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        看!學(xué)生多聰明

        2013-04-29 18:53:44蔡世陽(yáng)
        新課程·中學(xué) 2013年7期
        關(guān)鍵詞:反例對(duì)角等腰三角

        蔡世陽(yáng)

        在九年級(jí)下冊(cè)第27章第三節(jié)《用推理的方法研究四邊形》中,例舉了有關(guān)平行四邊形判定的各類(lèi)方法。在課后作業(yè)中,筆者布置了一道題目:“一組對(duì)邊相等,一組對(duì)角相等的四邊形是否為平行四邊形,如果是,請(qǐng)加以證明,如果不是,請(qǐng)舉反例說(shuō)明?!辈贾眠@道作業(yè)題的背景是有關(guān)舉反例的題目是近幾年廈門(mén)市中考的熱點(diǎn)。

        本題可以用特殊的三角形進(jìn)行舉例說(shuō)明:

        ①畫(huà)△ABC,使∠C=90°,∠A=60°,∠B=30°;

        ②在BA上取BE=AC;

        ③以E為圓心,EB為半徑,作弧,交AB于點(diǎn)D;

        ④連結(jié)DE。

        在四邊形AEDC中,易證∠A=∠EDC,DE=AC,但四邊形AEDC并非平行四邊形。

        點(diǎn)評(píng):本例用了特殊的三角形,具體的角度為學(xué)生所常見(jiàn)的,在具體操作中,以三角形為基礎(chǔ),所構(gòu)建的四邊形非平行四邊形是易見(jiàn)的,操作過(guò)程并不困難。

        引申與回味:本方法中限定的特殊角度,可以一般化,只需有∠A=2∠B,對(duì)∠C只需大于60°即可。

        在2005~2006年市質(zhì)檢中,曾出過(guò)如下題目:

        在△ABC的邊AB和BC上,分別找點(diǎn)P和Q,使PQ=AC,∠PQC=∠A。

        在當(dāng)中的作答情況中,本題的得分率是全卷最低的一題,說(shuō)明了學(xué)生在“舉反例”這一類(lèi)型的題目里思維容量是極大的,也是學(xué)生難以突破的一類(lèi)題目。

        以下將通過(guò)學(xué)生的幾種解答方法,對(duì)本題“一組對(duì)邊相等,一組對(duì)角相等的四邊形是否為平行四邊形,如果是,請(qǐng)加以證明,如果不是,請(qǐng)舉反例說(shuō)明?!弊龀鼋獯穑?/p>

        方法一:

        ①畫(huà)等腰三角形AEB,使AE=AB,如圖1;

        ②在EB上取一點(diǎn)C(C不是EB中點(diǎn)),連結(jié)AC,如圖2;

        ③以AC的垂直平分線為對(duì)稱軸,作點(diǎn)E的對(duì)稱點(diǎn)D,連結(jié)AD,如圖3、4;

        四邊形ABCD即為所舉反例。

        由對(duì)稱性可有:AE=CD,∠ADC=∠AEB,又∵AE=AB,∠AEB=∠B

        ∴CD=AB,∠ADC=∠B。

        滿足條件一組對(duì)邊相等,一組對(duì)角相等,四邊形ABCD并非平行四邊形。

        點(diǎn)評(píng):本例中,利用等腰三角形固有的等邊與等角,利用對(duì)稱的形式確保邊與角的不變性。順利完成反例的列舉,讓人不由耳目一新。

        引申與回味:①點(diǎn)C若為中點(diǎn),則本解中四邊形ABCD為平行四邊形。

        ②對(duì)于對(duì)稱邊可表述為翻轉(zhuǎn)△AEC,使點(diǎn)A、C位置互換,同樣可以達(dá)到舉例的效果。

        ③若等腰三角形的底角太小,則四邊形ABCD可能作為凹四邊形,只需改變等腰三角形的底角大小即可。

        方法二:

        ①作鈍角△ACE和其外接圓O;如圖5;

        ②作AD//CE,CD//AE,相交于點(diǎn)D;如圖6;

        ③以直徑AO為對(duì)稱軸,作AE的對(duì)稱弦AB;如圖7;

        ④連結(jié)BC,四邊形ABCD為所舉反例;如圖8。

        四邊形AECD為平行四邊形。

        故有AE=CD,則CD=AB,∠D=∠E=∠B,滿足條件。

        點(diǎn)評(píng):本例在已建立的平行四邊形的基礎(chǔ)上,利用圖保證邊與角的不變,同時(shí)也運(yùn)用了圖的對(duì)稱性,足以使人眼界大開(kāi)。

        以上的幾種作答方法,是學(xué)生在考試中給出的,說(shuō)明學(xué)生的思維形式并不僅僅局限于課堂所學(xué)、教師所教,教師應(yīng)當(dāng)在日常教學(xué)中,善于挖掘?qū)W生提供的優(yōu)質(zhì)素材,鼓勵(lì)學(xué)生有自己獨(dú)立的思考方式,千萬(wàn)不能低估了我們的學(xué)生,看,我們的學(xué)生多聰明!

        (作者單位 福建省廈門(mén)市海滄區(qū)東孚學(xué)校)

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