洪飛

直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方，即a2+b2=c2。這就是著名的勾股定理，它揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系；如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形，這就是勾股定理的逆定理。勾股定理及其逆定理是中考重點考查內(nèi)容，現(xiàn)舉例說明，希望能給同學們帶來幫助。

一、求高度

例1 某工人拿一個2.5 m長的梯子，一頭放在離墻1.5 m處，另一頭靠墻，以便去修理梯子另一頭的有線電視分線盒（如圖1）。請問：這個分線盒離地有多高？

分析 圖中△ABC是直角三角形，AC=1.5，AB=2.5，根據(jù)勾股定理可求出BC的長。

解 在直角三角形ABC中，因為AB2=AC2+BC2，所以2.52=1.52+BC2。由BC>0，得BC=2。所以分線盒離地面2 m。

點評 在具體的情景中發(fā)掘出隱含的直角三角形，是解答這一類問題的關(guān)鍵。

二、判斷三角形的形狀

例2 已知a、b、c是△ABC的三邊長，且滿足關(guān)系式+a-b=0，則△ABC的形狀為__________________。

分析 已知等式左邊為兩個非負數(shù)之和，根據(jù)兩非負數(shù)之和為0，兩非負數(shù)同時為0，可得a2+b2=c2，且a=b，利用勾股定理的逆定理可得出∠C為直角，進而確定出三角形ABC為等腰直角三角形。

解 因為+a-b=0，

所以c2-a2-b2=0且a-b=0，所以a2+b2=c2且a=b，

則△ABC為等腰直角三角形。

點評 熟練掌握非負數(shù)的性質(zhì)及勾股定理的逆定理是解答本題的關(guān)鍵。

三、求周長

例3 有一塊直角三角形的綠地，量得兩直角邊長分別為6 m，8 m?，F(xiàn)在要將綠地擴充成等腰三角形，且擴充部分是以8 m為直角邊的直角三角形，求擴充后等腰三角形綠地的周長。

分析 此題如有圖形將變得很簡單，按圖形解答即可。但本題沒有圖形，所以需要討論幾種可能的情況。

解 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，由勾股定理有：AB=10，擴充部分為Rt△ACD，擴充成等腰△ABD，應(yīng)分以下三種情況：

（1）如圖2，當AB=AD=10時，可求得CD=CB=6，則△ABD的周長為32 m。

（2）如圖3，當AB=BD=10時，可求CD=4，由勾股定理得：AD=4，得△ABD的周長為（20+4）m。

（3）如圖4，當AB為底時，設(shè)AD=BD=x，則CD=x-6，由勾股定理得：x=，得△ABD的周長為 m。

點評 本題求周長時要注意分類討論，分類討論思想是解題時常用的一種思想方法，可以培養(yǎng)思維的條理性、縝密性、靈活性，在解題中同學們要做到不重不漏。

四、求面積

例4 如圖5所示，有這樣一塊地，∠ADC=90°，AD=12 m，CD=9 m，AB=39 m，BC=36 m，求這塊地的面積。

分析 連接AC，構(gòu)造新的△ABC與Rt△ADC，借助相關(guān)線段的長度判斷△ABC為直角三角形，進而求解圖形面積。

解 連接AC，在Rt△ADC中，由勾股定理得，

AC2=AD2+DC2，即AC2=122+92，所以AC=15。

在△ABC中，有AC2+BC2=152+362=392，

即AC2+BC2=AB2，所以△ABC為直角三角形。

所以S=S△ABC -S△ADC=×15×36-×12×9=216（m2）

所以這塊地的面積為216 m2。

點評 本題是勾股定理及其逆定理的綜合運用，解題時要注意區(qū)分勾股定理及其逆定理。

五、在實際生活中的應(yīng)用

例5 如圖6，一架2.5 m長的梯子AB，斜靠在一豎直的墻AC上，這時，梯足B到墻底端C的距離為0.7 m。如果梯子的頂端沿墻下滑0.4 m，那么梯足B將外移多少m？

分析 要求梯足B將外移多少m，即要求BE的長。由于BE=EC-BC，而BC=0.7 m，所以只要求EC的長。又EC是直角△DCE的一條直角邊，DE=AB=2.5 m，根據(jù)勾股定理，應(yīng)先求出DC的長。

解 由∠ACB=90°得，AC2+BC2=AB2。

因為BC=0.7，AB=2.5，所以AC2+0.72=2.52，解得AC=2.4。

所以DC=AC-AD=2.4-0.4=2。

因為∠DCE=90°，所以DC2+EC2=DE2。

因為DC=2，DE=AB=2.5，所以22+EC2=2.52，解得EC=1.5。

所以BE=EC-BC=1.5-0.7=0.8。

所以梯足B將外移0.8 m。

點評 梯子和豎直的墻與地面組成的三角形是直角三角形，則圖中有兩個直角三角形，即Rt△ABC和Rt△CDE，且這兩個直角三角形的斜邊長都為梯子的長。

例6 如圖7，某風景區(qū)有2個景點A、B，為了方便游客，風景區(qū)管理處決定在相距2 km的A、B兩景點之間修一條筆直的公路（即圖中的線段AB），經(jīng)測量，在A點的北偏東60°方向、B點的西偏北45°方向的C處有一個半徑為0.7 km的小水潭，問小水潭會不會影響公路的修筑，為什么？（參考數(shù)據(jù)：≈1.732，≈1.414。）

分析 要判斷小水潭會不會影響公路的修筑，只要判斷點C到AB的距離是否大于0.7 km？如果大于0.7 km，那么就不會影響公路的修筑；否則，就會影響。

解 過C作CD⊥AB于點D，設(shè)CD=x km。

因為∠CDA=90°，∠EAC=60°，

所以∠CAD=90°-∠EAC=30°。

所以AC=2CD=2x，AD==x。

因為∠CDB=90°，∠FBC=45°，所以∠CBD=90°-∠FBC=45°。

所以BD=CD=x。

因為AD+BD=AB，所以x+x=2，解得x=≈0.732。

因為0.732>0.7，所以小水潭不會影響公路的修筑。

點評 解答本題要認真審題，弄明白小水潭在什么情況下會影響公路的修筑。另外，要注意根據(jù)AD+BD=AB這個相等關(guān)系構(gòu)造關(guān)于x的方程。