《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》課程內(nèi)容明確指出：注重發(fā)展學(xué)生的“模型思維”，并具體解釋為：“模型思想的建立是幫助學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型過程包括：從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示問題中數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果，并討論結(jié)果的意義。這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生初步形成模型思想，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識?！北娝苤簲?shù)學(xué)有著廣泛的應(yīng)用，在教學(xué)中，結(jié)合具體內(nèi)容采用“問題情境——建立模型——解釋應(yīng)用”的過程來進(jìn)行，讓學(xué)生投入解決問題的實踐活動、自己去探索、經(jīng)過數(shù)學(xué)模型的過程，初步體會到從實際情景中發(fā)展數(shù)學(xué)，獲得再創(chuàng)造的機(jī)會，領(lǐng)會數(shù)學(xué)建模的思想和方法。

生活原型中提煉數(shù)學(xué)模型

現(xiàn)實生活材料激發(fā)學(xué)生研究問題的興趣，認(rèn)識到現(xiàn)實生活中隱藏著豐富的數(shù)學(xué)問題。從生活原型中提煉數(shù)學(xué)模型，這是研究數(shù)學(xué)問題的一種重要方法，采用形式化的數(shù)學(xué)語言、概括地或近似地表述出來的一種結(jié)構(gòu)。用分析、判斷、推理等思維活動來探究，挖掘具體事物的本質(zhì)關(guān)系，而最終以符號、模型等方式將其間的規(guī)律揭示出來，它往往是一組數(shù)學(xué)關(guān)系式，或一套具體的算法，使復(fù)雜的問題簡潔化。

【案例一】《正比例的意義》

……

1.認(rèn)識“正比例”的意義

師：今天我們又參觀了泰州“三泰啤酒廠”的裝箱生產(chǎn)線。請看如下信息：

時間

（時）12345……

總量

（箱）150300450600750

師：大家獨(dú)立閱讀表格，先獨(dú)立思考，然后小組交流下面問題。

（1）表中有哪兩種量？它們是相關(guān)聯(lián)的量嗎？為什么？

（2）寫出幾組對應(yīng)的總量和時間的比，求出比值并比較比值的大小。這個比值是什么？

（3）你能用數(shù)量關(guān)系式表示它與總量和時間的關(guān)系嗎？

（4）總量和時間成正比例嗎？為什么？

學(xué)生小組合作完成，根據(jù)學(xué)生回答，得出結(jié)論：

工作時間 工作總量 比值一定

（變化） （變化）

工作總量：工作時間=工作效率（一定）

2.建立模型

師：同學(xué)們我們通過觀察、思考、討論、交流，大家共同努力發(fā)現(xiàn)總結(jié)了路程和時間、工作時間和工作總量的變化規(guī)律。大家觀察上面的例子，發(fā)現(xiàn)了什么？

生：有兩種相關(guān)聯(lián)的量；一種量變化，另一種量也隨著變化。

生：相對應(yīng)的兩個數(shù)的比值一定。

生：兩種量成正比例。

師：兩種相關(guān)聯(lián)的量的比值一定，這兩種量就是成正比例的量，它們的關(guān)系成正比例關(guān)系。

師：哪位同學(xué)來用字母表示兩種量的關(guān)系？

生：a：b=c（一定）

生：X：Y=Z（一定）

生：y：x=k（一定）

……

師：通常我們用x和y分別表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，用k表示它們的比值。這樣，正比例的關(guān)系可用式子表示：y：x=k（一定）

……

以上教學(xué)過程為：出示生活原型——解決實際問題不同方法——提煉數(shù)學(xué)模型。在建立模型形成新的數(shù)學(xué)知識的過程中，學(xué)生更加體會到數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活的聯(lián)系。讓學(xué)生從現(xiàn)實生活中提煉數(shù)學(xué)模型，正是順應(yīng)了課程改革的趨向和要求。

操作實踐中建構(gòu)數(shù)學(xué)模型

動手操作是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種手段，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的有效方式，目的是更好地促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解，學(xué)會從數(shù)學(xué)角度去觀察問題、分析問題、思考問題，能用數(shù)學(xué)的語言、符號進(jìn)行表達(dá)和交流，逐步形成自己對數(shù)學(xué)知識的理解和有效的學(xué)習(xí)策略，學(xué)生將從操作實踐中揭示規(guī)律建構(gòu)模型。

【案例二】《三角形面積》

……

師：能不能用像正方形、長方形的面積那樣用公式計算呢？（大家一起來做實驗）

師：請每個同學(xué)拿出兩個紅色的三角形，看一看這兩個三角形有什么關(guān)系？

生；能完全重合。

師：說明它們的形狀面積怎樣？

師：請大家拼一拼，把你的發(fā)現(xiàn)填寫“實驗報告一”。

實驗報告一

（1）（ ）個完全相同的直角三角形可以拼成1個（ ）形。

（2）一個直角三角形的面積是相應(yīng)長方形面積的（ ）。

師：通過實驗，你們從三角形與長方形的關(guān)系中，得到什么知識？

生：回答了“實驗報告一”的第（2）題。

師：下面拿出兩個黃色的三角形（銳角三角形）來拼圖形，拼好后填寫“實驗報告二”。（實驗報告二形式同實驗報告一）

師：通過實驗，你們又從中發(fā)現(xiàn)了什么？

生：我發(fā)現(xiàn)，一個銳角三角形的面積是拼成平行四邊形面積的一半。

師：下面拿出兩個藍(lán)色三角形（鈍角三角形）來拼圖形，拼好后填寫“實驗報告三”。（實驗報告三形式同實驗報告一）

師：通過實驗，你們又從中發(fā)現(xiàn)了什么？

生：我發(fā)現(xiàn)，一個鈍角三角形面積是拼成平行四邊形面積的一半。

師：比較3個實驗的結(jié)論，把共同點聯(lián)結(jié)起來就是……

生：（初步建模）一個三角形面積是所拼圖形面積的一半。

師：三角形底和高與所拼圖形的底和高有什么關(guān)系？

生：相等。

師：三角形面積怎樣求？（進(jìn)一步建模）

生：三角形面積=底×高÷2

師：誰能用字母來表示公式？

生：S=ah÷2

……

以上教學(xué)過程可以概括為：提出問題——實踐操作——符號模型。在整個過程中，學(xué)生的抽象思維在感性材料的支持下，讓學(xué)生動手、動腦去建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。

猜想驗證中揭示數(shù)學(xué)模型

著名的科學(xué)家牛頓有句名言：沒有大膽的猜想，就不可能有偉大的發(fā)現(xiàn)和發(fā)明。猜想是一種難度較大的飛躍式的創(chuàng)新思維。它是指未經(jīng)過逐步分析，而是迅速對問題的答案做出合理猜測的一種思維。現(xiàn)代科學(xué)許多領(lǐng)域的知識和探索活動，常常是人們在已有的科學(xué)知識的基礎(chǔ)上，發(fā)揮人的主觀能動性，通過想象、直覺、靈感等多種思維形式，提出猜想，通過對材料和事實進(jìn)行分析、驗證、概括等數(shù)學(xué)探究活動去獲取知識發(fā)現(xiàn)規(guī)律，總結(jié)方法。

【案例三】：《商不變的性質(zhì)》

……

師：今天我們來研究什么是商不變的性質(zhì)，誰大膽地猜想一下，到底在什么條件下商不變？也就是說被除數(shù)和除數(shù)怎樣變商才不變呢？

生：我猜想被除數(shù)和除數(shù)同時加上相同的數(shù)，它們的商不變。

生：我猜想被除數(shù)和除數(shù)同時減去相同的數(shù)，它們的商不變。

生：我猜想被除數(shù)和除數(shù)同時乘以相同的數(shù)，它們的商不變。

生：我猜想被除數(shù)和除數(shù)同時除以相同的數(shù)，它們的商不變。

師：大家說得很好，都有自己的想法，下面我們就以18÷6=3為例，各小組進(jìn)行合作，分別舉例來驗證這四種猜想，看看是在什么條件下，商是不變的。

（學(xué)生驗證猜想）

師：哪個小組先來交流被除數(shù)和除數(shù)怎樣變化，商才不變？

生：（18×2）÷（6×2）=3

生：（18×3）÷（6×3）=3

……

師：大家觀察以上這些算式，驗證的結(jié)果怎樣？

生：商不變。

師：怎樣才能商不變？

生：被除數(shù)和除數(shù)同時乘以一個數(shù)，它們的商不變。

師：誰還想說一說。

生：被除數(shù)和除數(shù)同時乘以一個相同的數(shù)，商才不變。

師：好。對于被除數(shù)和除數(shù)同時乘以相同的數(shù)，我們得出的結(jié)論是商不變，還有哪種情況被除數(shù)和除數(shù)怎樣變化，商才不變？

生：（18÷2）÷（6÷2）=3

生：（18÷3）÷（6÷3）=3

……

師：觀察這些算式，驗證結(jié)果商怎樣？

生：商不變。

師：被除數(shù)和除數(shù)怎樣變化商才不變。

生：被除數(shù)和除數(shù)同時除以一個相同的數(shù)商才不變。

師：剛才已經(jīng)驗證了兩種猜想，而且都得到了肯定。我們繼續(xù)驗證下去。如果同時加上或同時減去這兩種猜想情況怎樣？誰舉例說明。

生：（18+3）÷（6+3）=2……3

（18+5）÷（6+5）=2……1

……

生：（18-3）÷（6-3）=5

（18-5）÷（6-5）=13

……

師：觀察這些算式，你們發(fā)現(xiàn)驗證結(jié)果怎樣？

生：商全變了。

師：說明了什么呢？

生：被除數(shù)和除數(shù)同時加上或減去相同的數(shù)，商變了。

師：現(xiàn)在誰能回答什么是商不變的性質(zhì)？

生：（初步建模）被除數(shù)和除數(shù)同時乘以或者除以一個相同的數(shù)，商不變。

師：現(xiàn)在對商不變的條件，還有沒有問題？

生：我覺得這個相同的數(shù)，如果是0，怎么辦？

師：對啊，那么乘以0或除以0可以嗎？

生：不可以。0不能作除數(shù)。

師：誰來完整歸納一下商不變的性質(zhì)。

生：（進(jìn)一步建模）被除數(shù)和除數(shù)同時乘以或除以一個相同的數(shù)（0除外），商不變。

……

通過以上教學(xué)，學(xué)生在驗證過程中，會發(fā)現(xiàn)新問題，并在解決問題的過程中，完善自己的猜想：發(fā)揮創(chuàng)造才能，最終發(fā)現(xiàn)規(guī)律。這樣一個過程可以概括為：提出猜想——驗證猜想——自我反思——建立模型。這不僅是一個主動學(xué)習(xí)的過程，也是創(chuàng)新學(xué)習(xí)的過程。

（作者單位：江蘇省泰州市鮑徐中心小學(xué)）