朱曉艷

分類(lèi)討論是初中數(shù)學(xué)一種重要的數(shù)學(xué)思想方法和解題策略。在歷屆中考中，都不乏有幾何分類(lèi)討論的題目出現(xiàn)。一進(jìn)入幾何圖形解答，就可能受圖形的局限而漏解?，F(xiàn)就幾何圖形分類(lèi)討論的入手方法作一探討：

1.找出定點(diǎn)確定分類(lèi)

此類(lèi)問(wèn)題，一般由題可知?jiǎng)狱c(diǎn)是在直線(xiàn)或射線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)的。此時(shí)分類(lèi)可先在直線(xiàn)或射線(xiàn)上尋找定點(diǎn)，根據(jù)動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的位置關(guān)系進(jìn)行分類(lèi)。

例1.如圖，直線(xiàn)AB經(jīng)過(guò)⊙O的圓心，與⊙O相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在⊙O上，且∠AOC=30°，點(diǎn)E是直線(xiàn)AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)O不重合），直線(xiàn)EC交⊙O于點(diǎn)D，則使DE=DO的點(diǎn)E共有幾個(gè)？并求出相應(yīng)的∠OED的度數(shù)。

此題中動(dòng)點(diǎn)E所在直線(xiàn)的定點(diǎn)有點(diǎn)A、O、B，由此可根據(jù)點(diǎn)E與點(diǎn)A、O、B之間的位置關(guān)系作出四種分類(lèi)：點(diǎn)E在點(diǎn)A的右邊；點(diǎn)E在點(diǎn)A、O之間；點(diǎn)E在點(diǎn)O、B之間；點(diǎn)E在點(diǎn)B的左邊。

2.找出線(xiàn)段等量關(guān)系確定分類(lèi)

此類(lèi)問(wèn)題，一般由題可知線(xiàn)段之間的等量關(guān)系，如等腰三角形兩腰相等、直角三角形勾股定理（直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方）或是題目中直接給出等量關(guān)系。

例2.如圖，在直角坐標(biāo)系中，⊙A的半徑為6，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3，0），⊙A與x軸交于E、F兩點(diǎn)，與y軸交于C、D兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作⊙A的切線(xiàn)BC交x軸于B。問(wèn)：在x軸上是否存在點(diǎn)P，使△PBC為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

此題中，明確給出提示需要分類(lèi)的條件是：“△PBC為等腰三角形”，同時(shí)題目中卻未明確兩腰。因此，可根據(jù)腰的不同得到三種分類(lèi)：1.PB=PC；2.PB=BC；3.PC=BC。

若要利用直角三角形勾股定理，題目一般會(huì)只交代直角三角形，而不明確直角。此時(shí)，可根據(jù)斜邊的不同而分三種情況予以討論。

3.找出角的等量關(guān)系確定分類(lèi)

此類(lèi)問(wèn)題，最多見(jiàn)于有關(guān)三角形相似的題目中。其依據(jù)是三角形相似性質(zhì)定理（兩三角形相似，對(duì)應(yīng)角相等。）。

例3.如圖，已知拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A（0，6），B（2，0），C（7， ）。若D是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，E是拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與直線(xiàn)AC的交點(diǎn)，F(xiàn)與E關(guān)于D對(duì)稱(chēng)。在y軸上是否存在這樣的點(diǎn)P，使△AEP與△FDC相似，若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由。

此題中，給出需要分類(lèi)討論提示的語(yǔ)句是：“在y軸上是否存在這樣的點(diǎn)P，使△AEP與△FDC相似”。這句話(huà)沒(méi)有明確三角形相似的對(duì)應(yīng)角。因此，依據(jù)不同的對(duì)應(yīng)角予以分類(lèi)。由條件可知∠CFD=∠AFP，因此，只需分兩類(lèi)討論：1.∠FCD=∠FAP；2.∠FCD=∠FPA。

當(dāng)然，在這道題中，由于多了條件“∠CFD=∠AFP”，所以分類(lèi)情況比較簡(jiǎn)單。若沒(méi)有這一條件，一般可有六種分類(lèi)。

4.根據(jù)圖形本身特點(diǎn)確定分類(lèi)。

此類(lèi)題目經(jīng)常出現(xiàn)的字眼是“……使A、B、C、D等4個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為……四邊形”。由于題目中出現(xiàn)的4個(gè)點(diǎn)不是按順序排列的，因此由這4個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的四邊形可以是四邊形ABCD、四邊形ABDC、四邊形ACBD、四邊形ACDB、四邊形ADBC、四邊形ADCB。分類(lèi)情況相當(dāng)復(fù)雜。如果按照字母順序逐一羅列，圖形不易呈現(xiàn)。那么如何進(jìn)行分類(lèi)才能保證不漏解，同時(shí)圖形又很容易得到？

例4.在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-1），點(diǎn)Q在y軸上，點(diǎn)P在拋物線(xiàn)上，要使以點(diǎn)Q、P、A、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)。

此題中要求得到的四邊形是平行四邊形，已知的點(diǎn)有兩個(gè)，我們將已知的線(xiàn)段AB按照邊或?qū)蔷€(xiàn)兩種情況進(jìn)行分類(lèi)。當(dāng)AB為邊時(shí)，根據(jù)平行四邊形對(duì)邊平行且相等的性質(zhì)，可以求得兩解；當(dāng)AB為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，根據(jù)平行四邊形對(duì)角線(xiàn)互相平分的性質(zhì)，也可以求出一解。這種分類(lèi)方式顯然要比按照字母順序進(jìn)行分類(lèi)要簡(jiǎn)潔很多。如果要求得到的四邊形是其他特殊四邊形時(shí)，也同樣可以根據(jù)特殊四邊形本身所具有的圖形特征進(jìn)行分類(lèi)。

5.找出圖形間不同位置確定分類(lèi)。

這一類(lèi)型的分類(lèi)，較常見(jiàn)于圓的內(nèi)容中。例如，圓與點(diǎn)的位置關(guān)系、圓與直線(xiàn)的位置關(guān)系以及圓與圓的位置關(guān)系以及“相交兩圓連心線(xiàn)垂直平分公共弦”定理運(yùn)用中相交兩圓圓心位于公共弦的同側(cè)與異側(cè)。解題時(shí)，可依據(jù)不同的位置關(guān)系予以分類(lèi)討論。

例5.已知在△ABC中，AB=13，BC=12，AC=5。如圖，把BA、BC看作射線(xiàn)，如有半徑為r的⊙Q保持與BA、BC相切，試討論當(dāng)⊙Q與AC處于不同的位置關(guān)系時(shí)r的取值范圍分別是什么？

根據(jù)題目中出現(xiàn)關(guān)鍵語(yǔ)“⊙Q與AC處于不同的位置關(guān)系”，可知依據(jù)直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系進(jìn)行解題。但又要考慮到圓心Q位置的不確定性，所以需要分四類(lèi)討論：⊙Q與AC相離（⊙Q在AC的左邊）；⊙Q與AC相切（⊙Q在AC的左邊）；⊙Q與AC相交；⊙Q與AC相離（⊙Q在AC的右邊）；⊙Q與AC相切（⊙Q在AC的右邊）。

綜上可知，對(duì)于分類(lèi)討論題，首先應(yīng)認(rèn)真審查題目的特點(diǎn)，考慮分類(lèi)的方向和分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)，做到既不重復(fù)又不遺漏，逐步熟練和掌握分類(lèi)討論。