林玉花，王海娜，陳婉琳

(福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，福建福州350108)

一類非自治兩種群浮游生物模型的概周期解

林玉花，王海娜，陳婉琳

(福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，福建福州350108)

考慮一個非自治的浮游植物兩種群競爭模型，通過利用微分方程比較原理和構(gòu)造適當(dāng)?shù)腖yapunov函數(shù)，獲得了一組保證系統(tǒng)存在唯一的全局漸進(jìn)穩(wěn)定的概周期解的充分性條件。數(shù)值模擬表明了結(jié)果的可行性。

浮游植物；競爭；毒素；持久性；概周期解

研究如下模型

的持久性及概周期解的存在性、唯一性和穩(wěn)定性，其中u（t），ν（t）分別表示兩競爭的浮游植物種群在任意時刻t的種群密度，n是正整數(shù)。系統(tǒng)（1）的系數(shù)滿足條件：

（H1）ki（t），αi（t），βi（t），γi（t），i=1，2是具有正的上下界的連續(xù)概周期函數(shù)。

基于生態(tài)學(xué)含義，假設(shè)系統(tǒng)（1）的解（u（t），ν（t））T滿足的初值條件

學(xué)者們對毒素已經(jīng)進(jìn)行了深入的研究［1－5］，尤其對上述模型n=1的情形進(jìn)行了更為詳細(xì)的研究，獲得了很多很好的成果。事實(shí)上，1974年，文［1］在假設(shè)系數(shù)為正的常數(shù)下，嘗試使用上述模型來刻畫兩種群互相釋放毒素的競爭模型，但是未對模型展開研究。1996年，文［2］對文［1］中的模型的正平衡點(diǎn)穩(wěn)定性情況進(jìn)行了詳盡的研究；但是較少有學(xué)者對n=2的情形展開研究。文［3］提出一類兩種群競爭模型，毒素項(xiàng)用非線性形式γ1u2ν2來刻畫，且另外一個種群不會釋放毒素（γ2=0），他們認(rèn)為這種模型的數(shù)值模擬圖更接近實(shí)際測得的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。注意到文［3］主要結(jié)果的證明有錯誤的，文［4］中給出了保證系統(tǒng)正平衡點(diǎn)全局穩(wěn)定的充分性條件。注意到哪怕是對n=2，γ2≠0的情形至今尚未有學(xué)者進(jìn)行研究，更不用說n是任意整數(shù)的情形了。因此這方面的研究還有待進(jìn)一步深入展開。此外，本研究組認(rèn)為合理的假設(shè)應(yīng)該是兩個種群均能互相釋放毒素，從而用系統(tǒng)（1）能較好地刻畫這一假設(shè)。

1 持久性

易知系統(tǒng)（1）的任意滿足初值條件（2）的解是正的。

引理1［6］若a＞0，b＞0且當(dāng)t≥t0和x（t0）＞0時有（t）≥（≤）x（b-ax），則有

證明由條件（H2）知道存在足夠小的ε＞0使得

由系統(tǒng)（1）的第一個方程有

由引理1有

類似地，由系統(tǒng)（1）的第二個方程可得

由（4）和（5）可知，對上述ε＞0，存在足夠大的T＞0，使得當(dāng)t＞T時有

由（6）的第二個不等式及系統(tǒng)（1）的第一個方程可知，當(dāng)t＞T時有

由（3）的第一個不等式和引理1有

在（7）式令ε→0有

當(dāng)t＞T時，由系統(tǒng)（1）的第二個方程及與（6）～（8）同樣的分析方法有

由于Mi，mi，i=1，2是跟系統(tǒng)的解無關(guān)的正常數(shù)，故在條件（H2）成立的情況下，滿足初始條件（2）的系統(tǒng)（1）是持久的。

定理2假設(shè)條件（H2）成立，此外下列條件（H3）：

成立，則系統(tǒng)（1）是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的。

證明設(shè)（u（t），ν（t））T和（u*（t），ν*（t））T是系統(tǒng)（1）的任意兩個滿足初始條件（2）的正解，由定理1可知，存在T＞0，使得對?t＞T，有

沿著系統(tǒng)（1）的正解計(jì)算V1（t）的導(dǎo)數(shù)有

其中θ=min{Δ1，Δ2}，對上式兩端從T到t積分可得

從而有

定理2證畢。

2 概周期解

定理3若（H1）及定理2的條件成立，則系統(tǒng)（1）存在唯一的正概周期解，且該解是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的。

假設(shè)（U（t），X（t））T=（u（t），ν（t），x（t），y（t））T，（U1（t），X1（t））T=（u1（t），ν1（t），x1（t），y1（t））T是系統(tǒng)（10）

在K×K上的任意兩個不同的解，其中

定義r=‖U-X‖，則mr，Mr為單調(diào)遞增的正定函數(shù)；證明存在常數(shù)L＞0使得

成立。事實(shí)上，當(dāng)t＞T時，由微分中值定理及絕對值的性質(zhì)有成立。

由式（9）及式（12），（13）立即可得

3 數(shù)值模擬

給出一個例子來說明本文主要結(jié)果的可行性。

從而系統(tǒng)（16）滿足定理3條件，有唯一的一致漸進(jìn)穩(wěn)定的概周期解，圖1表明此結(jié)果的可行性。

圖1 系統(tǒng)(16)滿足初值條件（2.21,2.40）T，（2.01,2.30）T及（1.80,2.10）T解（u（t），ν（t））T的模擬圖

4 結(jié)論

由條件（H2），發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的持久性與毒素?zé)o關(guān)。通過構(gòu)造Lyapunov函數(shù)、采用高次項(xiàng)因式分解和放縮的方法，得到系統(tǒng)（1）在條件（H1）、（H2）、（H3）成立時存在唯一的全局漸進(jìn)穩(wěn)定的概周期解。但仍然有許多有趣且具有實(shí)際意義的問題未解決，比如這些條件均為充分性條件，對于該結(jié)論的必要條件是否一定與毒素有關(guān)，仍不得而知。再比如當(dāng)n是有限的正實(shí)數(shù)時，系統(tǒng)是否仍然有唯一的全局漸進(jìn)穩(wěn)定的概周期解，如果有，那么條件是否一樣？對于這些問題，有待以后研究。

［1］MAYNARD－SMITH J.Models in ecology［M］.Cambridge：Cambridge University Press，1974.

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［7］何崇佑.概周期微分方程［M］.北京：高等教育出版社，1992.

Almost Periodic Solutions of a Non-autonomous Two Species Phytoplankton Model

LIN Yu-hua,WANG Hai-na,CHEN Wan-lin
(College of Mathematics and Computer Science,Fuzhou University,Fuzhou 350108,China)

A non-autonomous two species allelopathic phytoplankton model is considered in this paper.By applying comparison theorem of differential equation and constructing a suitable Lyapunov function,a set of conditions which ensure the existence of an unique and globally asymptotically stable almost periodic solutions are obtained.Numeric simulation shows the feasibility of main results in this paper..

phytoplankton;competition;toxicity;permanence;almost periodic solution

O175.14

A

1673-4343（2013）02-0006-06

2012-12-09

福建省自然科學(xué)基金(2011J01007)；福建省科技創(chuàng)新平臺計(jì)劃項(xiàng)目(2009J1007)

林玉花，女，福建廈門人，碩士研究生。研究方向：生物數(shù)學(xué)。