【摘要】本文從矩陣論課程目前存在的問題出發(fā)，通過分析現(xiàn)有問題，提出線性代數(shù)課程中一些教學(xué)方法的改革，并提出合理使用Mathematica數(shù)學(xué)軟件促進兩門課程的教學(xué)。

【關(guān)鍵詞】教學(xué)改革 矩陣論 線性代數(shù) Mathematica軟件

【中圖分類號】G42 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2013）03-0120-01

矩陣在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中可以認為是非常重要的工具，矩陣理論在計算科學(xué)、控制理論、信息科學(xué)與技術(shù)、管理科學(xué)等問題中都發(fā)揮著舉足輕重的作用。線性代數(shù)和矩陣論是研究矩陣理論的兩門課程，其中，線性代數(shù)是為理工科本科學(xué)生開設(shè)的一門公共基礎(chǔ)必修課，主要講授行列式、矩陣、線性方程組、線性空間、二次型等內(nèi)容 ；矩陣論是為工科研究生開設(shè)的一門公共學(xué)位課，主要講授線性空間與線性變換、相似標準形、矩陣分解、矩陣分析、矩陣函數(shù)等內(nèi)容 。矩陣論起初是線性代數(shù)的一個分支，但其后由于陸續(xù)在圖論、代數(shù)、組合數(shù)學(xué)和統(tǒng)計上得到應(yīng)用，逐漸發(fā)展成為一門獨立的學(xué)科。

一、課程教學(xué)中出現(xiàn)的問題

矩陣論是一門理論嚴謹、內(nèi)容抽象的課程，在矩陣論課程教學(xué)中，從線性代數(shù)中設(shè)計到的基礎(chǔ)知識出發(fā)，增加了很多新的內(nèi)容，而且，很多理論從實數(shù)域推廣到了復(fù)數(shù)域。在授課中，我們發(fā)現(xiàn)在一些涉及到線性代數(shù)的基礎(chǔ)知識的理解和計算中還存在著一些問題，影響了學(xué)生掌握新的知識。

（1）線性空間內(nèi)容的理解

線性空間是具有加法和數(shù)量乘法兩個線性運算的非空集合，線性空間也叫向量空間，線性空間中的元素都稱為向量。學(xué)生對數(shù)組向量空間的相關(guān)內(nèi)容基本理解，對其他類型的線性空間理解不好。

（2）矩陣正交三角分解的理解

在矩陣正交三角分解這部分內(nèi)容中，一個實數(shù)域上的滿秩方陣可以分解為正交矩陣與正線上三角矩陣的乘積 ，在分解過程中需要把線性無關(guān)向量組進行施密特正交化，單位化，學(xué)生在正交化過程中出錯較多。

（3）內(nèi)積空間中向量長度的理解

在定義了內(nèi)積運算的線性空間中，向量的長度的平方定義為向量與自身的內(nèi)積，學(xué)生對特定空間的內(nèi)積概念與作用理解不好，經(jīng)常將數(shù)組向量空間中的計算用到一般的內(nèi)積空間中，導(dǎo)致在后面使用長度的計算中經(jīng)常使用的是歐氏空間中向量的內(nèi)積的計算公式。

（4）線性變換的特征值與特征向量的理解

矩陣論中線性變換的特征值的計算是通過在所在線性空間的某一組基下對應(yīng)的矩陣的特征值得到，特征向量為在此基下該矩陣相應(yīng)的特征向量作為坐標得到。學(xué)生在做這些計算時，對矩陣的特征值和特征向量的基礎(chǔ)知識掌握不好。

二、教學(xué)方法的改革

對上述矩陣論課程中出現(xiàn)的問題，涉及到的知識點都是在學(xué)生本科學(xué)習(xí)期間線性代數(shù)的課程內(nèi)容。在線性代數(shù)的課程教學(xué)中，由于內(nèi)容多，學(xué)時少，基本采用講授法，學(xué)生普遍反映這門課比較難學(xué)，抽象不易理解。Mathematica數(shù)學(xué)軟件中有針對線性代數(shù)課程內(nèi)容的命令，可以在數(shù)學(xué)實驗課程中對應(yīng)講解，提高學(xué)生學(xué)習(xí)這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)興趣，并鞏固相應(yīng)的知識點。

（1）線性空間部分

在講授數(shù)組向量空間時，不能單從對應(yīng)分量相加和數(shù)乘到每個分量上的形式講解，而要突出講解滿足8條性質(zhì)的運算才稱為加法和數(shù)量乘法；對基底的概念，必須從極大線性無關(guān)組概念入手；對向量坐標的引入，必須定義在向量由基底線性表示的系數(shù)上；對不同基底之間的過渡矩陣，不能單純把元素列在矩陣中作為過渡矩陣，必須從基底中每個向量由另一組基底線性表示的系數(shù)做為矩陣相應(yīng)的列元素去構(gòu)造。雖然表面上看上去對這些內(nèi)容這樣講解似乎繁瑣了，但是掌握了這些思想，學(xué)生能容易接受一般的線性空間的理論知識。

（2）施密特正交化部分

線性代數(shù)課程中，很多教師直接給出正交化過程的公式，或者設(shè)某一向量和前面向量正交，通過內(nèi)積為零反推出公式中系數(shù)，再通過簡單的算例讓學(xué)生練習(xí)使用公式。這種做法學(xué)生不理解正交化的內(nèi)涵，對公式只能死記硬背，導(dǎo)致矩陣論課程開設(shè)時學(xué)生已經(jīng)忘記了正交化的概念和計算方法。建議講清計算每個正交化的向量時，是在所有前面的向量組成的子空間中構(gòu)造下一個正交的向量，前三個正交化的向量可以畫圖理解。再推導(dǎo)公式并練習(xí)。

在Mathematica軟件的LinearAlgebra`Orthogonalization`程序包中有對向量單位化和對一組向量正交化的函數(shù)，其中GramSchmidt函數(shù)是對一組線性無關(guān)組進行施密特正交單位化。

（3）向量的長度

線性代數(shù)講解的內(nèi)積空間只涉及了帶有內(nèi)積運算的數(shù)組向量空間，向量的長度的平方為向量的分量的平方和。講解此內(nèi)容時不能單純強調(diào)結(jié)果，而要說清長度平方這樣計算的原因是內(nèi)積的概念公式，如果內(nèi)積的定義變了，長度是要隨之改變的。

Mathematica軟件中使用Dot函數(shù)計算向量的常用的內(nèi)積，Length函數(shù)可以計算常用數(shù)組向量的長度。

（4）特征值與特征向量

線性代數(shù)課程中，要強化特征多項式的計算和齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系的概念與求解，可以和學(xué)生介紹一些線性方程組建立的實際背景問題，增加學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。

Mathematica軟件中使用Det函數(shù)計算矩陣的行列式，Solve函數(shù)解線性方程組唯一解，NullSpace函數(shù)求解齊次線性方程組的一組基礎(chǔ)解系，Eigenvalues函數(shù)計算矩陣的特征值，Eigenvectors函數(shù)計算矩陣的特征向量。

三、結(jié)束語

線性代數(shù)和矩陣論課程要注重數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生運用矩陣理論、方法和思維方式來觀察、分析、綜合問題，提高解決問題的能力。

Mathematica軟件中不僅允許表示傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)運算，也允許表示算法和結(jié)構(gòu)的運算，因此，理工科學(xué)生在掌握了矩陣理論的扎實的理論基礎(chǔ)后，可以使用Mathematica軟件解決科研與實際應(yīng)用中更復(fù)雜的問題。

參考文獻：

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