張書(shū)華　馬蘇奇

摘 要：Bezier樣條作為曲線曲面造型技術(shù)的一個(gè)重要分支被廣泛運(yùn)用于CAD/CAM技術(shù)。以MATLAB為程序平臺(tái)，以Bezier樣條為理論基礎(chǔ)，首先設(shè)計(jì)出繪制曲線曲面的程序算法，進(jìn)而通過(guò)算法編寫(xiě)出可實(shí)際操作的程序，最后用實(shí)例進(jìn)行驗(yàn)證。其中更實(shí)現(xiàn)了對(duì)曲線的擬合以及將設(shè)計(jì)得到的曲面數(shù)據(jù)輸入逆向工程軟件imageware，從而達(dá)到利用造型成果其進(jìn)行更加復(fù)雜的造型構(gòu)造的目的。

關(guān)鍵詞：Bezier樣條；MATLAB；imageware

Bezier曲線起源于20世紀(jì)60年代晚期，著名的法國(guó)數(shù)學(xué)家皮耶爾·Bezier運(yùn)用數(shù)學(xué)方法為雷諾公司的汽車制造業(yè)研究出一種矢量繪制曲線的方法。這種方法的巧妙之處在于它是利用控制矢量點(diǎn)位置的變動(dòng)從而改變曲線的形態(tài)?，F(xiàn)代設(shè)計(jì)師大部分都是在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行設(shè)計(jì)，而在過(guò)去并沒(méi)有發(fā)明手寫(xiě)板的時(shí)候，設(shè)計(jì)師們很難用鼠標(biāo)繪制理想的曲線。Bezier樣條的出現(xiàn)大大改變了這種困境，讓設(shè)計(jì)師們通過(guò)輸入控制點(diǎn)坐標(biāo)，從而很容易地得到所需要的曲線。

MATLAB是美國(guó)MathWorks公司出品的一款商業(yè)數(shù)學(xué)軟件，主要包括MATLAB和Simulink兩大部分，是一種編程語(yǔ)言和數(shù)值計(jì)算環(huán)境。和其他數(shù)學(xué)類科技應(yīng)用軟件相比，MATLAB無(wú)論在數(shù)值計(jì)算還是圖形處理上都占有很大優(yōu)勢(shì)。本文主要討論的就是運(yùn)用Bezier樣條原理在MATLAB上實(shí)現(xiàn)曲線擬合以及曲線曲面造型。

一、Bezier曲線造型

1.Bezier曲線理論原理

在空間中設(shè)定n+1個(gè)點(diǎn)p0，…pn，則下列參數(shù)曲線為n次Bezier曲線：

P（t）=■PiJi，n（t），0≤t≤1

式中Ji，n（t）是伯恩斯坦基函數(shù)，即

Ji，n（t）=Cinti（1-t）n-i

Cin=■，i=0，……，n

以三次Bezier曲線為例，如果p0、p1、p2、p3是空間中的四個(gè)點(diǎn)，那么三次多項(xiàng)式曲線

p3（t）=■PiB3，t（t）

可用矩陣表示如下：

P（t）=[t3t2t1]-1 3 -3 13 -6 3 0-3 3 0 01 0 0 0P0P1P2P3

式中Bi是第i個(gè)Bezier多項(xiàng)式，被稱為三次Bezier曲線包含了控制點(diǎn)p0，…p3。

2.Bezier曲線造型程序設(shè)計(jì)

在實(shí)際擬合造型的操作中，更為復(fù)雜的圖形往往由多種曲線構(gòu)成，它們的復(fù)雜程度和拐點(diǎn)個(gè)數(shù)各不相同。按照上面的思路，則每遇到一種曲線就需要編寫(xiě)一個(gè)程序，這顯然是麻煩而不切實(shí)際的。為了實(shí)現(xiàn)造型目的，需要編寫(xiě)一種不受函數(shù)次數(shù)限制的程序，以適應(yīng)所有的曲線情況。

通過(guò)構(gòu)造參數(shù)點(diǎn)坐標(biāo)矩陣，以伯恩斯坦基函數(shù)為基礎(chǔ)而非某個(gè)特定次數(shù)的Bezier函數(shù)，用for循環(huán)實(shí)現(xiàn)i從0到n（輸入控制點(diǎn)個(gè)數(shù)）的伯恩斯坦基函數(shù)的疊加，得到參數(shù)t以1/m為步長(zhǎng)從0到1變化時(shí)曲線上m個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)并填入坐標(biāo)矩陣，最后連接這些坐標(biāo)點(diǎn)得到曲線，從而達(dá)到不受函數(shù)次數(shù)限制的目的。根據(jù)上述思路編寫(xiě)了以下程序：

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這樣，當(dāng)輸入不同個(gè)數(shù)的參數(shù)點(diǎn)，就可以得到不同次數(shù)的曲線。

當(dāng)需要對(duì)曲線進(jìn)行擬合的時(shí)候，只知道曲線情況，而不知道控制點(diǎn)的坐標(biāo)，則需要通過(guò)曲線上的點(diǎn)對(duì)其進(jìn)行反求。根據(jù)Bezier曲線的矩陣形式以及伯恩斯坦基函數(shù)可以很容易寫(xiě)出數(shù)值方法反求控制點(diǎn)坐標(biāo)的程序。

3.Bezier曲線造型應(yīng)用

首先在坐標(biāo)紙上設(shè)計(jì)出需要的圖案。

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根據(jù)曲線實(shí)際情況（復(fù)雜程度、拐點(diǎn)個(gè)數(shù)、曲率大小等）將曲線分段并選擇坐標(biāo)點(diǎn)，通過(guò)對(duì)上文編寫(xiě)得到的反求控制點(diǎn)程序以及曲線造型程序的結(jié)合使用，最終可以在MATLAB上得到下面這幅擬合度很高的圖案（因?yàn)樵煨瓦^(guò)程較為繁瑣復(fù)雜，本文省略中間造型程序）。

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二、Bezier曲面造型

1.Bezier曲面理論原理

先給出一條以u(píng)為參數(shù)的m次Bezier曲線：

P=■PiBi，m（u），0≤u≤1（1）

式中Bi，m（u）為伯恩斯坦基函數(shù)。

讓p的（m+1）個(gè)控制點(diǎn)分別沿著空間的（m+1）條曲線運(yùn)動(dòng)，而這些曲線都是以w為參數(shù)的n次Bezier曲線：

Pi=■Pi，jBi，n（w），0≤w≤1（2）

將方程（2）代入方程（1），得到Bezier曲面的表達(dá)式

P（u，w）=P=■■Pi，jBi，m（u）Bj，n（w） 0≤u，0≤w≤1（3）

將Bezier曲面方程（3）改寫(xiě)成矩陣形式

P（u，w）=B0，m（u）B1，m（u）…Bm，m（u）·

P0，0 P0，1…P0，nP1，0 P1，1…P1，nPm，0 Pm，1…Pm，nB0，n（w）B1，n（w）Bm，n（w）0≤u，w≤1（4）

把方程（4）用冪基的形式表示出來(lái)，表示為：

P（u，w）=[U][Mm][p][Mn]T[W]0≤u，w≤1（5）

式中，[U]=[um um-1…u 1]；[W]=[wn wn-1…w 1]T；[Mm]，[Mn]分別為m次與n次的冪基矩陣。

2.Bezier曲面造型程序設(shè)計(jì)

由上述方程的冪基形式編寫(xiě)曲面造型主要程序：

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編寫(xiě)曲面造型程序的難點(diǎn)依然在于因?yàn)槿绾巫尦绦蜻m應(yīng)不同次數(shù)的Bezier函數(shù)的需要。顯然由于這是一個(gè)以矩陣為基礎(chǔ)的程序，則同曲面程序那樣采用循環(huán)語(yǔ)句的方式是很麻煩的。由上述程序可以看出，不同次數(shù)的Bezier函數(shù)所需要的參數(shù)矩陣和系數(shù)矩陣都不相同，參數(shù)矩陣很容易改變。所以問(wèn)題在于如何快速創(chuàng)建龐大的系數(shù)矩陣。

還是以雙三次Bezier曲面為例，首先用taylor對(duì)曲線函數(shù)進(jìn)行泰勒展開(kāi)：

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接下來(lái)使用命令sym2poly提取其中的系數(shù)：

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最后用reshape將系數(shù)轉(zhuǎn)化為矩陣形式：

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這樣，當(dāng)輸入命令xishujuzhen（n）時(shí)，就可以直接得到n次Bezier曲面的系數(shù)矩陣。

3.Bezier曲線造型應(yīng)用

以雙三次Bezier曲面為例，通過(guò)輸入控制點(diǎn)坐標(biāo)可得到以下曲面：

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Px=[2 4 6 8； 2 4 6 8； 2 4 6 8； 2 4 6 8]；

Py=[8 7 7 8； 6 6 6 6； 4 4 4 4； 2 3 3 2]；

Pz=[20 0 0 20； 8 10 10 8； 8 10 10 8； 20 0 0 20]；

由于MATLAB所繪制的曲面是無(wú)法直接導(dǎo)入imageware的。所以可以想到通過(guò)把程序計(jì)算所得的矩陣數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)一系列矩陣變形與合并，最后將其存儲(chǔ)為點(diǎn)云數(shù)據(jù)文件，導(dǎo)入imageware中。繼而在imageware里將點(diǎn)云擬合成曲面，從而更加直觀地把構(gòu)造得到的曲面體現(xiàn)出來(lái)，并實(shí)現(xiàn)對(duì)其加工編輯，甚至直接制造工件。以上面最后一個(gè)曲面為例，得到以下點(diǎn)云圖，以及最終曲面。

總之，Bezier樣條作為曲線曲面造型中極為重要的基礎(chǔ)樣條之一，被廣泛運(yùn)用于CAD/CAM技術(shù)中。借助其方便快捷的控制方法以及優(yōu)秀的曲線屬性，曲線曲面的快速造型得以實(shí)現(xiàn)。

本文設(shè)計(jì)的造型程序不受函數(shù)次數(shù)限制，只需輸入控制點(diǎn)數(shù)據(jù)即可進(jìn)行造型。同時(shí)，在曲線造型中實(shí)現(xiàn)了根據(jù)手繪的曲線在MATLAB中擬合出相應(yīng)圖形，在曲面造型中實(shí)現(xiàn)了造型數(shù)據(jù)向三維制作程序的對(duì)接。使得程序具有了極強(qiáng)的實(shí)用性。

參考文獻(xiàn)：

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[3]王天軍.一個(gè)反求Bezier曲面控制點(diǎn)的算法[N].計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)學(xué)報(bào)，1992（3）.

[4]Prof Denis Zorin. Bezier Curves and B-splines[Z]. New York： New York University， 2002.

（作者單位 張書(shū)華：中國(guó)農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院2009級(jí)數(shù)學(xué)1班 馬蘇奇：中國(guó)農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院）