許榮良

（江蘇教育學(xué)院運(yùn)河分院，江蘇 邳州 221300）

解析幾何是17世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展的重大成果之一，其本質(zhì)是用代數(shù)方法研究圖形的幾何性質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要數(shù)學(xué)思想，其主要內(nèi)容是計(jì)算和證明，而計(jì)算問題則主要是距離和角的計(jì)算。其中距離的計(jì)算主要包括點(diǎn)、線、面之間距離的計(jì)算，而點(diǎn)到直線的距離處在關(guān)鍵的位置上。

一、教材分析

本課內(nèi)容選自高中數(shù)學(xué)蘇教版必修2第二章第一節(jié)，這一節(jié)是研究平面元素的位置關(guān)系，由定性研究到定量研究的第二節(jié)課。它是解決點(diǎn)線、線線距離的基礎(chǔ)，也是研究直線與圓、圓與圓位置關(guān)系的重要工具，同時(shí)為后面學(xué)習(xí)圓錐曲線作準(zhǔn)備。教材試圖讓學(xué)生經(jīng)歷探索點(diǎn)到直線距離公式并論證這個(gè)公式的過程，深刻領(lǐng)會(huì)蘊(yùn)涵于其中的數(shù)學(xué)思想和方法，如數(shù)形結(jié)合、算法、函數(shù)等；并讓學(xué)生享受作為學(xué)習(xí)主體進(jìn)行探究、發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的樂趣。

教材中以算法語言的形式給出了兩種推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式的方法，尤其是第二種方法是通過構(gòu)造形解決數(shù)的問題，然后再把形代數(shù)化，這一正一逆，使數(shù)與形達(dá)到了完美的結(jié)合，其蘊(yùn)含的重要思想，需要學(xué)生細(xì)細(xì)體會(huì)。

二、教學(xué)目標(biāo)

針對(duì)咱們師范學(xué)校學(xué)生的特點(diǎn)，結(jié)合本教材，本著低起點(diǎn)、高要求、循序漸進(jìn)，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性的原則，我制定了以下教學(xué)目標(biāo)：

1、掌握點(diǎn)到直線的距離公式，并能運(yùn)用它解決一些簡(jiǎn)單問題；

2、通過運(yùn)用面積法推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)過程，使學(xué)生進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)結(jié)合思想在解決具體問題中的重要作用；

3、讓學(xué)生經(jīng)歷自主探究，合作交流的過程，充分感受點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)過程；同時(shí)通過此過程，滲透算法、化歸等思想，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、勇于創(chuàng)新的精神。

三、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)思路以及其簡(jiǎn)單的應(yīng)用作為本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)。

教學(xué)難點(diǎn)：點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)思路。

四、教法、學(xué)法

類比探究式教學(xué)模式。即：從學(xué)生熟知的實(shí)際生活背景出發(fā)，通過由特殊到一般、從具體到抽象的課堂教學(xué)方式，引導(dǎo)學(xué)生探索點(diǎn)到直線的距離的求法。讓學(xué)生在合作交流、共同探討的氛圍中，認(rèn)識(shí)公式的推導(dǎo)過程及知識(shí)的運(yùn)用，進(jìn)一步提高學(xué)生幾何問題代數(shù)化的數(shù)學(xué)思維能力。

五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

四環(huán)節(jié)教學(xué)法。

即：

（一）創(chuàng)設(shè)情境 設(shè)趣激疑

如圖1,在鐵路的附近,有一大型倉庫.現(xiàn)要修建一條公路與之連接起來.那么怎樣設(shè)計(jì)能使公路最短？最短路程又是多少？

圖1

注：首先從一個(gè)具體的實(shí)際問題入手，引導(dǎo)學(xué)生將其轉(zhuǎn)化為解析幾何問題，建立坐標(biāo)系，由此引出本節(jié)課題，同時(shí)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)建模能力。

（二）合作探究 深化認(rèn)識(shí)

點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)過程 如圖2。

問題1求P(2,0)點(diǎn)到直線x-y=0的距離；

問題2如何求P(4,2)點(diǎn)到直線4x-3y+2=0的距離。

問題3如何求點(diǎn)P(x0,y0)到直線Ax+By+C=0(其中A2+B2=0)的距離。

圖2

這個(gè)環(huán)節(jié)的教學(xué)需要通過三個(gè)具體的問題實(shí)現(xiàn)的。而這三個(gè)問題是由特殊到一般、從具體到抽象的過程，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。

第一個(gè)問題雖然簡(jiǎn)單，但是是后面兩個(gè)問題的基礎(chǔ)。通過平均3到4位同學(xué)一組放手讓學(xué)生討論解決這個(gè)問題的方法，在學(xué)生討論的過程中，適時(shí)的引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度分析問題，進(jìn)而尋求到不同的方法。

結(jié)合學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)水平，他們可能會(huì)想到的方法不外乎會(huì)有以下幾種（圖3）：

（1）兩點(diǎn)間的距離公式；

圖3

當(dāng)然，也可能會(huì)有同學(xué)采用以下這兩種方法：

（4）解三角形；

（5）函數(shù)的思想：點(diǎn)到直線距離的最小值問題.

注：由于這個(gè)問題比較簡(jiǎn)單，可以通過讓學(xué)生結(jié)合找到的方法解決這個(gè)問題并相互驗(yàn)證方法的正確性，體驗(yàn)成功的喜悅。

在解決了問題一的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生尋找問題二的解決辦法，這一過程，最重要的是將其劃歸為第一個(gè)問題的解決辦法：即過點(diǎn)P向X軸和Y軸作垂線構(gòu)造直角三角形，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)第一個(gè)問題的解決方法依然適用于問題二。

有了以上兩個(gè)問題的解決作為鋪墊，第三個(gè)問題的解決就順理成章。

雖然在前面兩個(gè)問題的解決中并沒有要求學(xué)生說出詳細(xì)的思路，但是經(jīng)過兩次針對(duì)性的訓(xùn)練，學(xué)生心里應(yīng)該有一個(gè)大概的思路，因此該問題的解決可分成以下三個(gè)層次進(jìn)行：

層次一：學(xué)生說一說面積法推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式的思路；

層次二：師生共同用算法框圖的形式把思路寫出來；

層次三:師生合作推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式的詳細(xì)過程。

最終推導(dǎo)得出點(diǎn)到直線的距離公式：

點(diǎn) P（x0,y0）到直線 Ax+By+C=0（其中 A2+B2=0）的距離為：

（三）應(yīng)用舉例 鞏固提高

為了能夠讓學(xué)生迅速的掌握點(diǎn)到直線的距離公式，可以通過以下三個(gè)具體的例子及相關(guān)練習(xí)進(jìn)行針對(duì)性的訓(xùn)練。

例1.求下列點(diǎn)到直線的距離：

（1）A（－2，3）l:3x＋4y＋3＝0；

（2）B（1，-2）l:4x＋3y＝0；

（3）D（2，-1）l:2y=3

思考：

①當(dāng)A＝0或B＝0時(shí)，怎樣求點(diǎn)到直線的距離？

②當(dāng)A＝0或B＝0時(shí)，點(diǎn)到直線的距離公式是否依然成立？

注：第一個(gè)例子是公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用問題，學(xué)生應(yīng)該能夠很輕松的解決，同時(shí)在學(xué)生完成第一個(gè)例子的基礎(chǔ)上給出一個(gè)思考題，學(xué)生通過畫圖也應(yīng)該能夠解決。

例 2.(1)已知點(diǎn) A（－2，3）到直線 y＝ax＋1 的距離為 1，求的值；

（2）已知點(diǎn) A（－2，3）到直線 y＝－x＋a 的距離為 1，求的值.例3.如圖，試求平行四邊形ABCD的面積（圖4）.

圖4

注：而第二個(gè)例子則是公式的逆向運(yùn)用問題，需要提醒學(xué)生注意多解的情況。那么第三個(gè)例子有以下幾個(gè)目的：第一個(gè)目的是公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，第二個(gè)目的則是讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)選擇不同的點(diǎn)平行四邊形的高不變，第三個(gè)目的則是為平行直線間的距離作鋪墊。

（四）歸納總結(jié) 拓展延伸

課堂小結(jié)：

（1）點(diǎn)到直線的距離公式；

（2）面積法的算法框圖；

（3）面積法推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式的過程：

注：在歸納小結(jié)中，此時(shí)應(yīng)該重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合思想在本節(jié)課的充分體現(xiàn)。

拓展延伸：

1.求下列點(diǎn)到直線的距離：

（1）P（3，-2）l：3x＋4y－25＝0；

（2）P（－2，1）l：3y＋5＝0；

2.若點(diǎn)P在直線x＋y－4＝0上，O是原點(diǎn)，求OP的最小值.

3.在直線x＋2y＝0上求一點(diǎn)P，使它到原點(diǎn)的距離與到直線 x＋2y－3＝0 的距離相等.

六、教學(xué)反思

1.對(duì)于本節(jié)內(nèi)容，有兩種不同的處理方式：一種是讓學(xué)生理解、記憶公式，直接應(yīng)用而不講公式的探尋過程，這樣的處理不利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)；二是本課方式，通過強(qiáng)調(diào)對(duì)公式的探索過程，提高學(xué)生利用代數(shù)方法處理幾何問題的能力；

2.在公式的推導(dǎo)過程中，含有字母運(yùn)算，比較抽象.如果沒有整體算法步驟的分析，學(xué)生的思路會(huì)缺乏連貫性，所以本課重點(diǎn)分析了推導(dǎo)公式的算法思想，讓學(xué)生在明了算法步驟的前提下，再進(jìn)行有效的公式推導(dǎo)和自學(xué)閱讀；

3.學(xué)生在練習(xí)中的“錯(cuò)誤體驗(yàn)”將會(huì)有助于加深記憶，所以我重視在學(xué)生應(yīng)用公式中容易忽略的環(huán)節(jié),并在補(bǔ)充的例題中給予了設(shè)置，以期達(dá)到強(qiáng)化訓(xùn)練的目的。