李 爽 江 涌 張奕群 李君龍

1.北京電子工程總體研究所，北京 100854 2.航天科工集團(tuán)防御技術(shù)研究院，北京 100854

對于側(cè)窗探測問題，國外從上世紀(jì)90年代開始，為發(fā)展戰(zhàn)區(qū)導(dǎo)彈防御系統(tǒng)，對其開展了大量的研究，目前已掌握了該技術(shù)。但現(xiàn)有應(yīng)用大都在大氣層高層攔截器上，中末制導(dǎo)交班對視場角的要求可以通過調(diào)整姿態(tài)來滿足。而在大氣層內(nèi)攔截彈上，姿態(tài)的微小調(diào)整就會(huì)引起較大的力矩，視場角的要求不能通過姿態(tài)調(diào)整來滿足。我國近年來開始關(guān)注側(cè)窗探測問題，重點(diǎn)關(guān)注側(cè)窗口的設(shè)計(jì)、冷卻等問題，以及側(cè)窗探測下的姿態(tài)控制和跟蹤問題[1-2]。

比例和優(yōu)化導(dǎo)引律歷來都是理論和實(shí)踐工作者關(guān)注的焦點(diǎn)[3]。其中文獻(xiàn)[4]通過在比例導(dǎo)引的基礎(chǔ)上添加一個(gè)時(shí)變偏置項(xiàng)，滿足了脫靶量為0和末端攻擊角約束。由于比例導(dǎo)引的種種優(yōu)點(diǎn)，不少人突破末段尋的制導(dǎo)的思路，通過設(shè)置虛擬目標(biāo)，將其應(yīng)用于中制導(dǎo)技術(shù)，其中最常見的虛擬目標(biāo)是由目標(biāo)運(yùn)動(dòng)特性得到的預(yù)測命中點(diǎn)。本文針對導(dǎo)引頭側(cè)窗探測和大氣層的特點(diǎn)對中制導(dǎo)提出的預(yù)測脫靶量為0和特定視場角要求，提出一種新的虛擬目標(biāo)的設(shè)置方法，并根據(jù)所設(shè)置虛擬目標(biāo)對中制導(dǎo)律進(jìn)行優(yōu)化，從而獲得滿足交班要求的中制導(dǎo)彈道。文中的末制導(dǎo)預(yù)測脫靶量是指攔截彈在中制導(dǎo)末端時(shí)刻相對于實(shí)際目標(biāo)的瞬時(shí)脫靶量。

1 約束條件的分析和虛擬目標(biāo)的設(shè)置

為了簡化彈道特征的研究，作如下假設(shè)：

1)攔截彈與目標(biāo)的交戰(zhàn)只在縱平面內(nèi)進(jìn)行；

2)實(shí)際目標(biāo)的彈道為直線彈道，且速度大小VT和攔截彈速度大小V均為常量；

3)中制導(dǎo)末端過載指令為0，攻角接近于0。

根據(jù)以上假設(shè)，以及虛擬目標(biāo)的設(shè)置思想繪出虛擬目標(biāo)與實(shí)際目標(biāo)、攔截彈的位置關(guān)系示意圖如圖1所示。

圖1 虛實(shí)目標(biāo)與攔截彈位置關(guān)系

基于圖1，本文的研究內(nèi)容可以形象的描述為：根據(jù)測得的M和T的當(dāng)前位置和速度，研究T′(xT′,yT′)的位置和運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的設(shè)置方法，以及相應(yīng)的導(dǎo)引律的優(yōu)化設(shè)計(jì)，使攔截彈在該導(dǎo)引律的作用下，針對T′的中制導(dǎo)段結(jié)束時(shí)，實(shí)際目標(biāo)T正好落在攔截彈的視場范圍內(nèi)，且針對實(shí)際目標(biāo)的預(yù)測脫靶量為0。

簡單起見，此處假設(shè)虛擬目標(biāo)和實(shí)際目標(biāo)具有相同的飛行速度，即兩者在運(yùn)動(dòng)過程中相對靜止。對攔截過程和交班條件進(jìn)行詳細(xì)分析，可以得出虛擬目標(biāo)需要滿足以下要求。

1.1 初始位置約束

中制導(dǎo)初始時(shí)刻，在攔截彈和目標(biāo)的初始位置M0(xM0,yM0)和T0(xT0,yT0)測得的情況下，虛擬目標(biāo)的初始位置T0′(xT0 ′,yT0 ′)可以定義如下

(1)

假設(shè)末制導(dǎo)段導(dǎo)引頭的視場距離L=|TT′|給定，則結(jié)合方程組(1)得攔截彈和目標(biāo)的初始位置對Δ，q0構(gòu)成下面的約束

(2)

1.2 標(biāo)準(zhǔn)視場角約束

(3)

為了不失一般性，也可將上述ξ*定義為末制導(dǎo)開始時(shí)刻的視場定向基準(zhǔn)位置。

若攔截彈與T′交會(huì)時(shí)的攻角為αk，如圖2所示。

圖2 末段交會(huì)示意圖

則此時(shí)目標(biāo)所處視場角位置

ξk=Δ-(σk+αk)

(4)

在過載為0的情況下，聯(lián)立式(3)和(4)，得設(shè)計(jì)過程中的標(biāo)準(zhǔn)視場角約束

Δ-σk=ξ*

(5)

1.3 零預(yù)測脫靶量條件

根據(jù)預(yù)測脫靶量的定義，以及圖2所示的末段交會(huì)示意圖，可以得出末制導(dǎo)預(yù)測脫靶量dMT關(guān)于目標(biāo)和攔截彈的彈道參數(shù)表達(dá)式。

(6)

psin(Δ-σk)=sin(π-σT-Δ),

|Δ-σk|<π/2,p=V/VT

(7)

聯(lián)立式(5)和(7)得到下面的約束條件

psinξ*=sin(π-σT-Δ)

(8)

1.4 虛擬目標(biāo)的設(shè)置

聯(lián)立并求解方程式(8)，(2)和(5)可得視場角約束和零預(yù)測脫靶量約束下的方位角Δ，q0和終端彈道角σk，代入式(1)得虛擬目標(biāo)的初始位置坐標(biāo)。

基于虛擬目標(biāo)初始位置，以及求得的σk，中制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)和優(yōu)化等價(jià)于一個(gè)具有彈道角約束的攻擊勻速直線運(yùn)動(dòng)目標(biāo)T′的問題。

2 導(dǎo)引律的設(shè)計(jì)

由圖1可得攔截彈與虛擬目標(biāo)的下述相對運(yùn)動(dòng)方程

(9)

(10)

η=σ-q

(11)

ηT′=π-σT′-q

(12)

(13)

其中VT′=VT,V,σT′=σT均為常量。

2.1 交會(huì)時(shí)的彈目視線角計(jì)算

攔截彈與虛擬目標(biāo)交會(huì)時(shí)刻r=0，聯(lián)立式(10)～(12)，得交會(huì)時(shí)刻的彈目視線角qk滿足下面的方程

psin(qk-σk)=sin(π-σT′-qk),

|qk-σk|<π/2

(14)

比較式(7)和(14)知，Δ和qk均可看作下面關(guān)于x的方程的2個(gè)解：

psin(x-σk)=sin(π-σT-x),

|x-σk|<π/2

(15)

由文獻(xiàn)[4]中的Proposition 1知，上述方程有且僅有1個(gè)根，因此

qk=Δ

(16)

2.2 導(dǎo)引律優(yōu)化

經(jīng)典PPN抑制視線的旋轉(zhuǎn)，

(17)

要使中制導(dǎo)末端視線旋轉(zhuǎn)到期望視線角，其旋轉(zhuǎn)角速率應(yīng)為

(18)

(19)

由式(11)和(12)可得

(20)

(21)

對式(10)微分，并將式(9)，(10)，(20)和(21)代入得

(22)

令

則得

用矩陣簡明地表示為

選擇二次性能指標(biāo)

(23)

由最優(yōu)控制理論知最優(yōu)控制

u*=-R-1BTPX

(24)

P-1(tk)=F-1=02×2

(25)

又因q12=q21，由上式得

(26)

(27)

(28)

(29)

聯(lián)系r(tk)=0，q12=0。對上式兩邊積分得

代入式(26)并積分得

則可得逆矩陣P-1，P為

代入式(24)，得最優(yōu)控制律

則導(dǎo)引律可以表示為

(30)

3 指令形成

綜上所述，對于目標(biāo)非機(jī)動(dòng)的情形，形成控制指令的步驟如下：

上述導(dǎo)引律同樣適應(yīng)于目標(biāo)機(jī)動(dòng)的情形。由于大氣層內(nèi)目標(biāo)的機(jī)動(dòng)大部分是長距離的微小機(jī)動(dòng)，可將每個(gè)采樣時(shí)段內(nèi)的運(yùn)動(dòng)看作勻速直線運(yùn)動(dòng)，并將虛擬目標(biāo)和初始條件的定義過程納入在線計(jì)算，即在每個(gè)采樣時(shí)刻，根據(jù)新測量的信號，執(zhí)行一次步驟1)和2)，定義新的虛擬目標(biāo)和終端約束條件，通過式(30)獲得相應(yīng)的控制信號，依次循環(huán)。

4 仿真分析

假設(shè)在中制導(dǎo)開始時(shí)刻，攔截彈位置(xM0,yM0)=(40,10)km，v=2.04km/s，σ0=50°；實(shí)際目標(biāo)位置(xT0,yT0)=(330,35)km，vt=1.7km/s；導(dǎo)引頭探測距離L=60km，末制導(dǎo)視場角約束ξ∈(5°,27°)。則當(dāng)目標(biāo)航向角分別取σT=175°/185°的情況下，攔截彈與虛擬目標(biāo)交會(huì)的彈道軌跡分別如圖3和圖4所示，目標(biāo)偏離導(dǎo)引頭視場中央的角度分別為0.05°/0.01°。仿真結(jié)果表明，攔截彈在針對虛擬目標(biāo)的偏置比例導(dǎo)引律作用下，能夠于中制導(dǎo)結(jié)束時(shí)，將實(shí)際目標(biāo)準(zhǔn)確地收入期望的導(dǎo)引頭視場位置，并且瞬時(shí)脫靶量為0。

圖3 目標(biāo)航向角175°時(shí)的攔截彈道

圖4 目標(biāo)航向角185°時(shí)的攔截彈道

5 結(jié)論

側(cè)窗探測技術(shù)的采用和大氣層的特點(diǎn)對該空域內(nèi)攔截彈的中制導(dǎo)彈道提出了嚴(yán)格要求。本文從其特殊的終端視場角約束和預(yù)測脫靶量為0出發(fā)設(shè)置虛擬目標(biāo)，將視場角約束轉(zhuǎn)化為攔截虛擬目標(biāo)時(shí)的彈道角及彈目視線角約束，繼而對導(dǎo)引律進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。其中二次型性能指標(biāo)的引入，尤其是帶有無窮加權(quán)矩陣的終端懲罰函數(shù)項(xiàng)的引入保證了中制導(dǎo)末端視場角約束的精確滿足，同時(shí)又使中制導(dǎo)末端時(shí)刻的瞬時(shí)視線轉(zhuǎn)率為0，彈目相對運(yùn)動(dòng)方向穩(wěn)定，為導(dǎo)引頭在末制導(dǎo)過程中始終跟蹤目標(biāo)提供了保證。仿真結(jié)果表明本文所提出的方法可以精確滿足中末制導(dǎo)交班要求，并為末制導(dǎo)彈道的平直性提供了保障。

參 考 文 獻(xiàn)

[1] 宋明軍, 魏明英.側(cè)窗探測條件下的制導(dǎo)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法研究[J].現(xiàn)代防御技術(shù), 2007, 35(5): 71-75.(SONG Mingjun, WEI Mingying.Control Guidance System Design Method for Side Window Detection[J].Modern Defence Technology, 2007, 35(5): 71-75.)

[2] 周艷萍, 張銳, 李君龍.側(cè)窗探測下的姿態(tài)變結(jié)構(gòu)控制[J].現(xiàn)代防御技術(shù), 2006, 34(1): 29-32.(ZHOU Yanping, ZHANG Rui, LI Junlong.Attitude Variable Structure Control for Side Window Detection[J].Modern Defence Technology, 2006, 34(1): 29-32.)

[3] Murtaugh S A, Criel H E.Fundamentals of Proportional Navigation[J].IEEE Spectrum, 1966, 3:75-85.

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