯坦凝聚）的影響要比費米氣體和正常的玻色氣體（沒有發(fā)生玻色愛因斯坦凝聚的玻色氣體）顯著得多。

量子氣體；有限粒子數(shù)；諧振勢；熱力學性質

近年來，人們對于對限尺度系統(tǒng)的熱力學性質的研究產生了廣泛的興趣[1-6]。這在一定程度上推動了介觀物理與納米技術的發(fā)展。在真實的系統(tǒng)中，例如在實驗中觀察玻色愛因斯坦凝聚（BEC）[7-9]以及費米氣體的簡并[10]，原子通常是被束縛在隨著外勢變化的空間中。在一般情況下，受限的粒子數(shù)量是有限的，所以受限系統(tǒng)的有限粒子數(shù)效應對其性質的影響被廣泛地進行研究[11-14]。在本文中，將把前人的工作推廣到D維諧振勢束縛的量子氣體系統(tǒng)，并且比較有限粒子數(shù)對于受限的玻色氣體和費米氣體特性影響的區(qū)別。研究結果表明，有限粒子數(shù)效應對于凝聚狀態(tài)下的玻色氣體（玻色氣體在系統(tǒng)中發(fā)生玻色愛因斯坦凝聚）的影響要比費米氣體和正常的玻色氣體（沒有發(fā)生玻色愛因斯坦凝聚的玻色氣體）顯著得多。

1 費米氣體和正常玻色氣體的熱力學量的一般表達式

首先考慮沒有相互作用的量子氣體束縛在D維諧振勢中，其中D維諧振勢沿著方向i的頻率為ωi（i=0,1,2，…，D），單粒子能級表達式為

其中?=h/2π，h為普朗克常數(shù)。

假設巨正則系綜可以有效的描述所研究的系統(tǒng)，這是一個非常重要的假設。嚴格地說，正則系綜理論可能更適合于真實的實驗裝置，其中粒子數(shù)量是基本固定的。由于這個原因，正則系綜的處理方法被廣泛地應用于有限量子氣體系統(tǒng)[15-16]。對于有些統(tǒng)計量的漲落幅度，用兩種系綜處理之后，卻有可能產生顯著的差異[15]。然而，從兩種系綜出發(fā)所得到的熱力學量的差別與由分立能譜產生的有限尺度效應相比卻是相對微小的，例如基態(tài)粒子數(shù)N0。因此，巨正則系綜仍然被廣泛應用于小系統(tǒng)的尺度效應的研究[11-14]。

在巨正則系綜中，系統(tǒng)的巨配分函數(shù)Ξ可以表達為

其中β=1/kBT，kB是玻爾茲曼常數(shù)，T是溫度，z=exp(βμ）是逸度，μ是系統(tǒng)的化學勢。為簡單起見，與粒子內部結構有關的簡并暫不考慮。在之前以及之后的方程中，上面的符號代表的是玻色系統(tǒng)，下面的符號代表的是費米系統(tǒng)。

按照通常的處理方法，在熱力學極限條件下，就是將（2）式中的求和符號換成積分符號，便可以輕松的得到巨配分函數(shù)的表達式。然而，在粒子數(shù)有限的情況下，這種處理方法可能會導致顯著的偏差。有關于對巨配分函數(shù)的計算，一種更加精確的處理方法是應用歐拉-麥克勞林公式，如式（3）[17]。

只考慮由于有限粒子數(shù)效應引起的第一項非零修正，可以得到巨配分函數(shù)的表達式

其中Γ(v)是伽瑪函數(shù)。注意到方程（4）中不包含基態(tài)的貢獻，且僅對費米氣體和正常的玻色氣體有效。有關于凝聚狀態(tài)下的玻色氣體的性質，將在第4節(jié)單獨討論。

在費米氣體和正常的玻色氣體的情況下，對于任意取值的v，hv(z)是收斂的。這個問題可以這樣解釋：對于費米氣體，hv(z)可以簡化為費米積分fv(z)[18]，對于在0＜z＜∞范圍內的任意值v，它的值是收斂的。對于玻色氣體，hv(z)簡化為玻色積分gv(z)[18]，對于任意的v，在0＜z＜1范圍內收斂，當v≤1時z=1，玻色積分的值發(fā)散。對于正常的玻色積分，即v為在0＜z＜1范圍內的任意值，gv(z)是收斂的。

從巨配分函數(shù)出發(fā)，可以很容易地得到系統(tǒng)的熱力學量。例如，可以分別得出內能E，比熱C的表達式如(6)～(7)：

為了更清晰地表達有限粒子數(shù)效應對于熱力學量的修正，引進一個系數(shù)z0，使得z0滿足

可以很容易看出z0是系統(tǒng)處于熱力學極限近似情況下的逸度。從方程（8）和方程（9）出發(fā)，僅僅保留到xi的二次方項，可以得出：

通過方程（6）（7）（9）和（10），可以分別得出系統(tǒng)的內能和熱容的表達式。

以上推導中，僅僅考慮了有限粒子數(shù)效應的一級非零修正項，忽略了有關于xi的兩級以上的修正。從方程（3）可以得出，被忽略的第一個非零項包含了xi的三次方項，這意味著，以上所得結論的誤差的數(shù)量級為N-3/D。

2 強簡并費米氣體的情況

對于強簡并的費米氣體，lnz0＞＞1，通過索末菲引理，方程可以展開為

通過方程（13），可以得出內能E和熱容C的表達式如式（14）和（15）。

3 強簡并情況下的玻色氣體

在玻色系統(tǒng)中，當玻色-愛因斯坦凝聚發(fā)生時，即基態(tài)粒子數(shù)N0＞＞1，基態(tài)的貢獻將不能被忽略，因此在第2節(jié)中所給出的結果將不再適用。通過進一步對基態(tài)的考慮，玻色氣體的巨配分函數(shù)Ξ可以表示為

再加上方程（17）（18），可以得出

其中，只考慮了有限粒子數(shù)效應的一級修正項。通過方程（21）,可以容易地得到熱容的表達式

以上的結果僅僅對D≥2成立，因為，對于D=1，ζ（D）的值會發(fā)散。對于理想玻色氣體束縛在一維的諧振勢中，它的巨配分函數(shù)Ξ的表達式如式（23）所示

由此求出總粒子數(shù)和內能的表達式分別為(24)(25)。

方程（24）（25）可以運用數(shù)值計算，探討有限粒子數(shù)效應對于氣體性質的影響[12]。

對于一維凝聚的玻色氣體，z→exp(x1/2)是不合理的，因為這會導致大約1/N0的相對誤差，這與有限粒子數(shù)引起的相對修正是同一個數(shù)量級的。因此，如何解析得到其有限粒子數(shù)的修正是后續(xù)需要研究的問題。

值得注意的是在本節(jié)和第2節(jié)中所得到的對于玻色氣體的解析結果不能涵蓋在凝聚溫度附近的情況。這不像在無限的系統(tǒng)中存在一個極限臨界點，在有限的系統(tǒng)中相變溫度附近的物理量在某一特定的區(qū)間內，可能變化得非常平穩(wěn)。在這個區(qū)間內，與溫度有關的物理量要比其它的區(qū)間復雜得多，這個問題在參考文獻[14]中有做具體的討論。

4 討論

為了更清晰地展示有限粒子數(shù)效應對兩種受限量子氣體性質的影響，如圖1所示，繪制了在各向同性的諧振勢束縛下，熱容隨溫度變化的特性曲線。圖1（a）和（b）分別表示費米氣體和玻色氣體。圖中實心方形點表示的是本文所得的解析結果；實線是嚴格的數(shù)值計算，對各量子態(tài)求和所得出的結果；虛線是在熱力學極限條件下所得結果。可以清晰地看出對于費米氣體和正常的玻色氣體，由于有限粒子數(shù)效應引起的熱容修正非常的小，只有在放大的插圖中才能看到。然而，對于凝聚狀態(tài)下的玻色氣體，有限粒子數(shù)效應對于熱容的修正相對較大，可以在主圖中直接看到。從圖中還可以看出，本文所得到的解析解與數(shù)值計算所得結果十分吻合，它們的差別即使在放大的圖中也難以分辨。

圖1 熱容隨溫度變化的特性曲線

圖1對于費米氣體和玻色氣體，在粒子數(shù)為1000的情況下，熱容隨溫度的變化曲線。實心方點、實線和虛線分別表示本文所得到的解析結果，嚴格的數(shù)值計算和熱力學極限條件下所得結果。

5 結論

本文研究了理論量子氣體束縛在D維諧振勢中的熱力學性質，討論了有限粒子數(shù)效應對于系統(tǒng)性質的影響，估算出在不同情況下，有限粒子數(shù)效應引起的熱力學量的修正的數(shù)量級，展示了對于玻色氣體和費米氣體的區(qū)別。得出對于凝聚的玻色氣體，有限粒子數(shù)效應要比對于費米氣體和正常的玻色氣體顯著得多。

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The Effects of a Finite Number of Particles on Two Trapped Quantum Gases

CHEN Li-wei
(Mechanic and Electronic Engineering College,Sanming University,Sanming 365004,China)

The effects of a finite number of particles on the thermodynamic properties of ideal Bose and Fermi gases trapped in any dimensional harmonic potential are investigated.The orders of relative corrections to the thermodynamic quantities due to the finite number of particles are estimated in different situations.The results obtained from the two trapped quantum gases are compared,and consequently,it is shown that the finite-particle-number effects for the condensed Bose gas (a Bose gas with BEC occurring in the system)are much more significant than those for the Fermi gas and normal Bose gas (a Bose gas without BEC).

quantum gas;finite particle number;harmonic potential;thermodynamic

O413.1

A

1673-4343（2013）04-0001-06

2013-04-29

三明學院科研基金項目（B201202/G）

陳禮煒，女，福建永安人，講師，博士。研究方向:統(tǒng)計物理，工程熱力學，清潔能源利用。