吳 曉, 黃志剛, 唐響亮

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均布載荷作用下矩形截面梁的彈塑性彎曲

吳 曉*, 黃志剛, 唐響亮

(湖南文理學(xué)院 土木建筑工程學(xué)院, 湖南 常德, 415000)

采用彈塑性理論研究了均布載荷作用下的矩形截面梁彈塑性彎曲問(wèn)題, 推導(dǎo)出了矩形截面懸臂梁的彈塑性彎曲撓度表達(dá)式, 并重新推導(dǎo)出了矩形截面簡(jiǎn)支梁的彈塑性彎曲撓度表達(dá)式, 更正了有關(guān)文獻(xiàn)在研究均布載荷作用下矩形截面簡(jiǎn)支梁彈塑性彎曲時(shí)存在的錯(cuò)誤.

矩形截面; 梁; 彈塑性; 彎曲; 撓度

塑性力學(xué)中比較簡(jiǎn)單的問(wèn)題, 包括用平衡方程、屈服條件和應(yīng)力邊界條件就能完全確定應(yīng)力場(chǎng)的所謂靜定問(wèn)題, 以及屈服條件為線性的情況, 求解時(shí)并不需要處理整套的基本方程因?yàn)槠渲性S多方程已自動(dòng)滿足, 即使是需要處理的方程也可用較簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)方法求解. 屬于這類(lèi)問(wèn)題的有純拉伸、純扭轉(zhuǎn)、平面彎曲、厚壁圓筒等. 文獻(xiàn)[1]研究了均布載荷作用下矩形截面簡(jiǎn)支梁的彈塑性彎曲問(wèn)題, 文獻(xiàn)[2—8]研究了集中載荷作用下矩形截面懸臂梁的彈塑性彎曲問(wèn)題. 本文研究了均布載荷作用下矩形截面懸臂梁的彈塑性問(wèn)題, 并重新推導(dǎo)出了均布載荷作用下矩形截面簡(jiǎn)支梁的彈塑性彎曲撓度, 更正了文獻(xiàn)[1]存在的錯(cuò)誤.

設(shè)矩形截面梁材料為彈性完全塑性的, 且梁寬為、高為2, 無(wú)論梁處于彈性階段或是彈塑性階段, 都假定截面保持為平面. 并假設(shè)彎矩> 0時(shí)曲率= 1/與同號(hào), 反之亦然.

由彈塑性理論可知圖1所示矩形截面梁的本構(gòu)關(guān)系為:

式中,s為梁的屈服極限.

利用式(1)可知矩形截面梁發(fā)生彈塑性彎曲時(shí), 其截面彎矩和曲率分別為:

把式(3)代入式(2)中可以得到:

圖1 梁的矩形截面

所以從以上各式可以得到:

由式(5)可知矩形截面梁彈塑性彎曲的曲率表達(dá)式為:

式中:與同號(hào)時(shí), sign= 1,與異號(hào)時(shí)sign=-1.

圖2 均布載荷作用下懸臂梁

由式(7)、式(8)可以求得懸臂梁在彈塑性區(qū)域及彈性區(qū)域的撓曲線方程為:

懸臂梁的邊界條件及連續(xù)條件為:

由式(9)—(11)可以求得1、2的表達(dá)式為:

圖3 均布載荷作用下簡(jiǎn)支梁

所以, 圖3所示簡(jiǎn)支梁在彈塑性區(qū)域及彈性區(qū)域的撓曲線微分方程為:

由式(15)、式(16)可以求得簡(jiǎn)支梁在彈塑性區(qū)域及彈性區(qū)域的撓曲線方程分別為(具體推導(dǎo)見(jiàn)附錄A):

.(17)

簡(jiǎn)支梁的邊界條件及連續(xù)條件為:

由式(17)—(19)可以求得:

由以上推導(dǎo)及附錄A可知文獻(xiàn)[1]研究均布載荷作用下矩形截面簡(jiǎn)支梁的彈塑性彎曲問(wèn)題時(shí), 推導(dǎo)出的簡(jiǎn)支梁在彈塑性區(qū)域及彈性區(qū)域的撓曲線方程是錯(cuò)誤的, 本文更正了文獻(xiàn)[1]存在的錯(cuò)誤.

附錄A:

[1] 莊懋年, 馬曉士, 蔣潞. 工程塑性力學(xué)[M]. 北京: 高等教育出版社, 1983: 88—94.

[2] 余同希, 斯壯. 塑性結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型[M]. 北京: 北京大學(xué)出版社, 2002: 12—32.

[3] 韓強(qiáng). 彈塑性系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)屈曲和分叉[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 2000: 70—76.

[4] 杜慶華, 熊祝華, 陶學(xué)文. 應(yīng)用固體力學(xué)基礎(chǔ)(上冊(cè))[M]. 北京: 高等教育出版社, 1987: 423—429.

[5] Warnock F V,Benham P P.固體力學(xué)和材料強(qiáng)度[M]. 江秉琛, 文相臣, 張汝清, 等, 譯. 北京: 人民教育出版社, 1982: 450—467.

[6] Timoshenko S P, Gere J M. 材料力學(xué)[M]. 韓耀新, 譯. 北京: 科學(xué)出版社, 1990: 298—322.

[7] 王仁, 黃文彬, 黃筑平. 塑性力學(xué)引論[M]. 北京: 北京大學(xué)出版社, 1989: 38—48.

[8] 王仁, 熊祝華, 黃文彬. 塑性力學(xué)基礎(chǔ)[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 1987: 46—55.

Elastic-plastic bending of the rectangular beam under uniformed load

WU Xiao, HUANG Zhi-gang, TANG Xiang-liang

(College of Architecture & Civil Engineering, Hunan University of Arts & Science, Changde 415000, China)

Based on elastic-plastic theory, elastic-plastic bending of the rectangular beam underuniformed load is researched and the deflection expression of elastic-plastic bending of rectangular cantilever beam is deduced. Then, the deflection expression of elastic-plastic bending of the simply supported beam of rectangular cross-section is reformulated and the error which exists in the relational paper in this field has been corrected.

rectangular section; beam; elastic-plastic; bending; deflection

O 344

1672-6146(2013)01-0014-04

email: wx2005220@163.com.

2013-03-06

10.3969/j.issn.1672-6146.2013.01.004

(責(zé)任編校: 江 河)