摘要： 為解決Volterra頻域核辨識(shí)困難的問(wèn)題，探討了多音信號(hào)激勵(lì)下Volterra頻域核的輸出性質(zhì)，提出了一種基于多音激勵(lì)的Volterra頻域核的非參數(shù)辨識(shí)方法.該方法選擇具有合適頻率基的多音信號(hào)作為測(cè)試激勵(lì)信號(hào)，使各階核的輸出頻率成分具有唯一性，進(jìn)而利用Vandermode法使各階核的輸出分離.推導(dǎo)出了Volterra頻域核的辨識(shí)公式，并進(jìn)行了理論和仿真分析.理論分析和仿真結(jié)果表明：該方法可準(zhǔn)確地辨識(shí)出任一階Volterra頻域核，絕對(duì)誤差達(dá)到10-4 V數(shù)量級(jí)，克服了傳統(tǒng)辨識(shí)方法無(wú)法準(zhǔn)確辨識(shí)及辨識(shí)結(jié)果僅限于前3階Volterra頻域核的缺點(diǎn)，具有精度高、可操作性強(qiáng)的特點(diǎn).

關(guān)鍵詞： Volterra級(jí)數(shù)；非線性系統(tǒng)辨識(shí)；廣義頻域響應(yīng)函數(shù)（GFRF）；多音信號(hào)；Vandermode法

中圖分類(lèi)號(hào)： TP206.3文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

現(xiàn)實(shí)世界中，存在著大量的非線性現(xiàn)象，幾乎所有的控制系統(tǒng)、電子系統(tǒng)都是非線性的，線性只是對(duì)非線性在一定程度和范圍內(nèi)的近似描述.隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展，關(guān)于非線性系統(tǒng)的控制、建模、分析、綜合和預(yù)測(cè)等問(wèn)題日益凸現(xiàn)，非線性已成為目前研究的熱點(diǎn)問(wèn)題.

解決非線性問(wèn)題的基礎(chǔ)是建立描述非線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，Volterra級(jí)數(shù)是非線性系統(tǒng)建模的常用模型之一，包括時(shí)域核及頻域核兩種形式[12].Volterra核函數(shù)是線性系統(tǒng)描述的直接擴(kuò)展，與線性系統(tǒng)的脈沖和頻率響應(yīng)函數(shù)一樣，能夠描述非線性系統(tǒng)的本質(zhì)特性，具有物理意義明確、適應(yīng)范圍廣等優(yōu)點(diǎn)，在諸多領(lǐng)域取得了許多成功的應(yīng)用[36].Volterra時(shí)域核的傅里葉變換形式被稱(chēng)作Volterra頻域核，或廣義頻域響應(yīng)函數(shù)（generalized frequencyresponse functions， GFRFs）[7].Volterra頻域核提供了從頻域分析非線性系統(tǒng)的方法，人們往往更加關(guān)心Volterra頻域核，這是由于相對(duì)于Volterra時(shí)域核，其頻域形式可使人們直觀、準(zhǔn)確地理解許多重要的非線性現(xiàn)象.Chua給出了多音激勵(lì)下Volterra核頻域輸出特性[8]；Bedrosian分析了在諧波及高斯輸入激勵(lì)下Volterra系統(tǒng)的輸出特性[9].目前，Volterra頻域核的辨識(shí)方法分為參數(shù)辨識(shí)和非參數(shù)辨識(shí)兩種[1011].參數(shù)辨識(shí)的方法是基于非線性系統(tǒng)的微分方程來(lái)辨識(shí)Volterra頻域核[1215]，該方法比較成熟；非參數(shù)辨識(shí)是基于系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)來(lái)辨識(shí)Volterra頻域核[1620].由于非線性系統(tǒng)的復(fù)雜性，通常很難獲得其理想的數(shù)學(xué)模型，因此參數(shù)辨識(shí)的方法有其局限性.由于非參西南交通大學(xué)學(xué)報(bào)第48卷第2期韓海濤等：基于多音激勵(lì)的Volterra頻域核非參數(shù)辨識(shí)方法數(shù)辨識(shí)是基于“黑箱”辨識(shí)，不用了解系統(tǒng)的內(nèi)部機(jī)理及物理特性，只根據(jù)系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行辨識(shí)，因此更具有實(shí)用性.

文獻(xiàn)[16]提出了一種基于時(shí)域分析的非參數(shù)辨識(shí)方法，該方法僅能計(jì)算出Volterra核在諧波頻率成分處的值，且只適用于辨識(shí)前3階Volterra核；文獻(xiàn)[17]采用高斯白噪聲作為系統(tǒng)的輸入激勵(lì)，根據(jù)時(shí)域自適應(yīng)辨識(shí)方法對(duì)Volterra核進(jìn)行辨識(shí)，這種方法待辨識(shí)的參數(shù)與系統(tǒng)的記憶長(zhǎng)度和階次成指數(shù)增加，辨識(shí)過(guò)程復(fù)雜、計(jì)算量大；文獻(xiàn)[1819]基于頻率分離思想給出了基于多音激勵(lì)的Volterra頻域核的非參數(shù)辨識(shí)方法，該方法具有較高的辨識(shí)精度，然而沒(méi)有系統(tǒng)地推導(dǎo)出任一階Volterra頻率核的辨識(shí)公式；文獻(xiàn)[20]雖然給出了多音激勵(lì)下Volterra頻域核的估算公式，但估算誤差比較大，使非參數(shù)辨識(shí)方法的應(yīng)用受到很大的限制；文獻(xiàn)[21]提出了Volterra頻域核辨識(shí)的多音激勵(lì)信號(hào)設(shè)計(jì)，為多音激勵(lì)下Volterra頻域核的非參數(shù)辨識(shí)奠定了基礎(chǔ).本文對(duì)多音激勵(lì)下Volterra頻域核的輸出特性進(jìn)行了深入研究，從理論上系統(tǒng)地推導(dǎo)出了Volterra頻域核的辨識(shí)公式，克服了以往Volterra頻率核非參數(shù)辨識(shí)方法的不足，通過(guò)實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了本文結(jié)論的正確性.1Volterra頻域核的定義及重要性質(zhì)對(duì)任意連續(xù)的時(shí)不變?nèi)醴蔷€性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，可以用廣義卷積分或Volterra級(jí)數(shù)完全描述：

5結(jié)束語(yǔ)Volterra頻域核的傳統(tǒng)辨識(shí)方法存在計(jì)算量大、步驟復(fù)雜、精度不高的問(wèn)題.本文針對(duì)這些問(wèn)題提出了一種新的基于多音激勵(lì)的非參數(shù)辨識(shí)方法.重點(diǎn)探討了多音信號(hào)激勵(lì)下Volterra頻域核輸出特性，基于此性質(zhì)推導(dǎo)出了Volterra頻域核的辨識(shí)公式，并總結(jié)出了基于多音激勵(lì)Volterra頻域核辨識(shí)的一般方法步驟.通過(guò)對(duì)一非線性系統(tǒng)的Volterra頻域核進(jìn)行辨識(shí)，驗(yàn)證了該方法的有效性.該方法具有計(jì)算量小、精度高、易于工程實(shí)現(xiàn)的特點(diǎn)，可廣泛應(yīng)用于非線性系統(tǒng)的建模及故障診斷，是一種實(shí)用的方法.

參考文獻(xiàn)：

[1]RUGH W J. Nonlinear system theory[M]. The Jonhs Hopkins University Press， 1981： 320.

[2]PENG Zekai， LANG Zhiqiang， BILLING S A. Resonances and resonant frequencies for a class of nonlinear system[J]. Journal of Sound and Vibration， 2007， 300（3）： 9931014.

[3]馬紅光，韓崇昭，王國(guó)華，等. 雷達(dá)引信視頻放大器的GFRF辨識(shí)模型及其誤差分析[J]. 探測(cè)與控制學(xué)報(bào)，2004，26（3）： 5054.

MA Hongguang， HAN Chongzhao， WANG Guohua， et al. The GFRF identification model of radar video frequency amplifier and its error analysis[J]. Journal of Detection and Control， 2004， 26（3）： 5054.

[4]馬紅光，韓崇昭，孔祥玉，等. 基于電路仿真的接收機(jī)中頻放大器的GFRF模型[J]. 系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào)，2004，16（6）： 11431146.

MA Hongguang， HAN Chongzhao， KONG Xiangyu， et al. The GFRF identification model of radar fuze receiver[J]. Journal of System Simulation， 2004， 16（6）： 11431146.

[5]馬紅光，韓崇昭，王國(guó)華，等. 基于EDA仿真的中頻放大器GFRF模型[J]. 計(jì)算機(jī)仿真，2004，21（7）： 2225.

MA Hongguang， HAN Chongzhao， WANG Guohua， et al. GFRF identification model of IF amplifier based on EDA simulation[J]. Computer Simulation， 2004， 21（7）： 2225.

[6]LIU Haiying. Classification of stably dissipative 3D LotkaVolterra system and their necessary and sufficient condition for being stably dissipative[J]. Journal of Modern Transportaion， 2008， 16（3）： 298302.

[7]LANG Zhiqiang， BILLING S A. Output frequency characteristics of nonlinear system[J]. International Journal of Control， 1996， 64（6）： 10491067.

[8]CHUA L O， NG C Y. Frequency domain analysis of nonlinear systems： general theory[J]. Electronic Circuit and Systems， 1979， 3（4）： 165185.

[9]BEDROSIAN E， RICE S O. The output properties of Volterra systems （nonlinear systems with memory） driven by harmonic and Gaussian inputs[J]. Proceedings of the IEEE， 1971， 59（12）： 16881707.

[10]LI L M， BILLINGS S A. Analysis of nonlinear oscillators using Volterra series in the frequency domain[J]. Journal of Sound and Vibration， 2011， 330（2）： 337355.

[11]CHATTERJEE A， VYAS N S. Nonlinear parameter estimation with Volterra series using the method of recursive iteration through harmonic probing[J]. Journal of Sound and Vibration， 2003， 268（4）： 657678.

[12]BILLING S A， TSANG K M. Spectral analysis for nonlinear system， part I： parametric nonlinear spectral analysis[J]. Mechanical Systems and Signal Processing， 1989， 3（4）： 319339.

[13]BILLING S A， JONES J C. Mapping nonlinear integrodifferential equations into the frequency domain[J]. International Journal of Control， 1990， 52（4）： 863879.

[14]JONES J C， BILLING S A. A recursive algorithm for the computing the frequency response of a class of nonlinear difference equation models[J]. International Journal of Control， 1989， 50（5）： 19251940.

[15]JONES J C. Simplified computation of Volterra frequency response functions of nonlinear system[J]. Mechanical Systems and Signal Processing， 2007， 21（3）： 14521468.

[16]LI L M， BILLINGS S A. Estimation of generalized frequency response functions for quadratically and cubically nonlinear systems[J]. Journal of Sound and Vibration， 2011， 330（3）： 461470.

[17]張家良，曹建福，高峰. 大型裝備傳動(dòng)系統(tǒng)非線性頻譜特征提取與故障診斷[J]. 控制與決策，2012，27（1）： 135138.

ZHANG Jialiang， CAO Jianfu， GAO Feng. Feature extraction and fault diagnosis of largescale equipment transmission system based on nonlinear frequency spectrum[J]. Control and Decision， 2012， 27（1）： 135138.

[18]BOYD S， TANG Y S， CHUA L O. Measuring Volterra kernel[J]. IEEE Transactions on Circuits and Systems， 1983， 30（8）： 571577.

[19]CHUA L O， LIAO Youlin. Measuring Volterra kernel （Ⅱ）[J]. International Journal of Circuit Theory and Applications， 1989， 17（2）： 151190.

[20]殷時(shí)蓉. 基于Volterra級(jí)數(shù)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非線性電路故障診斷研究[D]. 成都：電子科技大學(xué)，2007： 5354.

[21]韓海濤，馬紅光，韓琨，等. 關(guān)于Volterra頻域核辨識(shí)的多音激勵(lì)信號(hào)設(shè)計(jì)[J]. 工程設(shè)計(jì)學(xué)報(bào)，2012，19（2）： 123127.

[22]曹建福，韓崇昭，方洋旺. 非線性系統(tǒng)理論及應(yīng)用[M]. 西安：西安交通大學(xué)出版社，2006： 128140.

（中文編輯：唐晴英文編輯：付國(guó)彬）從表1中可以看出，在此多音信號(hào)激勵(lì)下前兩階核的輸出頻率成分沒(méi)有重合，因此可以由輸出頻率分量去辨識(shí)Volterra頻率核.多音激勵(lì)信號(hào)的